2019-2020学年广东省北大附中深圳南山分校高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省北大附中深圳南山分校高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省北大附中深圳南山分校高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分数指数幂运算.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查分数指数幂的运算法则，属于简单题型.‎ ‎2．已知：集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求集合，然后求.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，重点是解集合，属于简单题型.‎ ‎3．已知：且（ ）‎ A．1 B．2 C． D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求，再求.‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值，属于简单题型.‎ ‎4．已知函数，其值域是，则其定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数是一对一函数，所以根据值域解定义域，只需解不等式或.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是一对一函数，所以可以根据值域解定义域，‎ 由 ‎ ‎ ，解得，‎ ‎ ， ‎ ‎ ，‎ 定义域是：.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查根据值域求定义域，意在考查函数性质和解不等式，属于基础题型.‎ ‎5．下列函数：（1），（2），（3），（4），（5）五个函数中，是奇函数且值域不是一切实数R的函数是（ ）‎ A．（1），（3），（5） B．（1），（4） C．（4） D．（1），（3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】逐一分析选项，根据函数性质得到选项.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是奇函数，值域是，不满足条件；‎ ‎（2），满足，是偶函数，并且函数的值域是，不满足条件；‎ ‎（3），是奇函数，并且值域是，不满足条件；‎ ‎（4）是奇函数，并且值域是，满足条件.‎ ‎（5）定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，不满足条件；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数性质，意在考查函数的基础知识的理解，属于简单题型.‎ ‎6．下列函数在上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】逐一分析选项，判断函数性质，得到答案.‎ ‎【详解】‎ A.时，在单调递减，在上单调递增，故不正确；‎ B.在单调递增，故正确；‎ C.，在单调递减，故不正确；‎ D.在单调递减，故不正确.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，属于基础题型.‎ ‎7．已知下列函数：（1），（2），（3），（4）中，是奇函数的是（ ）‎ A．（1），（2）（3），（4） B．（2），（4） C．（2），（3），（4） D．（3），（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】逐一分析函数，判断函数是否是奇函数，得到选项.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，定义域是，不关于原点对称，故不是奇函数；‎ ‎（2） 的定义域是，关于原点对称，‎ 并且，故函数是奇函数；‎ ‎（3）的定义域是，‎ 并且，故函数是奇函数；‎ ‎（4） 的定义域是，关于原点对称，并且函数满足 ，故函数是奇函数.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查判断函数的奇偶性，属于基础题型，判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，那函数就是非奇非偶函数，若函数关于原点对称，再根据定义域判断与的关系，若或则函数是奇函数，若满足或则函数是偶函数.‎ ‎8．已知，则函数的最小值是（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据基本不等式 求最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即时，函数的最小值是2.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查利用基本不等式求函数的最小值，属于简单题型.‎ ‎9．比较下列几个数的大小：，，，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先让和0或1比较大小，然后再判断的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ， ‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查指对数比较大小，意在考查转化与计算，属于简单题型.‎ ‎10．空气质量指数（简称：）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照大小分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，为严重污染.下面记录了北京市天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）‎ A．在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，最后天的空气质量优于最前面天的空气质量 B．在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度 C．在北京这天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D．在北京这天的空气质量中，达到空气质量优的天数有天 ‎【答案】C ‎【解析】分析：通过题目所提供的图表得出22个数据，研究在各区间上的数据个数，对选项逐一验证得到答案.‎ 详解：因为，‎ 所以在北京这天的空气质量中，按平均数来考察，‎ 最后天的空气质量优于最前面天的空气质量，‎ 即选项A正确；‎ 不低于100的数据有3个：，‎ 所以在北京这天的空气质量中，有天达到污染程度，‎ 即选项B正确；‎ 因为12月29日的为225，为重度污染，‎ 该天的空气质量最差，即选项C错误；‎ 在的数据有6个：，‎ 即达到空气质量优的天数有天，‎ 即选项D正确.故选C.‎ 点睛：本题考查频率分布表的识别和应用，属于基础题，本题的技巧是判定选项A时，仅从各数据的大小关系上进行判定，避免了不必要的运算.‎ ‎11．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导，求出函数的单调性，利用单调性来辨别函数的图象，以及函数值符号来辨别函数的图象。‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 解不等式，即，得；‎ 解不等式，即，得或.‎ 所以，函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为。‎ 令，即，得或；‎ 令，即，得.‎ 所以，符合条件的函数为B选项中的图象，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号。在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎12．