2019-2020学年海南省文昌中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)

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文档介绍

2019-2020学年海南省文昌中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)

‎2019-2020学年海南省文昌中学高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1.抛物线的焦点坐标是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程直接求解。‎ ‎【详解】‎ 由抛物线得:,‎ 所以,所以抛物线的焦点坐标是:‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质,属于基础题。‎ ‎2.若命题,则命题的否定是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据存在性命题的否定改成全称命题的原则,即可得结论.‎ ‎【详解】‎ 命题,则命题的否定是 ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定,要注意特称量词和全称量词之间的转化,属于基础题.‎ ‎3.如图,平行六面体中,AC与BD的交点为点M,,‎ ‎,,则下列向量中与相等的向量是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量基本原理和向量的线性运算,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查向量的表示,属于基础题.‎ ‎4.已知点是椭圆上的一点,,是焦点,若取最大时,则的面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵椭圆方程为 ‎ 因此,椭圆的焦点坐标为 . 根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时,取最大值,则此时的面积 ‎ 故选B ‎5.已知双曲线C:,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )‎ A.     B.     C.    D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】考查双曲线的基本性质,点到直线的距离公式。‎ ‎ 渐近线方程:,的右焦点:,;‎ 不妨取来计算,写成直线一般方程的形式:;‎ 根据点到直线的举例公式可得:。‎ 所以答案是选项D。‎ ‎ ‎ ‎ 本题属于基本题,必须会做。这个结论也可以让学生记下来。‎ ‎6.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 由题意,双曲线的渐近线方程为,‎ ‎∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形,其面积为16,故边长为4,‎ ‎∴(2,2)在椭圆C:上,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为:.‎ 故选D.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及几何性质;双曲线的几何性质.‎ ‎7.已知,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求得不等式的解集为或,再结合充分条件和必要条件的判定,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,不等式,等价与,即,解得或,‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分条件、必要条件的判定,以及分式不等式的求解,其中解答中正确求解不等式的解集,合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎8.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求双曲线的一条渐近线为,再利用直线互相垂直得,代入即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线为,渐近线 与直线垂直,‎ 得,即,代入 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率求法,渐近线方程,属于基础题.‎ ‎9.若抛物线上一点到其焦点的距离为10,则点的坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的标准方程可得其准线方程为,设点P的坐标为,‎ 由抛物线的定义有:,结合抛物线方程可得:,‎ 据此可得点的坐标为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10.如图所示,在正方体中,,分别是棱上的点,若,则的大小是( )‎ A.等于90° B.小于90° C.大于90° D.不确定 ‎【答案】A ‎【解析】由条件可证平面,可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由正方体中,‎ 所以,中,‎ 所以,又,‎ ‎,‎ 所以平面,故.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查空间垂直关系,属于基础题.‎ ‎11.在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点.有以下三个命题:‎ ‎①异面直线与所成的角是定值;‎ ‎②三棱锥的体积是定值;‎ ‎③直线与平面所成的角是定值.‎ 其中真命题的个数是( )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】以A点为坐标原点,AB,AD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,‎ 可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得=0,可得①正确;‎ 由三棱锥的底面面积为定值,且∥,可得②正确;‎ 可得=(t,1,-t),平面的一个法向量为=(1,1,1),可得不为定值可得③错误,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解:以A点为坐标原点,AB,AD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t,1,1-t),(0≤t≤1),‎ 可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得=0,故异面直线与所的角是定值,故①正确;‎ 三棱锥的底面面积为定值,且∥,点F是线段 上的一个动点,可得F点到底面的距离为定值,故三棱锥的体积是定值,故②正确;‎ 可得=(t,1,-t),=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=(1,1,1),可得不为定值,故③错误;‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解,建立直角坐标系,是解题的关键.‎ ‎12.已知是抛物线的焦点,曲线是以为圆心,以为半径的圆,直线与曲线从上到下依次相交于点,则( )‎ A.16 B.4 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 可以得到,解得,所以,,故,,选A.‎ 点睛:对于抛物线 ,若且 为焦点弦或焦半径,那么,,其中为焦点.‎ 二、填空题 ‎13.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且,若P,A,B,C四点共面,则实数t=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.‎ ‎【详解】‎ P,A,B,C四点共面,且,‎ ‎,解得.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四点共面,掌握向量共面的充要条件是解题的关键,属于基础题.‎ ‎14.