专题11-6 热点题型五 函数与概率问题-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题11-6 热点题型五 函数与概率问题-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型五 概率统计与函数相结 近年来在概率与统计考题中出现了概率统计与函数相结合的问题，主要考查学生数学建模能力，概率与统计思想和函数思想。现就考题中基本问题进行分析如下；‎ ‎【典例1】【2013高考新课标2（理）19】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.‎ ‎（Ⅰ）将T表示为x的函数 （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;‎ ‎（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100，110，求T的数学期望. ‎ ‎【答案】见解析 ‎(3)依题意可得T的分布列为 T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.‎ 考点：频率分布直方图、函数与概率、随机变量的分布列 ‎【思路点拨】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎【典例2】【2016高考新课标1卷】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求,确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？‎ ‎【答案】（I）见解析（II）19（III） ‎【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；‎ ‎ ‎ ； ；‎ ；‎ .‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.‎ 考点：概率与统计、随机变量的分布列 ‎【思路点拨】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2012高考新课标2（理）18】某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 ‎（单位：枝，）的函数解析式。 ‎ ‎（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，‎ 数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？‎ 请说明理由。‎ ‎ ‎ ‎2．【河北衡水中学2017届高三摸底联考】某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元；未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了 盒该产品，以 (单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．‎ ‎（I）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数；‎ ‎（II）将表示为的函数；‎ ‎（III）根据直方图估计利润不少于元的概率．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)．‎ 考点：频率分布直方图 函数解析式、概率 ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1、能准确读取统计图表中的信息，根据题意建立函数模型。‎ ‎2、借助建立的函数模型，联系概率统计知识分析解决问题。‎