专题5-2 平面向量的数量积及其应用-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）
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2017年高考备考之
3年高考2年模拟1年原创
第五章 平面向量
专题2 平面向量的数量积及其应用（理科）
【三年高考】
1. 【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos
=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）
（A）4 （B）–4 （C） （D）–
【答案】B
2. 【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
3. 【2016高考新课标3理数】已知向量，，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意，得，所以
，故选A．
4. 【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是．
【答案】
【解析】，即最大值为
5. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又
，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．
6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7.【2015高考重庆，理6】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为 （ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意，即，所以，，，选A.
8.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
9.【2015高考湖南，理8】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B.
10.【2014全国课标2，理3】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】因为=10，
，两式相加得：，所以，故选A.
11. 【2014江苏，12】如图在平行四边形中，已知，，则的值是 .
【答案】22
12. 【2014安徽，理10】在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对平面向量数量积及其应用的考查，重点考查结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，而向量的数量积及运算律，向量垂直的充要条件是高考的热点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，而对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出，
整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．试题难度为多为容易题或中档题，少数为选择题或填空的压轴题.预测2017高考，对平面向量数量积及其应用的考查，重点仍为结合平面向量的加减、实数与向量积的运算，运用平面向量数量积的定义、数量积的运算法则、数量积的性质，计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影，考查形式为选择题或填空题，分值为5分，试题难度为为容易题或中档题，也可为选择题或填空的压轴题，注意向量作为工具，常用向量形式给出题的条件或利用向量数量积处理其中的夹角与垂直问题.在备战2017年高考中，同学们要熟记向量数量的定义、运算法则及平面向量的数量积性质，加强运用这些知识计算平面向量数量积、向量的夹角、处理向量垂直问题、计算向量的模、计算一个向量在另一个向量上的投影等题型的训练，善于将题中的向量形式给出的条件，转化为代数条件或几何条件,善于用平面运用平面向量数量积处理长度、夹角、垂直等问题.
【2017年高考考点定位】
高考对平面向量数量积及其应用的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量数量积的概念及其几何意义、平面向量数量积的运算法则及一个向量在另一个向量方向上的投影，二是考查平面向量夹角问题与向量垂直的充要条件的应用，三是考查平面向量的模及平面向量数量积的综合运用，题型为选择题、填空题、解答题的第一个大题，大多难度容易题或中档题，少数为选择题或填空题的最末一题为难题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量垂直的充要条件、向量夹角公式、或向量模公式分别处理涉及的垂直问题、夹角问题和长度问题.
【考点1】平面向量数量积及其几何意义
【备考知识梳理】
1. 平面向量的数量积：
(1)已知非零向量与，它们的夹角为，则把||||叫做与的数量积，记作，记作=||||，规定=0.
注意平面向量的数量积是一个实数，既可以为正，也可以为负，也可以为0，与向量其他运算区别开来.
(2)已知=（，），=（，），则=+.
2. 向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影，它是一个实数，而不向量.
向量在向量方向上的投影为.
3.平面向量的数量积的几何意义
等于的模与在向量方向上的投影的乘积.
4.数量积的运算法则：
（1）=；（2）=，（3）=.=
【规律方法技巧】
1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.
2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用||计算;思路2，利用计算.
3. 注意向量的数量积不满足消去率和结合律.
4. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.
【考点针对训练】
1. 【江西师大附中2016年4月高三质检卷】已知向量，则在上的投影等于______________.
【答案】
【解析】在方向上的投影为:.
2. 【2016届河北省石家庄高三二模】在中，，点为斜边上靠近点的三等分点，点为的外心，则的值为_____.
【答案】
【考点2】向量垂直问题与向量夹角问题
【备考知识梳理】
1. 向量夹角
(1)定义：已知非零向量、，作= ，=，则就是与的夹角，范围为，当向量与同向时，与的夹角为0，当向量与反向时，与的夹角为，注意通过平移使两个向量有共同的起点，向量所在的射线所成的角才是向量夹角.
(2)若向量与的夹角为，则=.
(3)若已知向量=（，），=（，），向量与的夹角为，则=.
2.向量垂直
(1)概念：若与的夹角为，则称与垂直，记作⊥.
（2）已知非零向量，，则⊥=0.
(3)已知非零向量，，=（，），=（，），则⊥+=0.
【规律方法技巧】
1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.
2.在求夹角时要注意：
(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及||、||或它们的关系.
(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.
(3)若两个向量夹角为锐角，则＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定.
3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式：可以用定义式，也可以用坐标式.
【考点针对训练】
1. 【2016年山西高三四校联考】若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 【2016届邯郸市一中高三.十研】 已知向量，若，则的值是________．
【答案】
【解析】,即，解之得.
3. 【2016淮北一中高三最后一卷】已知向量，若，则___________．
【答案】－3
【解析】由，得，所以，解得．
【考点3】平面向量模与向量的数量积的综合运用
【备考知识梳理】
1. 向量的模：向量的模就是表示向量的有向线段的长度，记作||，它表示向量的大小，是非负数.
2. .
3.若向量=（，），则||=.
4.若A（，），B（，），则=.
