上海市华东师大一附中2011-2012学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市华东师大一附中2011-2012学年高二上学期期末考试数学试卷

华东师大一附中2011学年度第一学期高二年级 数学学科期末考试试题 注意：1．答卷前，你务必在答题纸上指定位置将班级、学号、姓名填写清楚．‎ ‎ 2．本试卷共有20道试题，满分100分．考试时间90分钟．‎ ‎ 3．细致冷静，诚实守信，数学老师祝你考出好成绩！‎ 一．填空题（本大题满分11×4=44分）应在空格内直接填写结果．‎ ‎1.已知向量，且，则 ．‎ ‎2.用数学归纳法证明时，从推到时，不等式左端应添加的代数式为 ．‎ 开始 ‎,‎ 输出 结束 是 否 3. 系数矩阵为，且解为的一个线性方程组是 ．‎ ‎4. ．‎ 5. 程序框图如图所示，将输出的的值依次记为，， ，‎ 那么数列的通项公式为 ．‎ 6. 在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线 与所成角的大小为 ．‎ 7. 若圆锥的侧面展开图是弧长为cm、半径为cm的扇形，‎ 则该圆锥的体积为 .‎ 8. 在北纬东经有一座城市A，在北纬东经有一座 城市B，设地球半径为，则A、B两地之间的球面距离是 ．‎ 9. 已知等比数列的首项为，是其前项的和，某同学计算得 ‎，后来该同学发现了其中一个数算错了，‎ 则该数为 ．‎ ‎10.某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有辆国产车和辆进口车，国产车的交易价格为每辆万元，进口车的交易价格为每辆万元．我们把叫交易向量，叫价格向量，则的实际意义是 ．‎ ‎11.设平面上三点不共线，平面上另一点满足，则的面积与四边形的面积之比为 ．‎ 二．选择题（本大题满分5×3=15分）每题有仅有一个正确答案，应在括号内填写选项．‎ ‎12.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 ‎13.右图是某同学为求1006个偶数：2, 4, 6, …, 2012的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎14.下列四个命题中真命题是（ ）‎ ‎（A）垂直于同一直线的两条直线互相平行；‎ ‎（B）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；‎ ‎（C）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；‎ ‎（D）过球面上任意两点的大圆有且只有一个 ‎15.已知等差数列，，将其中所有能被或整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列，则的值为（ ）‎ ‎（A）15011 （B）15067 （C）15071 （D）15131‎ ‎16.一位同学对三元一次方程组（其中实系数不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：‎ ‎ 结论1：当，且时，方程组有无穷多解；‎ 结论2：当，且都不为零时，方程组有无穷多解；‎ 结论3：当，且时，方程组无解．‎ 但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ ‎（A）（1）（2）（3） （B）（1）（3）（2） （C）（2）（1）（3） （D）（3）（2）（1）‎ 三．解答题（本大题满分41分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17.(本题满分4+5=9分)‎ 平面上三个非零向量、、的模均为1，它们之间的夹角均为. ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18.(本题满分9分)‎ 已知命题：（其中为常数），命题：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为，且函数在区间上单调递增．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎19.(本题满分5+5=10分)‎ 如图，在正方体中，分别为和的中点．‎ （1） 求证：∥平面；‎ ‎（2）求二面角大小的余弦值．‎ ‎20.(本题满分3+5+5=13分)‎ 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求数列的前项和；‎ ‎（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ 答案 ‎1.或 2. 3.‎ ‎4. 5. （） 6. ‎ ‎7. 8. 9.‎ ‎10.该批轿车的交易总金额 11.‎ ‎12.C 13.C 14.B 15.C 16.B ‎17.（1）证：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）解：将平方得 ‎ ‎ ‎ 即或 ‎ 故实数的取值范围为或。‎ ‎ ‎ ‎18.解：真时，有 ‎ 真时，有，由题意得：‎ ‎ 假时，有 ‎ 综合，真假时，的取值范围是。‎ ‎19.（1）证：（法一）取中点，连，易得 ‎ 平面，平面 ‎ 平面 ‎ （法二）取中点，连，易得 ‎ 又 ‎ 平面平面 ‎ 又平面 ‎ 平面 ‎（2）解：连交于，连 ‎ 易得 ‎ 为二面角的平面角 ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ 二面角大小的余弦值为。‎ 20. 解：（1），由得，‎ ‎ ‎ ‎ （2），由得，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （3）假设存在，由及，得 ‎ 因，根据题意得：‎ ‎ 即对所有都成立 ‎ 显然和时，不可能，舍去 ‎ 必有 ‎ 综上得：。 ‎