宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学（文）试题

宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学（文）试题

‎2019-2020学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）‎ ‎（三）‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则下列关系中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，所以，因此，，故选A.‎ 考点：集合的包含关系 ‎2.设复数，若为实数，则（ ）‎ A. 1 B. C. 1或 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可 ‎【详解】解:,‎ ‎,‎ 由为实数,则,即,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用 ‎3.在中，已知，，，点是边的中点，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知,进而求解即可 ‎【详解】解:如图,‎ 是中点,‎ ‎∴,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查向量的线性运算,考查数量积的运算 ‎4.等比数列中，，则的值是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可知,进而求解即可 ‎【详解】解:∵等比数列中,,‎ ‎,‎ 故,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,属于基础题 ‎5.若三点，则向量在向量上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,再利用求解即可 ‎【详解】解:∵三点,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 则向量在向量上的投影为,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查向量的投影,考查向量的坐标表示,考查运算能力 ‎6.设函数，若，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得与为对称轴和对称中心，进而求出，，由，对取值，得的最小值.‎ ‎【详解】函数，由于,得，所以 ‎，‎ 由，得，所以，，，且，‎ 则，‎ 当时，是最小的正数，所以的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查三角函数的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎7.在等差数列中，如果，则数列前9项的和为( )‎ A. 297 B. ‎144 ‎C. 99 D. 66‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99‎ 考点：等差数列性质及前n项和 点评：本题考查了等差数列性质及前n项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．‎ ‎8.设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（为实数），那么的值为 A. B. ‎0 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 由题意得，如图所示 ‎ ‎,‎ 所以，所以，故选C.‎ ‎9.函数的最小正周期为1，则的递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由周期可得,即,令,进而求解即可 ‎【详解】解:,‎ ‎,则,‎ ‎,‎ ‎∵令,解得,‎ 的递增区间为,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 ‎10.在△ABC中，若，则△ABC的面积S是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求出，‎ ‎【详解】是三角形内角，，∴，‎ 由正弦定理得，‎ 又，即，‎ ‎，（舍去），‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．‎ ‎11.已知定义域为的函数满足，且对任意正实数恒有，则必有（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可分析得到为奇函数且单调递增,化简可得,,再利用单调性求解即可 ‎【详解】解:,且对任意正实数恒有,‎ 函数奇函数且单调递增,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用单调性比较函数值的大小 ‎12.已知的面积为满足条件，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,则,由的范围即可求得的范围 ‎【详解】解:,‎ ‎,‎ ‎,‎ 的面积为,且,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查数量积的应用 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）‎ ‎13.为虚数单位，若，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将整理为的形式,再求解即可 ‎【详解】解:,‎ 则,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用 ‎14.设，则sin2θ=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意利用诱导公式和二倍角公式，化简，代入即可得到答案.‎ 详解：由题意，可得.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理利用诱导公式和二倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继 续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时________．‎ ‎【答案】10海里 ‎【解析】‎ 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．‎ ‎16.