2020届二轮复习组合学案（全国通用）

2020届二轮复习组合学案（全国通用）

‎　组合(一)‎ 学习目标　1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.‎ 知识点一　组合的定义 思考　①从3,5,7,11中任取两个数相除；‎ ‎②从3,5,7,11中任取两个数相乘.‎ 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？‎ 答案　①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无需排列.‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.‎ 知识点二　组合数与组合数公式 ‎　从3,5,7,11中任取两个数相除 思考1　可以得到多少个不同的商？‎ 答案　A＝4×3＝12.‎ 思考2　如何用分步乘法计数原理求商的个数？‎ 答案　第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法.由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA＝12.‎ 思考3　你能得出C的计算公式吗？‎ 答案　因为A＝CA，所以C＝＝6.‎ 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.‎ 组合数 公式 乘积形式 C＝ 阶乘形式 C＝ 性质 C＝C C＝C＋C 备注 规定C＝1‎ 类型一　组合概念的理解 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题？‎ ‎(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？‎ ‎(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？‎ ‎(3)从7本不同的书中取出5本给某同学.‎ ‎(4)3人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？‎ ‎(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？‎ 解　(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序无关，故它是组合问题.‎ ‎(2)一种火车票与起点、终点顺序有关，‎ 例“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，故它是排列问题.‎ ‎(3)从7本不同的书中取出5本给某同学，在每种取法中取出的5本书并不考虑书的顺序，故它是组合问题.‎ ‎(4)因为一种分工方法就是从5种不同工作中取出3种，按一定顺序分给3人去干，故它是排列问题.‎ ‎(5)因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪三个人都不需考虑顺序，故它是组合问题.‎ 故(1)(3)(5)是组合问题，(2)(4)是排列问题.‎ 反思与感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程 跟踪训练1　给出下列问题：‎ ‎(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？‎ ‎(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？‎ ‎(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？‎ ‎(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？‎ ‎(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？‎ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题.‎ 解析　(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.‎ ‎(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.‎ ‎(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.‎ ‎(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.‎ ‎(5)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序，是组合问题.‎ ‎(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题.‎ 答案　(1)(3)(5)　(2)(4)(6)‎ 类型二　组合的列举问题 例2　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有组合为________.‎ 答案　ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.‎ 解析　要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.‎ 反思与感悟　用树形图来写所有组合时，当前面的元素写完后，后面再不能出现该元素，要避免重复和遗漏.‎ 跟踪训练2　写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合.‎ 解　所有组合为ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.‎ 类型三　组合数公式及应用 角度1　有关组合数的计算与证明 例3　(1)计算C－C·A；‎ ‎(2)证明：mC＝nC.‎ 解　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.‎ ‎(2)mC＝m· ‎＝ ‎＝n·＝nC.‎ 反思与感悟　(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算；‎ ‎(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算：‎ ‎(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：‎ ‎①C＝C；②C＝C＋C.