新课标全国II卷理科数学2013-2017分析及2018年高考预测

新课标全国II卷理科数学2013-2017分析及2018年高考预测

新课标全国II卷理科数学2013-2017年 高考分析及2018年高考预测 ‎ ‎2017年，越来越多的省份加入全国卷的行列……,‎ ‎2017年使用全国卷II的省份有：‎ 陕西、重庆、辽宁、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、新疆、内蒙古、海南……‎ 研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近5年全国高考文科数学2卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近5年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．‎ 一、集合与简易逻辑小题：‎ ‎1．集合小题：5年5考，每年1题，都是交并补子运算为主，多与不等式交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎2. 设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ C ‎2016年 ‎（2）已知集合，，则 ‎（A）（B）（C）（D）‎ C ‎2015年 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）‎ ‎（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝‎ A ‎2014年 ‎1. 设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )‎ A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝‎ D ‎2013年 ‎1．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝(　　)．‎ A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}‎ A ‎2．简易逻辑小题：5年0考．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．下面举一个全国1卷的例子．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2015年全国2理 ‎（3）设命题P：nN，>，则P为 ‎（A）nN, > （B） nN, ≤‎ ‎（C）nN, ≤ （D） nN, =‎ C 二、复数小题：5年5考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般涉及考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎1. （ ）‎ A． B． C． D．‎ D ‎2016年 ‎（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ A ‎2015年 ‎（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ）‎ ‎ （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2‎ B ‎ ‎2014年 ‎2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）‎ A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i A ‎2013年 ‎2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)．‎ A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i A 三、平面向量小题：5年5考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎12. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ B ‎2016年 ‎（3）已知向量，且，则m=‎ ‎（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8‎ D ‎2015年 ‎（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．‎ ‎2014年 ‎3. 设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5‎ A ‎2013年 ‎13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.‎ ‎2‎ 四、线性规划小题：‎ ‎5年4考，全国2卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度（注意：某两条直线的交点未必在可行域内，因此必须作图）．另外全国2卷近年没有考线性规划应用题了，是否可以考了？‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎5. 设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．1 D．9‎ A ‎2015年 ‎（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ ‎2014年 ‎9. 设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ B A. 10 B. 8 C. 3 D. 2‎ ‎2013年 ‎9．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)．‎ A． B． C．1 D．2‎ B 五、三角函数小题：‎ ‎5年8考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．考三角小题时，一般是一个考查三角恒等变形或三角函数的图象性质，另一个考查解三角形．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎14. 函数（）的最大值是 ．‎ ‎1‎ ‎2016年 ‎ （7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ‎（A）x= (kZ) （B）x= (kZ) ‎ ‎（C）x= (kZ) （D）x= (kZ)‎ B ‎2016年 ‎（9）若cos(–α)= ，则sin 2α=‎ ‎（A）（B）（C） （D）‎ D ‎2016年 ‎（13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=，‎ a=1，则b= .‎ ‎2014年 ‎4. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ B ‎2014年 ‎12. 设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ C ‎2014年 ‎14. 函数的最大值为_________.‎ ‎1‎ ‎2013年 ‎15．设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________.‎ 六、立体几何小题:‎ ‎5年10考，每年2题，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型（与体积有关的）？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．异面直线所成的角考了两次．年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）‎ B A． ‎ B． C． D．‎ ‎2017年 ‎10. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ C ‎2016年 ‎（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ‎ ‎ ‎（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π C ‎2016年 ‎（14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②③④‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，mα，那么m∥β. ‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）‎ ‎2015年 ‎ （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ D ‎2015年 ‎（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π C ‎2014年 ‎6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ C ‎2014年 ‎11. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ C ‎2013年 ‎4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(　　)．‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β D C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l ‎2013年 ‎7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)．‎ A 七、 推理证明小题：5年2考，也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的．‎ 年份 题目 答案 ‎2017年 ‎7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 D ‎2016年 ‎（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ‎ ‎1和3‎ 八、概率小题：‎ ‎ 5年4考,难度较小.前几年其它省份高考及各地模拟较多出现几何概型与线性规划交汇式命题，这个问题教材上也有．是不是全国2卷也该考一下二维的几何概型了？‎ 年份 题目 答案 ‎2017年 ‎6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 D ‎2016年 ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ C ‎2014年 ‎5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45‎ A ‎2013年 ‎14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝__________.‎ ‎8‎ 九、统计小题：‎ ‎ 5年2考，在小题不算热点．其实统计考个小题比较好的，各地高考及模拟高考小题居多．因为这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、二项分布、正态分布等．‎ 年份 题目 答案 ‎2017年 ‎13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 ．‎ ‎1.96‎ ‎2015年 ‎（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是( )‎ （A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） ‎2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C） ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D 十、数列小题：‎ 全国2理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，交错考法不一定分奇数年或偶数年．‎ 年份 题目 答案 ‎2017年 ‎3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 B ‎2017年 ‎15. 等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎2015年 ‎（4）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( )‎ ‎（A）21 （B）42 （C）63 （D）84‎ B ‎2015年 ‎（16）设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎2013年 ‎3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)．‎ A． B． C． D．‎ C ‎2013年 ‎16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．‎ ‎-49‎ 十一、框图小题：‎ ‎ 5年5考！考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多．‎ 题目 年份 答案 ‎2017年 www.ks5u.com ‎8. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2‎ B．3‎ C．4‎ D．5‎ B ‎2016年 ‎（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=‎ ‎（A）7 （B）12 （C）17 （D）34‎ C ‎2015年 ‎（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=‎ A.0 B.2 C.4 D.14‎ B ‎2014年 ‎7. 执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）‎ ‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ‎ D ‎2013年 ‎6．执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(　　)．‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ ‎ D．‎ B 十二、圆锥曲线小题：‎ ‎ 5年10考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一,一般一个容易的，一个较难的．‎ 年份 题目 答案 ‎2017年 ‎9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B．‎ A C． D．‎ ‎2017年 ‎16. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎6‎ ‎2016年 ‎（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ A ‎2016年 ‎（11）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，sin ,则E的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）2‎ A ‎2015年 （7） 过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=‎ ‎（A）2 （B）8 （C）4 （D）10‎ C ‎2015年 ‎（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ D ‎2014年 ‎10. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）‎ D A. B. C. D. ‎ ‎2014年 ‎16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.‎ ‎[-1,1]‎ ‎2013年 ‎ ‎11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)．‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x C ‎2013年 ‎12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)．‎ A．(0,1) B． C． D．‎ B 十三、函数小题：‎ ‎ 5年11考，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分（理科）、零点等，分段函数是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？‎ 年份 ‎ 题目 ‎ 答案 ‎2017年 ‎11. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ A ‎2016年 ‎（12）已知函数满足,若函数与 B 图像的交点为,···，（），则 ‎（A）0 （B）m （C）2m （D）4m ‎2016年 ‎（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ．‎ ‎2015年 ‎（5）设函数,( )‎ ‎（A）3 （B）6 （C）9 （D）12‎ C ‎2015年 ‎10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 B ‎2015年 ‎（12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ A ‎2014‎ ‎8. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= ‎ D 年 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ‎ ‎2014年 ‎15. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.‎ ‎（-1,3））‎ ‎2013年 ‎8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)．‎ A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c D ‎2013年 ‎10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)．‎ A．∈R，f()＝0‎ B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，)单调递减 D．