2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-1 直线方程与圆的方程（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-1 直线方程与圆的方程（讲解部分）

专题九　平面解析几何 §9.1 　直线方程与圆的方程 高考文数 考点一　直线的倾斜角、斜率与方程 考点清单 考向基础 1.直线的倾斜角 (1)当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为 基准 , x 轴 正向 与直线 l 向上的方向 所成的 角即为直线 l 的倾斜角; (2)当直线 l 与 x 轴 平行或重合 时,规定直线 l 的倾斜角为 0 ° ; (3)直线倾斜角 θ 的取值范围为 [0,π) . 2.直线的斜率 (1)若直线的倾斜角 θ 不是90 ° ,则斜率 k = tan θ ; (2)若由 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )确定的直线不垂直于 x 轴,则斜率 k =   ; (3)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率. 名称 方程 适用范围 点斜式 y - y 0 = k ( x - x 0 ) 不含直线 x = x 0 斜截式 y = kx + b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式   =   不含直线 x = x 1 ( x 1 ≠ x 2 ) 和直线 y = y 1 ( y 1 ≠ y 2 ) 截距式   +   =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线( a ≠ 0, b ≠ 0) 一般式 Ax + By + C =0 平面直角坐标系内的直线都适用( A 2 + B 2 ≠ 0) 3.直线方程的几种形式 考向突破 考向一　直线的倾斜角与斜率 例1　经过 A ( m ,3)( m ≥ 1), B (1,2)两点的直线的倾斜角 α 的取值范围为 　　          . 解析　当 m =1时,直线与 x 轴垂直,此时斜率不存在,倾斜角为90 ° ; 当 m >1时,直线的斜率 k =   =   >0,所以此时直线的倾斜角的取值范围为 0 ° < α <90 ° . 综上可知,直线的倾斜角 α 的取值范围为0 ° < α ≤ 90 ° . 答案　0 ° < α ≤ 90 ° 考向二　求直线方程 例2　已知△ ABC 的三个顶点分别为 A (-3,0), B (2,1), C (-2,3),求: (1) BC 边所在直线的方程; (2) BC 边上的中线 AD 所在直线的方程; (3) BC 边的垂直平分线 DE 的方程. 解析　(1)因为直线 BC 经过 B (2,1)和 C (-2,3)两点, 所以由两点式得直线 BC 的方程为   =   ,即 x +2 y -4=0. (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为( x , y ),则 x =   =0, y =   =2, BC 边上的中线 AD 过点 A (-3,0), D (0,2),由截距式得 AD 所在的直线方程为   +   =1, 即2 x -3 y +6=0. (3)由(1)知,直线 BC 的斜率 k BC =-   ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k DE =2,由(2) 知,点 D 的坐标为(0,2),由点斜式得直线 DE 的方程为 y -2=2( x -0),即2 x - y +2=0. 考点二　圆的方程 考向基础 1.圆的定义 平面内到定点的距离等于 定长的点的集合 (轨迹)叫做圆.定点就是圆心,定 长就是半径. 2.圆的标准方程 圆心为( a , b ),半径为 r 的圆的方程为 ( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 . 3.圆的一般方程 已知二元二次方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0.(*). (1)当 D 2 + E 2 -4 F >0 时,(*)表示圆的方程,圆心为   ,半径为     .此时,(*)叫圆的一般方程. (2)当 D 2 + E 2 -4 F =0 时,(*)表示点. (3)当 D 2 + E 2 -4 F <0 时,(*)不表示任何图形. (4)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出 了方程形式的特点: (i) x 2 和 y 2 的系数相等且不为0; (ii)没有 xy 这样的二次项. (5) A = C ≠ 0且 B =0是二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0表示圆的 必要 不充分 条件. 4.过圆 C 1 : x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 =0与圆 C 2 : x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 =0的交点的圆的方 程为 x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + λ ( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 )=0( λ ≠ -1),不表示圆 C 2 . 5.已知点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),以 AB 为直径的圆的方程是 ( x - x 1 )( x - x 2 )+( y - y 1 )( y - y 2 )= 0 . 考向突破 考向一　求圆的方程 例3    (2020届内蒙古包头10月调研,14)以点(2,-1)为圆心且与直线3 x -4 y +5= 0相切的圆的标准方程为 　　　　     . 解析　圆心到直线的距离为   =3,故所求圆的标准方程为( x -2) 2 +( y +1) 2 =9. 答案　( x -2) 2 +( y +1) 2 =9 考向二　与圆的方程有关的最值问题 例4　已知点 P ( x , y )在圆 C : x 2 + y 2 -6 x -6 y +14=0上. (1)求   的最大值和最小值; (2)求 x 2 + y 2 +2 x +3的最大值与最小值; (3)求 x + y 的最大值与最小值. 解析　方程 x 2 + y 2 -6 x -6 y +14=0变形为( x -3) 2 +( y -3) 2 =4. (1)   表示圆上的点 P 与原点连线的斜率,显然 PO ( O 为原点)与圆相切时,斜 率最大或最小. 