高中数学选修2-2教学课件4_3_3 函数的最大（小）值与导数

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1.3.3 函数的最大（小）值与导数 14 二月 2021 1. 用导数求函数单调区间的步骤： ① 求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ). ② 令 f ′( x ) ＞ 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . ③ 令 f ′( x ) ＜ 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 . 一、复习引入： 2. 判别 f ( x 0 ) 是极大、极小值的方法 : 3. 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤 : (1) 确定函数的定义区间，求导数 f ′ ( x ) (2) 求方程 f ′ ( x )= 0 的根 (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干 小开区间，并列成表格 . 检查 f ′( x ) 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右 正，那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号， 那么 f ( x ) 在这个根处无极值 . 注 ：导数为零的点是该点为极值点的 必要条件 , 而不是充分条件 . 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到 . 请考察下列函数的最值的存在性 1 -2 -2 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 讲授新课 最值的存在性定理 求函数的最值时 , 应注意以下几点 : (1) 函数的 极值 是在 局部 范围内讨论问题 , 是一个局部概念 , 而函数的 最值 是对整个定义域而言 , 是在整体范围内讨论问题 , 是一个 整体性 的概念 . (2) 闭区间 [a,b] 上的 连续函数一定有最值 . 开区间 (a,b) 内的可导函数不一定有最值 , 但若有唯一的极值 , 则此极值必是函数的最值 . (3) 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 , 而函数的极值则可能不止一个 , 也可能没有极值 , 并且极大值 ( 极小值 ) 不一定就是最大值 ( 最小值 ). 练 1. 函数 y = x ³ + 3 x ² － 9 x 在 [ － 4 , 4 ] 上的最大值为 , 最小值为 . 分析 : (1) 由 f ´ ( x )=3 x ² +6 x － 9=0, (2) 区间［－ 4 , 4 ］端点处的函数值为 f ( － 4) =20 , f (4) =76 得 x 1 = － 3 ， x 2 =1 函数值为 f ( － 3)=27, f (1)= － 5 当 x 变化时， y′ 、 y 的变化情况如下表： x -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 - 0 + 0 y 20 27 - 5 76 比较以上各函数值， 可知函数在［－ 4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76 ， 最小值为 f (1)= － 5 例 2 已知 x ∈(0,+∞). 是否存在实数 a 、 b 使 f(x) 同时满足下列两个条件：（ 1 ） f(x) 在（ 0 ， 1 ）上是减函数，在［ 1 ， +∞) 上是增函数 ； ( 2)f(x) 的最小值是 1 ，若存在，求出 a,b, 若不存在，说明理由 . 解：设 g ( x )= ∵ f ( x ) 在（ 0 ， 1 ）上是减函数，在［ 1 ， +∞) 上是增函数 ∴ g ( x ) 在（ 0 ， 1 ）上是减函数，在［ 1 ， +∞) 上是增函数 . 经检验， a =1, b =1 时， f ( x ) 满足题设的两个条件 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值 : 练习 2: 最大值 f ( － 1)=3 ，最小值 f (3)= － 61 （ 04 浙江文 21 ）（本题满分 12 分） 已知 a 为实数， （ Ⅰ ）求导数 ； （ Ⅱ ）若 ，求 在 [-2 ， 2] 上的最大值和最小值； （ Ⅲ ）若 在（ -∞ ， -2] 和 [2 ， +∞ ）上都是递增的，求 a 的取值范围。 例 3 五、小结 1. 求在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 [a,b] 上的 最值的步骤 : (1) 求 f(x) 在 (a,b) 内的极值 ; (2) 将 f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较 , 其中最大的一个 是最大值 , 最小的一个是最小值 . 2. 求函数的最值时 , 应注意以下几点 : (1) 要正确区分极值与最值这两个概念 . (2) 在 [a,b] 上连续 ,(a,b) 上可导的函数 f(x) 在 (a,b) 内未 必有最大值与最小值 . (3) 一旦给出的函数在 (a,b) 上有个别不可导点的话 , 不 要忘记在步骤 (2) 中 , 要把这些点的函数值与各极值 和 f(a) 、 f(b) 放在一起比较 . 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习 . 谢谢！ 再见！ 作业