上海市松江区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

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松江区2018学年度第二学期期末质量监控试卷 高二数学 ‎（满分150分，完卷时间120分钟）2019.6‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.‎ ‎1.的平方根是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得解.‎ ‎【详解】由得解.‎ ‎【点睛】本题考查虚数概念，属于基础题.‎ ‎2.若，则实数________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数的性质得解.‎ ‎【详解】由组合数的性质得或，‎ 所以或 ‎【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.‎ ‎3.高二（1）班有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取的男生人数为____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的比例求得.‎ ‎【详解】由分层抽样得抽取男生的人数为人，‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题.‎ ‎4.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】‎ 二项式的展开式的通项为，．‎ 令，可得，‎ 即展开式中常数项为．‎ 答案：‎ ‎5.若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.‎ ‎【详解】由已知得正方体的棱长为，‎ 又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，‎ 所以正方体的外接球的半径，‎ 所以外接球的表面积，‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.‎ ‎6.某校生物研究社共人，他们的生物等级考成绩如下：人分，人分，人分， 人分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出样本的平均数，再求出其标准差.‎ ‎【详解】这八个人生物成绩的平均分为 ，‎ 所以这八个人生物成绩的标准差为 ‎ ‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查样本的标准差，属于基础题.‎ ‎7.已知正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值。‎ ‎【详解】取正三棱锥的底边的中点，连接和,‎ 则在底面正中，，且边长为，所以，‎ 在等腰中，边长为，‎ 所以且，‎ 所以就是侧面与底面所成二面角的平面角，‎ 所以在中，，‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查二面角，属于基础题.‎ ‎8.甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为，则甲、乙两地的球面距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两地经度差得两地纬度小圆上的弦长，再在这两地与球心构成的三角形中运用余弦定理求出球心角，利用弧长公式求解.‎ ‎【详解】由已知得 ，‎ 所以，所以，‎ 所以在中，，所以，‎ 所以甲、乙两地的球面距离为.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查两点的球面距离，关键在于运用余弦定理求出球心角，属于中档题.‎ ‎9.若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.‎ ‎【详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，‎ 而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点： ，‎ 所以概率 ‎ 故得解．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.‎ ‎10.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次方程的判别式和虚数根的模列出不等式组，求得其范围.‎ ‎【详解】由已知得，解得；‎ 又因为，所以，解得；‎ 所以实数的取值范围是 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程的判别式和复数的模，属于基础题.‎ ‎11.设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量的夹角公式求解.‎ ‎【详解】向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；‎ 向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；‎ 且为圆与圆的距离为1，‎ 如图所示，两向量的夹角最大，为.‎ ‎【点睛】本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题.‎ ‎12.如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转.且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在四面体中找出与垂直的面，在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.‎ ‎【详解】和都是等边三角形，取中点，‎ 易证，，即平面，所以.‎ 设在平面内的投影为，则在四面体绕着旋转时，恒有.‎ 因为平面，所以在平面内的投影为.‎ 因此，四面体在平面内的投影四边形的面积 要使射影面积最小，即需最短；‎ 在中，，，且边上的高为，‎ 利用等面积法求得，边上的高，且，‎ 所以旋转时，射影的长的最小值是.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.‎ ‎13.若向量，，则向量与（）‎ A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标关系得解.‎ ‎【详解】 ，所以向量与平行.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14.若点为两条异面直线、外的任意一点，则下列说法一定正确的是（）‎ A. 过点有且仅有一条直接与、都平行 B. 过点有且仅有一条直线与、都垂直 C. 过点有且仅有一条直线与、都相交 D. 过点有且仅有一条直线与、都异面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从与两异面直线垂直、平行、异面、相交的直线中找到成立的依据和不成立的反例得解.