2019-2020学年山东省泰安市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省泰安市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省泰安市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求，再求．‎ ‎【详解】‎ 由已知得，所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．‎ ‎2．设：，：，则是的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：因为：，‎ 所以：或，‎ 因为：，‎ 所以是的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.‎ ‎3．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．6 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】变换展开利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，∴，当且仅当 时，即时取“”.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.‎ ‎4．函数的两个零点分别位于区间（ ）‎ A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 ‎【答案】A ‎【解析】将进行整理化简，可得为二次函数，求出零点即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 令，解得：，‎ 因为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.‎ ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.‎ ‎【详解】‎ 解：由题得，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，，即 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等.‎ ‎6．函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断.‎ ‎【详解】‎ 解：的定义域为，‎ ‎，‎ 所以函数为偶函数，故正确答案在A、B中，‎ 当时，，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选.‎ ‎7．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎8．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】要求函数的最大值，可先分别探究函数与 的单调性，从而得到的最大值．‎ ‎【详解】‎ 易知在上单调递增，上单调递增.‎ 因为，，所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.‎ 二、多选题 ‎9．已知，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】AB ‎【解析】求解出、，对选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，且，‎ 所以，‎ ‎，A正确；‎ ‎，B正确；‎ ‎，，，C不正确；‎ ‎，D不正确；‎ 故选：AB ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键.‎ ‎10．已知，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，为减函数，‎ 所以，‎ 因为，为增函数，‎ 所以，‎ 又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，‎ 所以，同理可得，，‎ 故选：ACD ‎【点睛】‎ 本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.‎ ‎11．已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断.‎ ‎【详解】‎ 选项A：任取，则，取，‎ 故，‎ 所以存在这样的使得成立，选项A正确；‎ 选项B：任取点，取点，‎ 表示的几何意义是，‎ 即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，‎ 如图，‎ 当点运动时，直线与曲线均有交点，‎ 选项B是正确的；‎ 选项C：任取点，取点，‎ 表示的几何意义是，‎ 即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，‎ 如图，‎ 当点运动时，直线与曲线均有交点，‎ 选项C是正确的；‎ 选项D：在函数上取点时，若存在使得成立，‎ 则，则一定有，不满足函数的定义域，‎ 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确；‎ 故选：ABC ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.‎ 三、填空题 ‎12．若定义域为的函数同时满足以下三条：‎ ‎（ⅰ）对任意的总有（ⅱ）‎ ‎（ⅲ）若则有就称为“A函数”，下列定义在的函数中为“A函数”的有_______________‎ ‎①；②③④‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①显然在[0，1]满足条件①≥0；也满足条件②f（1）=1．‎ 若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f (x1+x2)−[f (x1)+ f (x2)]＝(x1+x2)− (x1+ x2)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．‎ ‎②显然=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；也满足条件②g（1）=1．‎ 若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则g(x1+x2)−[g(x1)+g(x2)]＝2x1+x2−1−[(2x1−1)+(2x2−1)]=2x1+x2−2x1−2x2+1＝(2x2−1)(2x1−1)≥0，即满足条件③，故f（x）为A函数．‎ ‎③显然在[0，1]不满足条件①f（x）≥0,不为A函数．‎ ‎④显然在[0，1]满足条件①f（x）≥0；也满足条件②f（1）=1．‎ 若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]＝不满足条件③，故f（x）不为A函数．‎ ‎【点睛】‎ 本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用．‎ ‎13．计算：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：‎ ‎．‎ 法二： ‎ ‎．‎ 故答案为0‎ ‎14．命题：，的否定是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“”的否定是“”.‎ ‎【考点】全称命题与特称命题.‎ ‎15．已知幂函数的图象过点______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．‎ ‎【详解】‎ 设幂函数为常数，‎ 幂函数的图象过点，，解得．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．‎ ‎16．已知函数，且，则实数______，函数的单调递增区间为______.‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】（1）由等式求解，‎ ‎（2）将（1）的结果代入化简得，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 解得：；‎ ‎（2）将代入，得，‎ 化简得，‎ 故，‎ 解得：，，‎ 故函数的增区间为：.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.‎ 四、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎（1）求集合,；‎ ‎（2）若集合且,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简集合，利用指数函数的性质化简集合，从而可求出，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）‎ 等价于，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）,‎ ‎∴，,‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，,‎ 当时，时满足∴;‎ ‚当时，要使，则 综上所述，.‎ ‎18．在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）选条件①②③任一个，均有；（2）选条件①②③任一个，函数在上的单调递增区间均为，.‎ ‎【解析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；‎ ‎（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.‎ ‎【详解】‎ 解： 函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，‎ ‎.‎ 方案一：选条件①‎ 为奇函数，，‎ 解得：，.‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，，‎ 得，，‎ 令，得，令，得，‎ 函数在上的单调递增区间为，；‎ 方案二：选条件②‎ ‎，，‎ ‎，或，，‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，，‎ 得，，‎ 令，得，令，得，‎ 函数在上的单调递增区间为，；‎ 方案三：选条件③‎ 是函数的一个零点，，‎ ‎，.‎ ‎（1），，；‎ ‎（2）由，，得，‎ 令，得，令，得.‎ 函数在上的单调递增区间为，‎ ‎【点睛】‎ 本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解的值，即要找出周期，求常见方法是代入一个点即可.‎ ‎19．已知函数f(x)＝sin·sin＋sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）∵ .‎ ‎∴.‎ ‎（2）由，而可得：，即.‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴的最大值为.‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（2）是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）利用作差法证明函数的单调性；‎ ‎（2）利用奇偶性的定义求解的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在上单调递减，‎ 证明：，且 则 ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 在上单调递减；‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 若为奇函数，则恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎，‎ 解得：，存在，使得为奇函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法.‎ ‎21．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.‎ ‎（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；‎ ‎（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）100百件 ‎【解析】（1）根据收益总收入成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；‎ ‎（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，；‎ 当时，；‎ ‎；‎ ‎（2）当时，，当时，；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，.‎ 年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。‎ ‎22．若（，且）.‎ ‎（1）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）方程有解，转化为新函数在上有零点，利用零点存在定理求解；‎ ‎（2）由在上恒成立，即要求解的最大值，控制的范围，研究函数的单调性，从而解决问题.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）时，，‎ 函数的定义域为.‎ ‎，，即，‎ 令 ‎，在上单调递增，‎ 要使有解，则，；‎ ‎（2）.‎ 由题意知，，.‎ 函数在区间上单调递增.‎ ‎①若，则在上单调递减，‎ 在上的最大值为.‎ 在上恒成立，，‎ 解得或，.‎ ‎②若，则在上单调递增，‎ 在上的最大值为.‎ 在上恒成立，，，解得，‎ ‎，此时，不存在满足题意，‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质问题，函数零点存在定理，恒成立问题，有解问题等等，还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.‎