若是f(x)的极值点，则f′()＝0‎ C 十四、排列组合二项式定理：‎ ‎5年4考，二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.‎ 年份 题目 答案 ‎2016年 ‎ （5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ‎ ‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ B ‎2015年 ‎（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．‎ ‎3‎ ‎2014年 ‎13. 的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)‎ ‎2013年 ‎5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)．‎ A．－4 B．－3 C．－2 D．－1‎ D 十五、三角函数大题和数列大题：‎ ‎ 在全国2卷中每年只考一个类型，交错考法不分奇偶数年．不考的那一个一般用两道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎17.（12分）‎ 的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为2，求．‎ 解：‎ ‎（1）由题设及得，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理及得 所以 ‎2016年 ‎（17）（本题满分12分）‎ Sn为等差数列的前n项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过x的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1．‎ ‎（I）求，，；‎ ‎（II）求数列的前1 000项和.‎ 解：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为 所以数列的前项和为 ‎2015年 ‎（17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ) 若=1，=求和的长.‎ 解：（Ⅰ）‎ 因为，，所以 由正弦定理可得 ‎（Ⅱ）因为，所以 在和中，由余弦定理知 ‎，‎ 故 由（Ⅰ）知，所以 ‎2014年 ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎（Ⅰ）证明：由得 又，所以是首项为，公比为3的等比数列 ‎，因此的通项公式为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为当时，，所以 于是 所以 ‎2013年 ‎17．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①‎ 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，‎ 又B∈(0，π)，所以.‎ ‎(2)△ABC的面积.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－.‎ 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 因此△ABC面积的最大值为.‎ 十六、立体几何大题：‎ ‎5年5考，每年1题．第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较多；特点：证明中一般要用到初中平面几何的重要定理．平行的传递性考查较多．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎19.（12分）‎ 如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面， 是的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点在棱上，且直线与底面所成角为 ，求二面角的余弦值 解：‎ ‎（1）取的中点，连接，‎ 因为是的中点，‎ 所以，‎ 由 得，‎ 又，‎ 所以，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 又平面，平面，‎ 故平面 ‎（2）由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设，则 因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，‎ 所以，‎ 即 ①‎ 又在棱上，设，则 ‎ ②‎ 由①，②解得（舍去），‎ 所以，从而 设是平面的法向量，则 ‎ 即 所以可取，‎ 于是 因此二面角的余弦值为 ‎2016年 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.‎ ‎（I）证明：平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角的正弦值.‎ ‎ ‎ 解：（I）由已知得，，又由得，故.‎ 因此，从而.由,得.‎ 由得.所以，.‎ 于是，，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.‎ ‎2015年 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；‎ ‎（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎（Ⅱ）作，垂足为，则 因为为正方形，所以 于是，所以 以D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系，则 设是平面的法向量，则 即 所以可取 又，故 所以AF与平面所成角的正弦值为 ‎2014年 ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.‎ ‎（Ⅰ）证明：连结交于点，连结 因为为矩形，所以为的中点，‎ 又为的中点，所以，‎ 平面平面，所以平面 ‎（Ⅱ）因为为矩形，所以两两垂直 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则，‎ 设，则 设为平面的法向量，‎ 则 即 可取 又为平面的法向量，由题设，即，解得 因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积 ‎2013年 ‎18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．‎ ‎18．‎ 解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．‎ 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.‎ 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，‎ 则即 可取n＝(1，－1，－1)．‎ 同理，设m是平面A1CE的法向量，‎ 则可取m＝(2,1，－2)．‎ 从而cos〈n，m〉＝，‎ 故sin〈n，m〉＝.‎ 即二面角D－A1C－E的正弦值为.‎ 十七、概率统计大题：‎ ‎5年5考，每年1题．特点：实际生活背景在加强，阅读量大．冷点：回归分析，独立性检验，但2017年就考了独立性检验这个冷点．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎18.（12分）‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50”， 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50”.‎ 由题意知 旧养殖法的箱产量低于50的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于50的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.66‎ 因此，事件的概率估计值为 ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎2016年 ‎（18）（本题满分12分）‎ 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0. 05‎ ‎（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解：（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 ‎（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 又，故 因此所求概率为 ‎ （Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 ‎2015年 ‎(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 解：‎ ‎（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；‎ 表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；‎ 表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；‎ 表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，‎ 则与独立，与独立，与互斥，，‎ 由所给数据得发生的频率分别为，故 ‎2014年 ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ 解：（Ⅰ）由所给数据计算得 ‎，‎ 所求回归方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．