已知函数，则函数的零点（即的解）个数为（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】，即的零点个数转化为函数和的图象的交点个数.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 画出函数和的图象 由图象可知，两个函数有两个交点，‎ ‎ 函数的零点个数有2个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点个数的判断，转化为求两个函数的交点是常用思考方法，属于基础题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数过点，则此函数的单调递减区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】代入点，求，再得函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 函数的单调递减区间是.‎ 故答案是：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数解析式的求法和函数性质，属于简单题型.‎ ‎14．若命题，使得，则________．‎ ‎【答案】使得 ‎【解析】根据特称命题的否命题的形式书写.‎ ‎【详解】‎ 命题，使得的否定是 使得.‎ 故答案为：使得 ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，属于基础知识的考查，属于简单题型.‎ ‎15．已知定义在上的偶函数，当时，，则________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.‎ ‎【详解】‎ 是偶函数，‎ ‎.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.‎ ‎16．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若满足条件，需满足分段函数每段都是递增函数，并且在分界点处满足，列不等式组求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 是上的单调递增函数，需满足 ‎ ，‎ 解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数单调性求参数，属于基础题型，容易忽略的是分界点处的两个函数值比较大小的不等式，这点需切记.‎ 三、解答题 ‎17．计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）4；‎ ‎【解析】（1）根据根式和分数指数幂的运算法则求解；‎ ‎（2）利用对数运算法则变形求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查根式，分数指数幂和对数的运算，意在考查转化与变形化简，属于基础题型.‎ ‎18．已知集合：，，．‎ ‎（1）用列举法表示A和B，并求；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1），，；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】（1）首先解方程和，求解集合和，然后求；‎ ‎（2）根据（1）的结果，，若满足条件，需满足，即 求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴或，‎ 又由于 解得 ‎∴‎ 由 或 ‎∴‎ ‎（2），‎ ‎，且 ‎∴‎ 解得：或 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次方程，以及理解集合语言，根据集合的关系求参数的取值范围，属于基础题型.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）在坐标系内画出函数的大致图象；‎ ‎（2）若方程有两个根，求实数m的取值集合．‎ ‎（3）若方程有三个根，求实数m的取值集合．‎ ‎【答案】（1）图见解析；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎【解析】（1）首先去绝对值，写成，然后画函数的图象；‎ ‎（2）根据（1）的图象，可知若方程有两个根，即与函数图象有两个交点，求的取值范围；（3）转化为与函数图象有3个交点，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，图像如下：‎ ‎（2）因为与x无关，故其图像是平行于x轴的直线，有两个实根，即与有两个交点，所以或，所以．‎ ‎（3）观察图像，当时，与有三个交点，这时有三个根．∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的应用，根据函数零点个数求参数，可以参变分离后转化为的零点个数，转化为和图象的交点个数求参数.‎ ‎20．亚洲某大国GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率发展，大约多少年后该国GDP会翻两番（即为原来的4倍）？（，．结果精确到整数）‎ ‎【答案】22年后 ‎【解析】设大约x年后该国的GDP会翻两番，即，两边取以10为底的对数，求.‎ ‎【详解】‎ 解：设大约x年后该国的GDP会翻两番，依题意有：‎ 即，‎ 两边取10为底的对数：‎ ‎∴（保留整数位）‎ 答：大约22年后该国GDP会翻两番．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数的应用，意在考查概括，抽象，计算应用的能力，属于基础题型.‎ ‎21．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式，并画出函数的图象.‎ ‎【答案】,图象见解析.‎ ‎【解析】分三种情况讨论，在求的解析式时,关键是要根据图象,对的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.‎ ‎【详解】‎ 当时, 如图,设直线与分别交于C、D两点,则, 又 (2)当时, 如图,设直线与分别交于M、N两点,则, 又 ‎ (3)当时, 综上所述,图象如图，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎22．已知定义域是R上的奇函数．‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）判断在R上的单调性，并用定义法证明；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（4）设关于x方程有零点，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）在R上单调递增，证明见解析；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎【解析】（1）根据奇函数的性质，，求；（2）根据（1）的结论，，变形为 ‎，利用单调性的的定义域证明；（3）函数是奇函数，不等式变形为，根据（2）可知，函数单调递增，所以恒成立，利用参变分离得恒成立，求的取值范围；（4）因为函数是奇函数，所以，所以，即：有零点，设，，转化为求函数的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是R上的奇函数，所以，即：，∴，经检验，满足，所以．‎ ‎（2）‎ ‎∴在R上单调递增，以下证明：‎ 对，且 由的单调递增性知 又，，‎ ‎∴‎ ‎∴在R上单调递增．‎ ‎（3）由题意，对，‎ 又 ‎∴‎ 又由（2）知：在R上单调递增 ‎∴‎ 令，易知其最小值是-4．‎ ‎∴，即 ‎（4）由题意知：有零点 即：‎ 在R上单调 ‎∴‎ 即：有零点 令：‎ 有零点 即：函数与函数有交点 易知：有最小值 ‎∴时，有零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型函数性质的判断，抽象不等式恒成立以及根据零点求参数取值范围，不管是恒成立求参数，或者根据零点求参数，都可以采用参变分离的方法，转化为求函数最值，或者求值域的问题.‎