设切线方程为 y = kx ( k ≠ 0),即 kx - y =0,由圆心 C (3,3)到切线的距离等于半径长 2,可得   =2,解得 k =   ,所以   的最大值为   ,最小值为   . (2) x 2 + y 2 +2 x +3=( x +1) 2 + y 2 +2,它表示圆上的点 P 到 E (-1,0)的距离的平方再加2, 所以,当点 P 与点 E 的距离最大或最小时,所求式子就取最大值或最小值,显 然点 E 在圆 C 的外部,所以点 P 与点 E 距离的最大值为| CE |+2,点 P 与点 E 距离 的最小值为| CE |-2.又| CE |=   =5,所以 x 2 + y 2 +2 x +3的最大值为(5+2) 2 +2=51,最小值为(5-2) 2 +2=11. (3)设 x + y = b ,则 b 表示动直线 y =- x + b 在 y 轴上的截距,显然当动直线 y =- x + b 与 圆( x -3) 2 +( y -3) 2 =4相切时, b 取得最大值或最小值.圆心 C (3,3)到切线 x + y = b 的 距离等于圆的半径长2,则   =2,即| b -6|=2   ,解得 b =6 ± 2   ,所以 x + y 的 最大值为6+2   ,最小值为6-2   . 方法1 　求直线的斜率及倾斜角范围的方法 1.求斜率的常用方法 (1)已知直线上两点时,由斜率公式 k =   ( x 1 ≠ x 2 ) 来求斜率. (2)已知倾斜角 α 或 α 的三角函数值时,由 k =tan α   来求斜率.此类问题 经常与三角函数知识结合在一起,要注意三角函数公式的灵活运用. (3)直线 Ax + By + C =0( B ≠ 0)的斜率为 k =-   . 方法技巧 2.求倾斜角 α 的取值范围的一般步骤   例1　(1)直线2 mx -( m 2 +1) y - m =0倾斜角的取值范围是 　　　　　　     ; (2)已知实数 x , y 满足关系式 x +2 y =6,当1 ≤ x ≤ 3时,   的取值范围为 　　     　　　　     . 解析　(1)易知直线2 mx -( m 2 +1) y - m =0的斜率 k =   . ①当 m ≥ 0时, m 2 +1 ≥ 2 m ,∴0 ≤ k ≤ 1. ②当 m <0时,-1 ≤ k <0. ∴直线2 mx -( m 2 +1) y - m =0倾斜角的取值范围为   ∪   . (2)   的几何意义是过 M ( x , y ), N (2,1)两点的直线的斜率,因为点 M 在 y =3-   x 的图象上,且1 ≤ x ≤ 3,所以可设该线段为 AB ,其中 A   , B   ,由于 k NA =-   , k NB =   ,所以   的取值范围为   ∪   . 答案　(1)   ∪   (2)   ∪   方法2 　求直线方程的方法 点的坐标确定直线的位置,斜率确定直线的方向,也就是说,要确定直线的 方程,只需找到两个点的坐标,或一个点的坐标与过该点的直线的斜率即 可.因此确定直线方程的常用方法有两种:(1)直接法:根据已知条件,确定适 当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法:先设出直线方程,再 根据已知条件求出待定的系数,最后代入求出直线的方程. 例2    (2020届河南八校第三次联考,14)过点 A (3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B ,交 直线 l 1 : y =2 x 于点 C ,若| BC |=2| AB |,则直线 l 的方程为 　　　　　　　     .   解析　当直线 l 的斜率不存在时,点 B (3,0), C (3,6),此时| BC |=6,| AB |=1,不满足 | BC |=2| AB |,所以舍去. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y +1= k ( x -3)( k ≠ 0). 令 y =0,得 x B =3+   , 由   得 x C =   . ∵| BC |=2| AB |,∴| x B - x C |=2| x A - x B |, ∴   =2   , ∴3+   -   =   或3+   -   =-   , 解得 k =   或 k =-   , ∴直线 l 的方程为3 x +2 y -7=0或 x -4 y -7=0. 答案　3 x +2 y -7=0或 x -4 y -7=0 方法3 　求圆的方程的方法 1.方程选择的原则:求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径 或需要用圆心坐标、半径列方程,常选用标准方程;如果已知条件和圆心坐 标、半径无直接关系,而与经过的点有直接关系,常选用一般方程. 2.求圆的方程的方法和步骤:确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致 步骤如下:①根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);②根据条件列 出关于 a , b , r 或 D , E , F 的方程组;③解出 a , b , r 或 D , E , F ,代入所选的方程中即可. 3.利用几何法求圆的方程时常用的几何性质有:①圆心在过切点且与切线 垂直的直线上;②圆心在任一弦的垂直平分线上;③两圆内切或外切时,切 点与两圆圆心在一条直线上. 例3    (2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线 x -2 y -3=0上,且圆经 过点 A (2,-3), B (-2,-5),则该圆的方程为 　　　　　　　　　　　　     . 　 解析　解法一:设点 C 为圆心,因为点 C 在直线 x -2 y -3=0上,所以可设点 C 的坐 标为(2 a +3, a ),又知该圆经过 A , B 两点,所以| CA |=| CB |,即   =   ,解得 a =-2,所以圆心 C 的坐标为(-1,-2),半径 r =   ,故所 求圆的方程为( x +1) 2 +( y +2) 2 =10. 解法二:设所求圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0), 由题意得   解得   故所求圆的方程为( x +1) 2 +( y +2) 2 =10. 解法三:设圆的一般方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0),则圆心坐标为   . 由题意得   解得   故所求圆的方程为 x 2 + y 2 +2 x +4 y -5=0. 答案     x 2 + y 2 +2 x +4 y -5=0(或( x +1) 2 +( y +2) 2 =10)