2020版高考数学一轮复习（讲义·理） 第3章 三角函数解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时两角和差及倍角公式

2020版高考数学一轮复习（讲义·理） 第3章 三角函数解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换 第1课时两角和差及倍角公式

第5讲　简单的三角恒等变换 第1课时　两角和、差及倍角公式 ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)C(α∓β)：cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.‎ ‎(2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.‎ ‎(3)T(α±β)：tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.‎ ‎(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)T2α：tan2α＝ .‎ ‎3.公式的常用变形 ‎(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．‎ ‎(2)cos2α＝，‎ sin2α＝.‎ ‎(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，‎ sinα±cosα＝sin.‎ ‎(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝ ‎，tanφ＝(a≠0)．‎ ‎1.概念辨析 ‎(1)公式C(α±β)，S(α±β)，S2α，C2α中的角α，β是任意的．(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)‎ ‎(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(5)对任意角α都有1＋sin＝2.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2.小题热身 ‎(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)‎ A.－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因为cosα＝－，α是第三象限的角，‎ 所以sinα＝－＝－，‎ 所以sin＝sinαcos＋cosαsin ‎＝×＋×＝－.‎ ‎(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(　　)‎ A.sin(α＋2β) B．sinα C.cos(α＋2β) D．cosα 答案　D 解析　cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.‎ ‎(3)已知cosx＝，则cos2x＝(　　)‎ A.－ B. C．－ D. 答案　D 解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.‎ ‎(4)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tanα＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A.0 B. C. D. 答案　D 解析　由角α与角β的始边相同，终边关于y轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα＝，所以tanβ＝－，‎ 所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.‎ 题型 　两角和、差及倍角公式的直接应用 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P，则sin(α－β)＝________.‎ 答案　－ 解析　因为角α的终边与单位圆交于点P，‎ 所以sinα＝，cosα＝.‎ 因为角α与角β的终边关于y轴对称，‎ 所以角β的终边与单位圆交于点Q，‎ 所以sinβ＝，cosβ＝－，‎ 所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝－.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________.‎ 答案　 解析　tan＝＝＝，‎ 解方程得tanα＝.‎ ‎3.已知α∈，sinα＝，则cos的值为________．‎ 答案　－ 解析　因为α∈，sinα＝.‎ 所以cosα＝－＝－.‎ 所以sin2α＝2sinαcosα＝－，‎ cos2α＝cos2α－sin2α＝，‎ 所以cos＝coscos2α＋sinsin2α ‎＝－×＋×＝－.‎ 应用三角公式化简求值的策略 ‎(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．‎ ‎(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．‎ ‎(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.‎ ‎1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)‎ A.－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，‎ ‎∴cosα＝－＝－，‎ ‎∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.‎ ‎2.(2018·上饶三模)由射线y＝x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y＝－x(x≤0)的位置所成的角为θ，则cosθ＝(　　)‎ A.－ B．± C．－ D．± 答案　A 解析　设y＝x(x≥0)的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线y＝－x(x≤0)的倾斜角为β，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.‎ ‎3.若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)‎ A.5 B．－1 C．6 D. 答案　A 解析　由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，‎ sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，‎ cosαsinβ＝，∴＝5.‎ 题型 　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用 ‎1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　－sin133°cos197°－cos47°cos73°‎ ‎＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.‎ ‎2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)‎ A. B．1＋ C.2 D．2(tan18°＋tan27°)‎ 答案　C 解析　(1＋tan18°)(1＋tan27°)‎ ‎＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°‎ ‎＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.‎ ‎3.已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________.‎ 答案　 解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.‎ 条件探究1　将举例说明3的条件改为“sinα－cosα＝”，求cos4α.‎ 解　因为sinα－cosα＝，‎ 所以1－2sinαcosα＝，‎ 所以sin2α＝2sinαcosα＝－，‎ 所以cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝－.‎ 条件探究2　将举例说明3的条件改为“cos2＝，α∈(π，2π)”，求sinα＋cosα.‎ 解　因为cos2＝ ‎＝＝.所以sin2α＝>0，‎ 又因为α∈(π，2π)，所以α∈，‎ 所以sinα＋cosα<0，‎ ‎(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，‎ 所以sinα＋cosα＝－.‎ ‎1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 ‎(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．‎ ‎(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．‎ ‎2．熟记三角函数公式的两类变式 ‎(1)和差角公式变形 sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，‎ cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，‎ tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．‎ ‎(2)倍角公式变形 降幂公式cos2α＝，sin2α＝，‎ 配方变形：1±sinα＝2,1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.‎ ‎1.若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得，coscos－sinsin＝cosx＝0.∵x∈[0，π]，∴x＝.‎ ‎2.(2019·湖南郴州质检)已知x∈(0，π)，‎ sin＝cos2，则tanx＝(　　)‎ A. B．－2 C. D. 答案　D 解析　因为sin＝cos2，‎ 所以cosx－sinx＝，‎ cosx－sinx＝1－sinx，解得cosx＝，‎ 因为x∈(0，π)，所以sinx＝＝，‎ 所以tanx＝＝＝.‎ ‎3.化简：·＝________.‎ 答案　 解析　原式＝tan(90°－2α)·＝· ‎＝·＝.‎ 题型 　两角和、差及倍角公式的灵活应用 角度1　角的变换 ‎1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎(1)求sin2β的值；‎ ‎(2)求cos的值．‎ 解　(1)sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.‎ ‎(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，‎ 所以sin>0，cos(α＋β)<0，‎ 因为cos＝，sin(α＋β)＝，‎ 所以sin＝，cos(α＋β)＝－，‎ 所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.‎ 角度2　函数名称的变换 ‎2.求值：(1)＝________；‎ ‎(2)－sin10°＝________.‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)＝ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)原式＝－sin10°· ‎＝－sin10°· ‎＝－sin10°· ‎＝－2cos10°＝ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.‎ ‎1.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　∵0<α<，∴<α＋<.‎ ‎∵cos＝，∴sin＝.‎ ‎∵－<β<0，∴<－<.‎ ‎∵cos＝，∴sin＝.‎ ‎∴cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎2.(2018·吉林第三次调研)若sin＝，则cos2＝________.‎ 答案　 解析　因为sin＝sin＝cos＝，所以cos2＝＝＝.‎ ‎3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值．‎ 解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.‎ 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，‎ 因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．‎ 又因为cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.‎ 因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，‎ 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]‎ ‎＝＝－.‎ ‎ 思想方法　三角恒等变换中的拆角、凑角思想 ‎[典例1]　(2018·石嘴山一模)已知α满足sinα＝，那么sinsin的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　∵sin＝sin＝cos，‎ ‎∴sinsin＝sincos＝sin＝cos2α＝(1－2sin2α)＝＝.‎ ‎[典例2]　若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.‎ 答案　 解析　因为tanα＝，tan(α＋β)＝，‎ 所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.‎ 方法指导　三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.‎