数学文卷·2018届江苏省溧阳市高三第一学期阶段性调研测试试题（解析版）

数学文卷·2018届江苏省溧阳市高三第一学期阶段性调研测试试题（解析版）

2017-2018学年度第一学期阶段性调研测试 高三（文科）数学试题 一、填空题：本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分.只需直接写出结果． 1. 已知为虚数单位，复数 ，则复数的实部是___________． 【答案】-1 【解析】由题意可得： ， 则复数的实部是-1. 2. 设集合 ，则 ____________． 【答案】 【解析】由交集的定义可得 . 3. 函数 的定义域为________________． 【答案】 【解析】函数有意义，则： ，求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为 . 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或 不等式组，然后求出它们的解集即可． 4. 已知 ， 的夹角为 120°，则 ________________． 【答案】 【解析】由题意可得： ， 则： . 5. 函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 _____________． 【答案】-5 【解析】由奇函数的性质可得： ， 解得： . 6. 曲线 在点 处的切线方程为_________________． 【答案】 【解析】由函数的解析式可得： ， 则所求的切线斜率为 ， 切线方程为： ， 整理为一般式即： 。 点睛：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前 者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点． 7. 设等差数列 的前项和为，若 ，当取最大值时， _____________． 【答案】6 【解析】由题意可得： ， 数列的公差： ， 则数列的通项公式为： ， 数列单调递减，据此求解不等式组： ， 可得： ， 结合 可得： 8. 三角形 的内角 的对边分别为 ． ，则 _____________________． 【答案】 【解析】由正弦定理可得 . 点睛:解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结 合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步 骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确 定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的 互化. 第三步：求结果. 9. 给出下列命题： （1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号是___________________． 【答案】（1）（3） 【解析】逐一考查所给的命题： （1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面． 综上可得：真命题的序号是（1）（3）. 10. 如图，在直角梯形 中， 为 中点，若 ， 则 _______________． ........................... 【答案】 【解析】以 A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设 ，结合题意可得： 则： ， 故： ， 即： ，则： ， 据此有： . 11. ，“ ”是“角 成等差数列”成立的____________条件．（填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 【答案】必要不充分 【解析】若 A,B,C成等差数列,则 A+C=2B,∴B=60°， 若 ， 则 ， 即 ， ∴ ， 若 cosA=0或 ， 即 A=90°或 B=60°， 则“ ”是“角 成等差数列”成立的必要不充分条件． 12. 设是等比数列 的前项和， ，若 ，则 的最小值为_______________． 【答案】16 【解析】很明显等比数列{an}的公比 q>0，q≠1. ∵S6−2S3=4， ∴ . ∴ .∴q>1.则： 当且仅当 q3=2,即 时取等号。 ∴S9−S6的最小值为 16. 13. 扇形 中，弦 为劣弧 上的动点， 与 交于点，则 的最小值是 _____________________． 【答案】 【解析】设弦 AB中点为M,则 若 同向,则 ，若 反向,则 , 故 的最小值在 反向时取得， 此时 ,则： ， 当且仅当 时取等号,即 的最小值是 . 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 设函数 ，则满足 的的取值范围为_____________． 【答案】 或 【解析】绘制函数图象如图所示，结合函数图象可得，函数在 R上单调递增， 很明显 的值域为 R，设 ，则 ， 当 时： ，解得： ，此时 ， 当 时， 恒成立， 结合函数图象， 有： ， 有： . 据此可得：的取值范围为 或 . 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后 代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应 段自变量的取值范围． 二、解答题（本大题共 6小题，满分 90分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） . 15. 已知 ． （1）若 ，求的值； （2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的的值． 【答案】(1) ；(2) 时， 有最大值 3， 时， 有最小值 ． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件 建立方程 分析求解；（2）先运用向 量的坐标形式的数量积公式建立函数 ，然后借助余弦 函数的图像和性质进行探求： 解：（1）因为 ， ， ， 所以 . 若 ，则 ，与 矛盾，故 . 于是 . 又 ，所以 . （2） . 因为 ，所以 ， 从而 . 于是当 ，即 时， 取到最大值 3； 当 ，即 时， 取到最小值 . 16. 如图，在三棱锥 中， ．为 的中点，为 上一点，且 平 面 ． 求证：（1）直线 平面 ； （2）平面 平面 ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析： (1)由题意结合几何关系可证得 ，结合线面平行的判断定理可证得 平面 ； (2)由题意利用线面垂直的判断定理可得 平面 ，结合面面垂直的判断定理 可得平面 平面 ． 试题解析： （1）因为 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，所以 ， 因为 平面 平面 ， 所以 平面 ； （2）因为为 的中点， ，所以为 的中点， 因为 ，所以 ， 由于 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 平面 ， ， 所以 平面 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． 17. 已知二次函数 ，关于实数的不等式 的解集为 ． （1）当 时，解关于的不等式： ； （2）是否存在实数 ，使得关于的函数 （ ）的最小值为 ？