已知椭圆:,过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知相交弦的中点,用点差法求出斜率,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在椭圆内,过点的直线与椭圆必 相交于A,B两点,设,‎ 且弦AB被点P平分,故直线AB的斜率存在,‎ 两式相减得,‎ ‎,‎ 直线AB的方程为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相交弦的中点问题,利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系,属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为,则该双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的标准方程为,圆心为,半径为,一条渐近线方程为,圆心到渐近线距离为,因为弦长为2,所以,所以.‎ ‎16.已知圆,抛物线与相交于两点, ,则抛物线的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知,解得,设直线的方程为,圆心到直线的距离,解得(舍)或,,解得或,代入抛物线方程,解得,所以抛物线方程为,故答案为.‎ 三、解答题 ‎17.已知;,若p是q的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出命题q成立的的范围,p是q的充分不必要条件,命题p的取值范围是命题q的范围的真子集,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由,即.‎ 由,得,‎ ‎,即.‎ 是的充分不必要条件,.‎ ‎ .‎ 故有,解得,‎ 实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分不必要条件,转化为集合间的关系,属于基础题.‎ ‎18.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.‎ ‎(1)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(2)若点分别在上,且平面,试确定点的位置 ‎【答案】(1);(2)M为AB的中点,N为PC的中点 ‎【解析】(1)由题意知,AB,AD,AP两两垂直.以为正交基底,建立空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量为,由空间向量的线面角公式求解即可;(2)设 ,利用平面PCD,所以∥,得到的方程,求解即可确定M,N的位置 ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知,AB,AD,AP两两垂直.‎ 以为正交基底,建立如图所示的空间 直角坐标系,则 从而 设平面PCD的法向量 则即 不妨取则.‎ 所以平面PCD的一个法向量为. ‎ 设直线PB与平面PCD所成角为所以 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. ‎ ‎(2)设则 设则而 所以.由(1)知,平面PCD的一个法向量为,因为平面PCD,所以∥.‎ 所以解得,.‎ 所以M为AB的中点,N为PC的中点. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的应用,求线面角,探索性问题求点位置,熟练掌握空间向量的运算是关键,是基础题 ‎19.已知椭圆的中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,长轴长为,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过的直线与椭圆交于点,若,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据题干中长轴长为,离心率为,得到相应方程,从而得到椭圆方程。(2)联立直线和椭圆得到二次方程,由椭圆的第二定义得到弦长为,进而得到三角形的面积。‎ 解析:‎ ‎(1)所以,椭圆方程为 ‎ ‎(2)设MN的方程为 ‎ ‎ 所以,‎ 所以,.‎ 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.‎ ‎20.如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,,是的中点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求二面角平面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)取的中点,连接、,证明平面,从而得出;‎ ‎(2)证明出平面,可得出、、两两垂直,以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,然后计算出平面、的法向量,利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:取中点,联结、,‎ 为等边三角形,为的中点,.‎ 是的中点,为中点,,,.‎ ‎,平面,‎ 平面,;‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 平面平面,平面平面,平面,‎ 平面,则、、两两垂直,‎ 以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 则、、、、.‎ 设平面的法向量为,,.‎ 由,得,令,得,,‎ 所以,平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为,,‎ 由,得,取,得,.‎ 所以,平面的一个法向量为.‎ 则.‎ 结合图形可知,二面角的平面角为锐角,其余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线垂直的判定,同时也考查了二面角余弦值的计算,一般需要建立空间直角坐标系,利用空间向量法来求解,考查推理论证能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎21.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ ‎(2)若,求|AB|.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)设直线:,,;根据抛物线焦半径公式可得;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于的方程,解方程求得结果;(2)设直线:;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用可得,结合韦达定理可求得;根据弦长公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设直线方程为:,,‎ 由抛物线焦半径公式可知: ‎ 联立得:‎ 则 ‎ ‎,解得:‎ 直线的方程为:,即:‎ ‎(2)设,则可设直线方程为:‎ 联立得:‎ 则 ‎ ‎,‎ ‎ , ‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为,短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若,求原点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)由已知求得,再由椭圆离心率及隐含条件求得 ‎,则椭圆方程可求;(2)联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由判别式大于0求得,再由,可得,从而求得的范围,再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,则取值范围可求.‎ 试题解析:(1)设焦距为,由已知,,∴,又,解得,∴椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)设,,联立得,依题意,,化简得,①,,,,若,则,即,∴,∴,即,化简得,②,由①②得,,∵原点到直线的距离,∴,又∵,∴,∴原点到直线的距离的取值范围是
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