‎ 将2015年的年份代号代入（Ⅰ）中的回归方程，得 ‎，‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为608千元．‎ ‎2013年 ‎19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入 ‎[100,110)的频率)，求T的数学期望．‎ ‎19．‎ 解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，‎ 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.‎ 所以 ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.‎ 十八、解析几何大题：‎ ‎ 5年5考，每年1题．特点：多数用椭圆作为载体，较少考双曲线和抛物线．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎20. （12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过 的左焦点. ‎ 解：‎ ‎（1）设，，‎ 则 由得 ‎ 因为在上，所以 因此点的轨迹方程为 ‎（2）由题意知 设，则 ‎，‎ 由得 又由（1）知，故 所以，即.‎ 又过点存在唯一直线垂直于，‎ 所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎2016年 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ 解：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）由题意，，.‎ 将直线的方程代入得.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得，‎ 由得，即.‎ 当时上式不成立，‎ 因此.等价于，‎ 即.由此得，或，解得.‎ 因此的取值范围是.‎ ‎2015年 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设直线 将代入得，故 于是直线的斜率，即 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值 ‎（Ⅱ）四边形能为平行四边形 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是 由（Ⅰ）得的方程为 设点的横坐标为 由得，即 将点的坐标代入的方程得，因此 四变现为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 于是，解得 因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ ‎2014年 ‎20. （本小题满分12分）‎ 设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ 解：（Ⅰ）根据及题设知 将代入，解得（舍去）‎ 故的离心率为 ‎（Ⅱ）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即 ‎ ①‎ 由得 设，由题意知，则 ‎ 即 代入的方程，得 ②‎ 将①及代入②得 解得，故 ‎2013年 ‎ ‎20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)‎ 右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则，，，‎ 由此可得.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，‎ 所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为.‎ ‎(2)由 解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为 y＝，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，‎ 所以|CD|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积.‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ 十九、函数与导数大题：‎ 函数与导数大题5年5考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义或函数的单调性，第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题中一般不再考查．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．‎ ‎2016年我在考前曾经改编了一个导数为的题目，和当年全国1‎ 高考题的导数完全类似.‎ 值得一提的是2017年（作为山东文科卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路，留下了一些回忆）山东文科的考法，学习了2016全国1的考法，却比全国1卷更上一层，这个导数为 ‎ 以上告诉大家，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴的目的．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎21.（12分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ 解：‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为，‎ 故，‎ 而，‎ 得 若，则 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增 所以是的极小值点，故 综上，‎ ‎（2）由（1）知 设，则 当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.‎ 因为，所以是的唯一极大值点.‎ 由得，故.‎ 由得.‎ 因为是在的最大值点，由得 ‎.‎ 所以 ‎2016年 ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时， ‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.‎ 解：（Ⅰ）的定义域为.‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，‎ 所以 ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 ‎2015年 ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）‎ 若，则当时，；当时，，‎ 若，则当时，；当时，，‎ 所以，在单调递减，在单调递增 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故在处取得最小值，所以对于任意的充要条件是 即 ‎ ①‎ 设函数，则 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．‎ 又，故当时，‎ 当时，，即①式成立；‎ 当时，由的单调性，，即；‎ 当时，，即 综上，的取值范围是[-1,1]‎ ‎2014年 ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数=‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）‎ 解：（Ⅰ），等号仅当时成立 所以在单调递增 ‎（Ⅱ），‎ ‎（ⅰ）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意；‎ ‎（ⅱ）当时，若满足，即时，而，因此当时，．‎ 综上，的最大值为2.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 当时，，；‎ 当时，‎ 所以的近似值为 ‎2013年 ‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．‎ ‎(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.‎ 解：(1)f′(x)＝.‎ 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.‎ 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.‎ 函数f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.‎ 因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．‎ ‎(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.