若，则按照由小到大的顺序排列为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导函数判断的单调性,由,再利用单调性比较函数值的大小即可 ‎【详解】解:,‎ 则,‎ 令,则,‎ 当时,则单调递增；‎ 当时,,则单调递减,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用单调性比较函数值的大小 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分 ‎17.已知三点的坐标分别为 ‎（1）若，求角的值；‎ ‎（2）若，求值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得,‎ ‎（1）由模相等可得,进而求解即可；‎ ‎（2）由可得,作平方处理可得,进而可得,从而化简后代入即可 ‎【详解】解:,‎ ‎（1）,‎ ‎,‎ 化简得:,‎ ‎,‎ 又,‎ 故 ‎（2）,‎ ‎,‎ 化简得:,‎ 两边平方得:,即,‎ ‎,‎ 故,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎【点睛】本题考查向量的模的应用,考查利用同角的三角关系和三角恒等变换公式化简求值 ‎18.设向量的坐标为.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若函数，求的对称轴方程和的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）对称轴方程为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得,进而求解即可；‎ ‎（2）整理可得,令,,求解对称轴,再将代入中求解即可 ‎【详解】解:（1）,‎ ‎,‎ ‎∴①时,；‎ ‎②时,,‎ ‎,‎ 或,‎ ‎,‎ 综上得,或 ‎（2）‎ ‎,‎ 令,,解得,‎ 所以的对称轴方程为,‎ 所以 ‎【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查数量积的坐标运算,考查正弦的和角公式的应用 ‎19.设是公比为的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知,解得,进而求解即可；‎ ‎（2）由（1）,当时,,则,再利用分组求和法求解即可 ‎【详解】解:（1）由题,,则,‎ 因为构成等差数列,,‎ 即,‎ 解得或,‎ 则或 ‎（2）当时,,则,‎ 所以,‎ 则前项和 ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查分组求和法求数列的和,考查运算能力 ‎20.在中，的对边分别为，已知的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为钝角，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得,进而求解即可；‎ ‎（2）由（1）可知,由为钝角可知,利用正弦定理可得,进而求解即可 ‎【详解】解:（1）的面积为,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ ‎（2）,为钝角,‎ ‎,可得,‎ ‎,‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】本题考查利用余弦定理化边为角,考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理化边为角 ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的所有零点；‎ ‎（2）若，证明函数不存在的极值.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先将代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到（当且仅当时取等号），从而得到函数在单调递增，至多有一个零点，因为，是函数唯一的零点，从而求得结果；‎ ‎（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到在上单调递增，从而证得结果.‎ ‎【详解】（1）解：当 时，，‎ 函数的定义域为， ‎ 且．‎ 设，‎ 则 ． ‎ 当时，；当时，， ‎ 即函数在上单调递减，在上单调递增， ‎ 所以当时，（当且仅当时取等号）．‎ 即当时，（当且仅当时取等号）．‎ 所以函数在单调递增，至多有一个零点. ‎ 因为，是函数唯一的零点.‎ 所以若，则函数的所有零点只有． ‎ ‎（2）证法1：因为，‎ 函数的定义域为，且． ‎ 当时，， ‎ 由（1）知．‎ 即当时，‎ 所以在上单调递增． ‎ 所以不存在极值．‎ 证法2：因为，‎ 函数的定义域为 ，且． ‎ 设，‎ 则 ．‎ 设 ，则与同号．‎ 当 时，由， ‎ 解得，． ‎ 可知当时，，即，当时，，即，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增． ‎ 由（1）知．‎ 则．‎ 所以，即在定义域上单调递增． ‎ 所以不存在极值．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C极坐标方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将化简成直角坐标方程,再利用与化简即可.‎ ‎(2)由为以为底,到的距离为高可知要求面积的最小值即求到 的距离最大值.再设求解最值即可.‎ ‎【详解】（1）∵曲线C的参数方程为,（θ为参数）,有.‎ 上下平方相加得曲线C的直角坐标方程为,‎ 化简得 将与,代入得曲线C的直角坐标方程有：‎ ‎．‎ ‎（2）设点到直线AB：x+y+2＝0的距离为d,‎ 则,‎ 当sin（）＝﹣1时,d有最小值,‎ 所以△ABM面积的最小值S9﹣2．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．‎ ‎（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；‎ ‎（2）若存在实数x，使得f（x）f（x+1），求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|x＞3或x}．（2）（﹣2，+∞）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分与两种情况求解即可.‎ ‎(2)代入到不等式中,再根据能成立问题,分的不同取值去绝对值,参变分离求函数最值即可.‎ ‎【详解】解（1）当a＝1时,由f（x）＞x,得|2x﹣1|﹣1＞x+1． ‎ 当x时,2x﹣1﹣1＞x+1,解得x＞3．‎ 当x时,1﹣2x﹣1＞x+1,解得x．综上可知,不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x}．‎ ‎（2）因为,得.即.‎ 令 ,‎ 则存在实数,使得成立等价于.‎ 因为 ,故当时, ‎ 故.即实数的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.‎