【规律方法技巧】
1. 对于长度问题，可以用向量的模来处理，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用||=来求解.
2. 对向量与其他知识结合的综合问题，有两种思路，思路1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公式化为代数代数条件或几何条件，结合相关知识解题；思路2：将题中平行、垂直、角、长度等问题，运用向量的相关知识，转化为向量问题去处理.
【考点针对训练】
1. 【2016届河南郑州一中高三考前冲刺一】在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.
【答案】
【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，
．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．
2. 【2016年河南八市高三联考】已知平面向量满足，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设由题意由 ，可知即，即，即，设，由可知即，由知，则，在和
中，可知 ，又，则，将，代入， 当且仅当故，故选D.
【应试技巧点拨】
1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心
向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：
①为的重心，特别地为的重心；是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；等于已知AD是中BC边的中线.
②为的垂心；是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.
③ 的内心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线).
④为
的外心.
2. 向量垂直的重要应用
向量垂直的重要应用,是高考的热点.命题方向有两点：一是利用已知条件去判断垂直；二是利用垂直的条件去确定参数的值.需牢固掌握判断的充要条件.
向量垂直的充要条件：.
3.如何恰当的选择向量的数量积的公式
求向量的数量积的公式有两个：一是定义式＝；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.
4．求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角关系是钝角．
1.【2016年江西南昌一中高三模拟】已知向量a=(1，)，向量a，c的夹角是，a·c=2，则|c|等于 .
【答案】2
【解析】由题意，得，向量的夹角是，且，解得.
2.【2016年河南商丘高三二模】设向量是两个互相垂直的单位向量，且
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以, ．
3. 【2016年江西师大附中高三二模】已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A． B． C．4 D．13
【答案】A
【解析】由条件可知 ，，所以.故本题答案选A.
5. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，向量在向量方向上的投影为，选A.
6.【2016届宁夏石嘴山三中高三三模】已知向量，满足，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，则，故与的夹角为．
7. 【2016届河南省郑州市高三第二次模拟】已知为的三个内角，向量满足，且，若最大时，动点使得、、成等差数列，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】，
∴，又∵，
∴，故的最大值为，取到最大值时
，又∵，，成等差数列，∴，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设，∴，，，∴椭圆的标准方程是，∴
，当且仅当时，等号成立，∴，故选A．
8. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺二】已知的外心满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9. 【2016届湖北省八校高三二联】在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,所以，故选C.
10. 【2016届四川省成都市石室中学高三5月一模】如图，在梯形中，，，，，，分别是，的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11. 【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若向量、满足，，则向量与的夹角等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】设，则由，得：，所以，所以向量与的夹角等于，故应选．
12.【2015届陕西省西安市一中高三下学期自主命题一】设向量满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】①；②；①-②得，1．
13.【2015届福建省泉州五中高三模拟考试】已知向量，与的夹角为．若向量满足，则的最大值是
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设，由于与的夹角为，则，设，
，故向量的终点在以为 圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故答案为B．
14. 【2015届江苏省南通市高三第二次调研】在平行四边形中，，则线段的长为 ．
【答案】
15.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】如图：边长为4的正方形
的中心为，以为圆心， 1为半径作圆．点是圆上任意一点，点是边上的任意一点（包括端点），则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，，，圆：，设，当线段时，，此时，此时，当线段时，，此时，，当线段时，，此时，，，所以最后的取值范围是．
【一年原创真预测】
1.已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题，得，又，所以，即，解得，所以，故选A．
【入选理由】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题是一个常规题的出法，但有一定的综合性，故选此题.
2.已知是平面内两个单位向量，满足，若向量满足，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【入选理由】本题考查平面向量数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题主要体现在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围,具有一定的代表性，故选此题.
3.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为 .
【答案】-1
【解析】∵ ，，∴=，∴=-2，∴向量在向量方向上的投影为=-1.
【入选理由】本题主要考查平面向量垂直的充要条件、平面向量数量积的应用等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．本题是一个常规题,也是高考考试的重点，故选此题.
4.扇形AOB中，弦，C为劣弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是
【答案】
【入选理由】本题考查向量数量积、基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题向量与不等式巧妙的结合，有新意，故选此题.
5. 已知向量满足，，，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】由得，，即，得.
∴，∴.
【入选理由】本题考查向量数量积,向量的夹角等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是一个常规题,而夹角是向量应用的重点，故选此题.
6.在中，角所对的边是，且，若，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，是三角形的重心，所以，.因为，即，所以，整理得：①
因为，所以，即，即，即
，将①代入得.
【入选理由】本题考查向量数量积,三角恒等变形，正余弦定理等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题综合性较强,有一定的难度，故选此题.
7.在中，,是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围为
【答案】
【入选理由】本小题主要考查向量数量积，函数值域，三角函数有界性等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．本题体现向量作为一个工具作用，故选此题.
8.已知向量满足||=1,=，在方向的投影为，则= .
【答案】34
【解析】设向量，的夹角为，则=，解得=，由=得=12，即，解得，所以==34.
【入选理由】本题主要考查向量数量积,向量的模,投影等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力．本题是一个常规题的出法，但有一定的综合性，故选此题.