若存 在，求实数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 答案见解析；(2)存在满足条件的 ． 【解析】试题分析： (1)由题意结合二次函数的性质分类讨论可得： 当 时，原不等式解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ． (2)假设存在满足条件的实数，结合（1）的结论，换元令 ，则 ， ，结合二次函数的性质讨论可得在满足条件的 ． 试题解析： （1）由不等式 的解集为 知， 关于的方程 的两根为-1和，且 ， 由根与系数关系，得 ， ∴ ， 所以原不等式化为 ， ①当 时，原不等式转化为 ，解得 ； ②当 时，原不等式化为 ，且 ，解得 或 ； ③当 时，原不等式化为 ，解得 且 ； ④当 时，原不等式化为 ，且 ， 解得 或 ； 综上所述：当 时，原不等式解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为 ． （2）假设存在满足条件的实数， 由（1）得： ， ， 令 ，则 ， ， 对称轴 ， 因为 ，所以 ， ， 所以函数 在 单调递减， 所以当 时，的最小值为 ， 解得 （舍去），或 ， 故存在满足条件的 ． 18. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200千克，配料的价格为 1.8元/千克，每次购买配料需支付运费 236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准 如下：7天以内（含 7天），无论重量多少，均按 10元/天支付；超出 7天以外的天数，根据 实际剩余配料的重量，以每天 0.03元/千克支付． （1）当 9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？ （2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式， 并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 【答案】理解 1：(1)88元；(2)答案见解析. 理解 2：(1)78元；(2)答案见解析. 【解析】本题主要考查对二次函数的最值，二次函数等知识点的理解和掌握，能根据题意列 出算式是解此题的关键。 （1）当 9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 元 （2）先分析得到 ，然后设该厂 x天购买一次配料平均每天支付 的费用为 元 结合导数和均值不等式得到最值。 解：（Ⅰ）当 9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 元 ………………………………………………2分 (Ⅱ）（1）当 时， …………………4分 (2）当 时， ……………………………………………6分 ∴ …………………………………………………7分 ∴设该厂 x天购买一次配料平均每天支付的费用为 元 ……………………………………………8分 当 时 是 上的减函数. 当且仅当 时, 有最小值 （元） 当 时 = ≥393 当且仅当 时取等号 （注：两段上的最值错一个扣一分）。 ∵ ∴当 时 有最小值 393元 …………………………12分 19. 已知数列 中， ，且 对任意正整数都成立，数列 的前项 和为． （1）若 ，且 ，求； （2）是否存在实数，使数列 是公比为 1的等比数列，且任意相邻三项 按某顺 序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由； （3）若 ，求．（用 表示）． 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】试题分析： (1)由题意求得首项 ，公差 ，结合等差数列前 n项和公式列方程可得 ； (2)假设存在满足题意的实数 k，分类讨论可得 ； (3)结合题意分类讨论，然后分组求和可得 . 试题解析： （1） 时， ， 所以数列 是等差数列， 此时首项 ，公差 ， 数列 的前项和是 ； 故 ，得 ； （2）设数列 是等比数列，则它的公比 ，所以 ， ① 为等差中项，则 ， 即 ，解得 ，不合题意； ② 为等差中项，则 , 即 ，化简得： ，解得 或 （舍去）； ③若 为等差中项，则 ， 即 ，化简得： ，解得 ； ； 综上可得，满足要求的实数有且仅有一个， ； （3） ，则 ， ， 当是偶数时， ， 当是奇数时， ， 也适合上式， 综上可得， ． 20. 已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若函数 既有一个极小值又有一个极大值，求的取值范围； （3）若存在 ，使得当 时， 的值域是 ，求的取值范围． 【答案】(1) 的增区间为 ，减区间为 ；(2) ；(3) . 【解析】试题分析： (1)当 时， ，利用导函数研究函数的单调性可得函数 的增区间为 ，减区间为 ； (2)求解导函数有 ，令 ，则方程 必有两 个不等的正根，据此结合二次方程根的分布可得实数的取值范围是 ； (3)求解导函数， ，分类讨论 时和 时两种情况可得的取值 范围是 . 试题解析： （1） 的定义域为 ， 当 时， ，令 得 ， 当 时 ，当 时， ， ∴函数 的增区间为 ，减区间为 ； （2） ，则 ， 令 ，若函数 有两个极值点， 则方程 必有两个不等的正根， 设两根为 ，于是 ，解得 ， 当 时， 有两个不相等的正实根，设为 ，不妨设 ， 则 ， 当 时， ， ， 在 上为减函数； 当 时， ， 在 上为增函数； 当 时， ，函数 在 上为减函数． 由此， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点．符合题意 ． 综上，所求实数的取值范围是 ； （3） ， ①当 时， ， 当 时， 的 上为减函数； 当 时， 在 上为增函数， 所以，当 时， 的值域是 ， 不符合题意． ②当 时， ， （i）当 ，即 时，当变化时， 的变化情况如下： 1 - 0 + 0 - 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 若满足题意，只需满足 ，即 ， 整理得 ，令 ， 当 时， ，所以 在 上为增函数， 即当 时， ， 可见，当 时， 恒成立， 故当 时，函数 的值域是 ； 所以 满足题意． （ii）当 ，即 时， ，当且仅当 时取等号， 所以 在 上为减函数，从而 在 上为减函数， 符合题意； （iii）当 ，即 时，当变化时， 的变化情况如下表： 1 - 0 + 0 - 减函数 极小值 0 增函数 极大值 减函数 若满足题意，只需满足 ，且 （若 ，不符合题意）， 即 ，且 ， 又 ，所以 ，此时， ， 综上， ， 所以，实数的取值范围是 ． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中 重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在 高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几 个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利 用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函 数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．