‎ ‎【详解】设过点的直线，若与平行，与平行，则与平行与与异面相矛盾，所以答案A错误； ‎ 答案B正确，此条直线就是、的公垂线；‎ 过点不一定存在与、都相交的直线,所以答案C错误；‎ 过点不只存在一条与、都异面的直线,所以答案D错误.‎ ‎【点睛】本题考查与两异面直线的垂直、平行、异面、相交等关系的问题，关键要能举出结论不成立的反例，属于中档题.‎ ‎15.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为形（每次旋转90°仍为形的图案），那么在个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的形需案的个数是（）‎ A. 36 B. 64 C. 80 D. 96‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把问题分割成每一个“田”字里，求解.‎ ‎【详解】每一个“田”字里有个“”形，如图 因为的方格纸内共有个“田”字，所以共有个“”形..‎ ‎【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.‎ ‎16.已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.‎ ‎【详解】据条件，，，且，‎ 所以，，化简得，，‎ 当时，取得最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎17.己知复数满足，，其中，为虚数单位.‎ ‎（l）求：‎ ‎（2）若.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的概念和复数的运算法则求解.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎∴，‎ 解得：；‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数、复数的模和复数的运算，属于基础题.‎ ‎18.在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门.‎ ‎（1）小李同学共有多少种不同的选科方案？‎ ‎（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率.‎ ‎【答案】（1）小李同学共有7种不同的选科方案（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)运用排除法求解；‎ ‎(2)列出两位同学相同的选科方案，求比值可求解.‎ ‎【详解】解：（1）在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为，‎ 在化学、政治、历史任意选两门方法数为，‎ ‎，‎ 因此，小李同学共有7种不同的选科方案；‎ ‎（2）小吴同学有4种不同的选科方案，‎ 小吴同学与小李同学两人选科的方案共有种，‎ 其中两人选科相同的方案只有1种，‎ 因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查有条件的组合问题，属于基础题.‎ ‎19.如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.‎ ‎（1）求该圆锥体积：‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)运用圆锥的体积公式求解；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.‎ ‎【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，‎ 由题意，∴，‎ 底面圆周长，∴，‎ ‎∴，‎ 因此，该圆锥的体积；‎ ‎（2）如图所示，取弧的中点，则，‎ 因为垂直于底面，所以、、两两垂直 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ 计算得，，，，‎ 所以，，‎ 设与所成角的大小为，‎ 则，‎ 所以，‎ 即异面直线与所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.‎ ‎20.如图（1）.在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；‎ ‎（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）点位于中点时，三棱锥体积最大，最大值为（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据线面垂直的判定定理证明；‎ ‎(2)将三棱锥的体积表示成某个变量的函数，再求其最大值；‎ ‎(3)先找出线面角的平面角，再解三角形求角.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，，‎ ‎∴，因此，‎ 所以，‎ 又∵，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）解：设，则，‎ 由（1），又因为，，‎ ‎∴平面；‎ 所以，‎ 因此当，即点位于中点时，‎ 三棱锥体积最大，最大值为；‎ ‎（3）解：如图，联结，‎ 由于，且，‎ ‎∴，即，‎ 因此即为与平面所成角，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 所以，‎ 即与平面所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明和体积的最值以及求线面角，属于中档题.‎ ‎21.已知数列的首项为1.记.‎ ‎（1）若为常数列，求的值：‎ ‎（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式：‎ ‎（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式：若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在等差数列满足题意，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据常数列代入其值得解；‎ ‎(2)根据等比数列和用赋值法解决二项式展开式的相关问题求解；‎ ‎(3)对于开放性的问题先假设存在等差数列，再推出是否有恒成立的结论存在，从而得结论.‎ ‎【详解】解：（1）∵为常数列，∴.‎ ‎∴‎ ‎（2）∵为公比为2的等比数列，.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故.‎ ‎（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，‎ 设公差为，则 相加得 ‎∴.‎ ‎∴恒成立，‎ 即恒成立，∴‎ 故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为 ‎【点睛】本题关键在于观察所求式子的特征运用二项式展开式中的赋值法的思想，属于难度题.‎ ‎ ‎