‎ 当m＝2时，函数f′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增．‎ 又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，‎ 故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．‎ 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．‎ 由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，‎ 故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.‎ 综上，当m≤2时，f(x)＞0.‎ 二十、坐标系与参数方程大题：‎ ‎5年5考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小．‎ 年份 ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ 解：‎ ‎（1）设的极坐标为，的极坐标为.‎ 由题设知 由得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为 ‎（2）设点的极坐标为.‎ 由题设知，‎ 于是面积 ‎.‎ 当时，取得最大值 所以面积的最大值为 ‎2016年 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. ‎ ‎（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（II）直线l的参数方程是 （t为参数）,l与C交于A、B两点，‎ ‎∣AB∣=，求l的斜率．‎ 解：（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎2015年 ‎23．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：．‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为4‎ ‎2014年 ‎23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的普通方程为 可得的参数方程为 ‎（为参数，）‎ ‎（Ⅱ）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同．‎ 故的直角坐标为，即 ‎23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 ‎2013年 已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，‎ 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 ‎(0＜α＜2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ 二十一、不等式大题：‎ ‎5年5考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现．‎ 年份 ‎ ‎ 题目及答案 ‎2017年 ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎23.解：‎ ‎（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此.‎ ‎2016年 ‎（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.‎ ‎（I）求M；‎ ‎（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣．‎ 解析：（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，从而 ‎，‎ 因此 ‎2015年 ‎24．（本小题满分10分）‎ 选修4 - 5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：‎ ‎（1）若ab > cd；则；‎ ‎（2）是的充要条件．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 由题设得 因此 ‎（Ⅱ）（ⅰ）若，则，即 因为，所以 由（Ⅰ）得 ‎（ⅱ）若，则，即 因为，所以，于是 因此 综上，是的充要条件 ‎2014年 ‎24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由，有 所以 ‎（Ⅱ）‎ 当时，，由得 当时，，由得 综上，的取值范围是 ‎2013年 ‎24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2).‎ 解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为，，，‎ 故≥2(a＋b＋c)，‎ 即≥a＋b＋c.‎ 所以≥1.‎ 参考资料： 不等式恒成立问题中的参数求法 已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.‎ ‎ 一、 直接求导法 ‎ 题目：当时，恒成立，求的取值范围. ‎ 分析：注意型函数不分离最好,这里是有理函数,它的导数为，这里是有理函数，容易讨论其性质.‎ 解：‎ ‎，‎ 由可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，‎ 于是可以考虑分离参数，‎ 即，‎ 注意到当时，，所以当时，，是增函数，所以，‎ 当时，可解得，即当时，是减函数，所以，不合题意.‎ 综上，的取值范围.‎ 二、二次求导法 题目：当时，恒成立，求的取值范围.‎ 分析：型函数一般用到二次求导法.‎ 解:，‎ ‎ ，‎ 因为，所以，‎ 当即时，，是增函数，所以，所以是增函数，所以；‎ 当即时，则当时，，是减函数，所以，所以是减函数，所以.‎ 所以的取值范围.‎ 三、特值压缩法 题目：当时，恒成立，求的取值范围.‎ 分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.‎ 解：由得 得，‎ ‎，‎ 当时，由得，‎ 当时，显然当时，，为增函数，从而，‎ 当时，则，所以 当时，，为减函数，‎ 当时，，为增函数，‎ 所以的最小值为 ‎，‎ 所以求的取值范围是.‎ 四、分离法 题目：当且时，恒成立，求的取值范围.‎ 分析：把分离出来可以使导数非常简单.‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎（这一步的目的是提取因式，分离出，由于的符号不确定，所以分类讨论如下）‎ 令设，于是原题等价于 ‎，若是通分，分子是一个关于的二次函数，讨论比较复杂，‎ 不如再次提取，分离参数，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：‎ 于是 令，由对号函数的单调性，在单调递减，‎ 当时，，从而，所以当，‎ 即时，恒成立，从而为增函数，所以恒成立；‎ 当时，，所以存在，使得当时，，从而为减函数，所以，不合题意.‎ 同理可讨论当时，‎ 仍然是时，恒成立，从而为增函数，所以恒成立；‎ 当时，，所以存在，使得当时，，从而为减函数，所以，不合题意.‎ 综上，‎ 五、重构函数法 题目：恒成立,求的最大值.‎ 分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.‎ 解:令,则 ‎（1）当时,,在R上单调递增，当时，，不合题意.‎ ‎（2）当时，则当时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ 所以当时，，‎ 所以，所以，其中，‎ 令，则，‎ 当时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，‎ 所以当时，，‎ 所以的最大值是.‎ 六、解不等式法 题目：设函数．‎ ‎（1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．‎ 分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．‎ 解：（1），，‎ 因为，所以在上是增函数，注意到，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知，在上的最小值为，的最大值是 和，所以的最大值为 或 ，‎ 所以只要 或 ，‎ 令 ，则 ，‎ 当时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ 而，，且，所以存在，使得，所以由即可得 ‎，其中 ①‎ 而即，所以，‎ 即，其中，②‎ 由①、②得.‎ 七、设而不求法 已知函数，（1）设，当时，，求的最大值，（2）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）‎ 分析：设而不求那些不容易求出的极值点.‎ 解：（1），‎ ‎，‎ 令，则，‎ 所以，‎ 注意到，‎ 所以当即时，，为增函数，所以，‎ 当时，存在，当时，，为减函数，所以 ‎，不合题意，所以的最大值2.‎ ‎（2）考虑 ‎，‎ 由（1）知道，当时，，‎ 所以，‎ 那么，下一步如何再取的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的 这个分界点满足的条件，可以考虑满足，考虑到满足等号成立的的值，，解得，则由（1）知，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