专题08 三角函数的图像与性质（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题08 三角函数的图像与性质（命题猜想）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

命题猜想八 三角函数的图像与性质 ‎【考向解读】 ‎ ‎1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是2016年高考热点．‎ ‎2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．‎ ‎3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.‎ ‎4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.‎ ‎【命题热点突破一】　三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式 例1、【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．‎ ‎【变式探究】 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)‎ A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点(π，0)对称 C．奇函数且图像关于直线x＝对称 D．偶函数且图像关于点对称 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】当x＝时，函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A>0）取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝Asin（x－）（A>0），所以y＝f（－x）＝Asin（－x－）＝－Asin x，所以函数y＝f（π－x）为奇函数，且其图像关于直线x＝对称.‎ ‎【命题热点突破二】　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与解析式 例2、设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.‎ ‎(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；‎ ‎(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．‎ ‎【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数可转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y＝的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．‎ ‎【变式探究】【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎【命题热点突破三】三角函数的性质 例3、某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ ‎【解析】（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin（ωx＋φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f（x）＝5sin.‎ ‎【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎【变式探究】函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】A　‎ ‎【解析】函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图像向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图像，又其关于原点对称，故＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.又因为x∈，所以 sin∈，即当x＝0时，f（x）min＝－.‎ ‎【命题热点突破四】　三角函数图像与性质的综合应用 例4、(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin　　　　B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎【变式探究】已知函数f(x)＝2cos2x＋2 sin xcos x＋a，当x∈时，f(x)的最小值为2.‎ ‎(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；‎ ‎ (2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间上所有根之和．‎ ‎【解析】解：（1）f（x）＝cos 2x＋1＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1.∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴f（x）min＝f（）＝－1＋a＋1＝2，得a＝2，‎ 故f（x）＝2sin＋3.‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎（2）由题意得g（x）＝2sin＋3，‎ 由g（x）＝4，得sin＝，‎ 解得4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋，k∈Z，‎ 即x＝＋或x＝＋，k∈Z，‎ 又∵x∈，∴x＝或，故所有根之和为＋＝.‎ ‎【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再结合题目要求，利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质解决问题．‎ ‎【命题热点突破五】三角函数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合 例5、 已知向量a＝(sin x，2cos x)，b＝(2 cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，若角A满足f＝1，且△ABC的面积为8，求△ABC周长的最小值．‎ ‎【解析】（1）∵f（x）＝2 sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1，‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期为π. ‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 ‎－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎（2）设a，b，c分别是内角A，B，C对的边，‎ 由f＝1，得2sin－1＝1，‎ 即sin＝1，又∵A为三角形的内角，∴A＝，‎ ‎∴bc＝8，∴bc＝16，‎ ‎∴b＋c≥2 ＝8，a＝≥＝4 ，当且仅当b＝c＝4时等号成立. ‎ 故△ABC周长的最小值为8＋4 . ‎ ‎【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式．解题时要注意各种限制条件的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等．在使用基本不等式时注意等号成立的条件．‎ ‎【变式探究】‎ 在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2 x(x≥0)．‎ ‎(1)求cos的值；‎ ‎(2)若点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且|PQ|＝6，求三角形POQ面积最大时点P，Q的坐标．‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎4.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎6.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎7.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎8.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎9.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎10.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】,故最小正周期,故选B.‎ ‎11.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ ‎12.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.‎ ‎13.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.‎ ‎14.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎16.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，‎ 且，故选D.‎ ‎17.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎1.【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎2.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎3.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．‎ ‎（1)求实数m的取值范围；‎ ‎（2)证明：‎ ‎【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 ‎(2)1) ‎ ‎ （其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.‎ ‎2)因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时, ‎ 所以 解法二：(1)同解法一.‎ ‎(2)1) 同解法一.‎ ‎2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时, ‎ 所以 于是 ‎4.【2015高考山东，理16】设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（II） 面积的最大值为 ‎【解析】‎ ‎（I）由题意知 ‎ ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎5.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，‎ ‎＝，选C.‎ ‎6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.‎ ‎7.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，‎ ‎），，故选D. ‎ ‎8. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎9. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，即，，，因为，所以．‎ ‎10. 【2014辽宁高考理第9题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 ‎ C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，令，即的增区间为，令k=0，则可知B正确. ‎