‎ 跟踪训练3　(1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)‎ A.C B.C C.C－1 D.C－1‎ ‎(2)计算：C＋C＋C＋C＝________.‎ 解析　(1)C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C ‎＝C＋C＋…＋C－1＝…‎ ‎＝C＋C－1＝C－1‎ ‎(2)C＋C＋C＋C＝C＋C＋C ‎＝C＋C＝C＝C＝210.‎ 答案　(1)C　(2)210‎ 角度2　含组合数的方程或不等式 例4　(1)已知－＝，求C＋C.‎ ‎(2)解不等式：C>C.‎ 解　(1)∵－＝ ‎∴－＝ 即－ ‎＝ ‎∴1－＝ 即m2－23m＋42＝0‎ 解得：m＝2或21.‎ ‎∵0≤m≤5，∴m＝2，‎ ‎∴C＋C＝C＋C＝C＝84.‎ ‎(2)由C>C得 ⇒ ‎⇒又n∈N*.‎ ‎∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.‎ 反思与感悟　1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根的错误，(2)易忽略n∈N*而导致错误.‎ ‎2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.‎ 跟踪训练4　解方程3C＝5A.‎ 解　原式可变形为3C＝5A，‎ 即 ‎＝5(x－4)(x－5)，‎ 所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.‎ 所以x＝11或x＝－2(舍去负根).‎ 经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.‎ ‎1.下列问题中，组合问题的个数是(　　)‎ ‎①从全班50人中选出5人组成班委会；‎ ‎②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；‎ ‎③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；‎ ‎④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B 解析　对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1,2,3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.‎ ‎2.满足方程＝C的x值为(　　)‎ A.1,3,5，－7 B.1,3‎ C.1,3,5 D.3,5‎ 答案　B 解析　依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或5；x＝－7或x＝3.经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意.‎ ‎3.不等式Cr≥1，n、r∈Z)恒等于(　　)‎ A.C B.(n＋1)(r＋1)C C.nrC D.C 答案　D 解析　A中C ‎＝·＝C；‎ B中(n＋1)(r＋1)C ‎＝(n＋1)(r＋1)· ‎＝C；‎ C中nrC＝nr· ‎＝r2C；‎ D中C＝·＝C.‎ ‎7.下列有关排列数、组合数计算正确的是(　　)‎ ‎①C＝；‎ ‎②(n＋2)(n＋1)A＝A；‎ ‎③C＋C＋C＋…＋C＝C；‎ ‎④C＋C是一个常数.‎ A.①② B.②③‎ C.①④ D.②④‎ 答案　D 解析　∵C＝，故①不正确.‎ ‎②式中(n＋2)(n＋1)A＝(n＋2)(n＋1)n(n－1)…(n－m＋1)＝A，故②正确.‎ ‎③式中C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1‎ ‎＝C＋C＋C＋…＋C－1‎ ‎＝C＋C＋…＋C－1＝C－1，故③不正确.‎ ‎④式中n应满足解得：n＝2.‎ 所以C＋C＝C＋C＝2.‎ 故④正确.‎ 二、填空题 ‎8.C＋C＋C＋…＋C＝________.‎ 答案　7 315‎ 解析　原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7 315.‎ ‎9.已知C，C，C成等差数列，则C＝________.‎ 答案　91‎ 解析　∵C，C，C成等差数列，‎ ‎∴2C＝C＋C，‎ ‎∴2× ‎＝＋ 整理得n2－21n＋98＝0，‎ 解得n＝14，n＝7(舍去)，‎ 则C＝C＝91.‎ ‎10.不等式C>3C的解集为________.‎ 答案　{7,8}‎ 解析　∵C>3C，‎ ‎∴>，‎ 即>得m>.‎ 又∵m∈N*且1≤m≤8，∴m＝7或8.‎ 故不等式C>3C的解集为{7,8}.‎ ‎11.C＋C＝________.‎ 答案　466‎ 解析　∵ 即 ‎∴≤n≤.∵n∈N*，∴n＝10.‎ ‎∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.‎ ‎12.以下四个式子：①C＝；‎ ‎②A＝nA；‎ ‎③C÷C＝；‎ ‎④C＝C.‎ 其中正确的个数是________.‎ 答案　4‎ 解析　①式显然成立；‎ ‎②式中A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，‎ A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故②式成立；‎ 对于③式C÷C＝＝＝，故③式成立；‎ 对于④式C＝＝＝C，故④式成立.‎ 三、解答题 ‎13.现有1克，2克，4克，10克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同质量的物体(只允许砝码放在天平右边的盘子里).‎ 解　按使用砝码的个数进行分类列举：‎ ‎(1)若使用一个砝码，则能称1克、2克、4克、10克，共4种质量的物体.‎ ‎(2)若使用两个砝码，则能称(1＋2)克，(1＋4)克，(1＋10)克，(2＋4)克，(2＋10)克，(4＋10)克，共6种质量的物体.‎ ‎(3)若使用三个砝码，则能称1＋2＋4克，1十2＋10克，1＋4＋10克，2＋4＋10克，共4种质量的物体.‎ ‎(4)若使用四个砝码，则能称1＋2＋4＋10克，共1种质量的物体.‎ 所以，总共能称4＋6＋4＋1＝15(种)不同质量的物体.‎ ‎14.(1)已知＝，求正整数n的值.‎ ‎(2)解不等式：－<.‎ 解　(1)已知可化简为＋1＝，即C＝C.‎ 即 ‎＝·，‎ 整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6(舍去)，‎ 所以n＝9即为所求.‎ ‎(2)通过将原不等式化简可以得到 －<.‎ 又x≥5，可得x2－11x－12<0，解得5≤x<12.‎ 又x∈N*，∴x∈{5,6,7,8,9,10,11}.‎