上海市17区县2013届高三（数学理科）分类汇编：专题三 解析几何

上海市17区县2013届高三（数学理科）分类汇编：专题三 解析几何

专题三 解析几何 ‎2013年2月 ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，‎ ‎∠=，则到轴的距离为 ………（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ． ． ． ．‎ ‎17．；‎ ‎（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ ）．‎ ‎. . . ‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，则动点的轨迹方程为__________________．‎ ‎9． ‎ ‎（崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线：与抛物线的准线交于两点，，则 双曲线的实轴长等于……………………………………………………………………（　　）‎ ‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎ 17、 ‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线 是双曲线的一条渐近线．以线段OF为边作正三角形MOF，若点在双曲线 上，‎ 则的值为 ． 13．； ‎ ‎（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7． ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）14、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于 ． 14、；‎ ‎（松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换将平面内的点变换到平面内的点．‎ 若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和．某同学研究后认为曲线具有如下性质：‎ ‎①对任意的，曲线都关于原点对称；‎ ‎②对任意的，曲线恒过点；‎ ‎③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；‎ ‎④记矩形的面积为，则 其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线的焦点到准线的距离为 . 3．2；‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为 　　 ．11．； ‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为____________．文 ‎ ‎ ‎ （青浦区2013届高三一模）3．抛物线的焦点坐标是____ ．‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________．‎ ‎ 文 ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线:，则该直线的倾斜角是 . 5．；‎ ‎（金山区2013届高三一模）11．双曲线C：x2 – y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为__________．11． ‎ ‎ ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）4、双曲线的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、； ‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．‎ O A B M x y ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：为定值．‎ ‎21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ O A B M x y ‎（1）将与代入椭圆的方程，得 ‎，…………（2分）‎ 解得，．…………（5分）‎ 所以椭圆的方程为．…………（6分）‎ ‎（2）由，知在线段的垂直平分线上，‎ 由椭圆的对称性知、关于原点对称．‎ ‎①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时 ‎．……（1分）‎ 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时 ‎．……（2分）‎ ‎②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），‎ 则直线的方程为．设，，‎ 由，解得，，……（4分）‎ 所以，同理可得，‎ 所以．……（7分）‎ 综上，为定值．…………（8分）‎ ‎ ‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分．‎ 给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的 ‎“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；‎ ‎（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；‎ ‎（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 解：（1）由题意知，且，可得，‎ 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 ‎（2）由题意，可设，则有，‎ 又A点坐标为，故，‎ 故 ‎, …………………………8分 又，故， ‎ 所以的取值范围是． …………………………10分 ‎（3）设，则．‎ 当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．‎ 当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，‎ 则的方程为，代入椭圆方程可得 ‎，即，‎ 由， …………………………13分 可得，其中， ‎ 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，‎ 故，即．‎ 综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．　…… …………………………16分 ‎（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆．‎ ‎（1）直线：与圆相交于、两点，求；‎ ‎（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由． ‎ ‎21、（14分）解：（1）圆心到直线的距离．‎ 圆的半径，．………………4分 ‎（2），，则，，，．………………8分 ‎：，得．‎ ‎：，得．…………12分 ‎………………14分[来源:学科网]‎ ‎（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点．‎ ‎(1) 求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2) 若，求直线l的方程；‎ ‎(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B2PQ的面积的取值范围．‎ ‎22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. ‎ 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90º，得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中，，从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分 ‎(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ‎ ‎，又，所以 ‎ ‎………………………………8分 由，得=0，即，解得； ‎ 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分 ‎ ‎(3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分 当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离，‎ 因此t=，得………………………………………13分 联立方程组：得，由韦达定理知，‎ ‎，所以，‎ 因此. ‎ 设，所以，所以…15分 综上所述：△B2PQ的面积……………………………………………16分 ‎ ‎（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．‎ 设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．‎ ‎(1)若，求线段中点M的轨迹方程；‎ ‎ (2) 若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；‎ ‎ (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．‎ 解：(1) 设，，焦点，‎ 则由题意，即……………………………………2分 所求的轨迹方程为，即…………………………4分 ‎(2) ，，直线，……………………5分 由得，，‎ ‎……………………………………………7分 ‎， ……………………………………………8分 ‎ ……………………………………………9分 ‎(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．‎ 点的坐标为．‎ 设直线AB：，代入抛物线得，……………………11分 所以，……………………………………………12分 又，，‎ 因而，‎ 因而……………14分 而，故．……………………………………………16分 ‎（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）‎ ‎　　如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于 两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．‎ 试探究：① 以为直径的圆与轴的位置关系？‎ ‎ ② 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？‎ 若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．‎ y x A B O F1‎ F2‎ ‎23、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ‎ ‎，椭圆E的方程为 ‎ ‎（2）①由，得方程 由直线与椭圆相切得 ‎ 求得，，中点到轴距离 ‎ ‎。‎ 所以圆与轴相交。 ‎ ‎（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。‎ 由得 所以，即 所以定点为。 ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.‎ 设直线交椭圆于两点，交直线于点．‎ ‎（1）若为的中点，求证：；‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；‎ ‎（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．‎ 解：（1）解法一：设 ‎………………………2分 ‎ ，………………4分 又………………………7分 解法二（点差法）：设 ‎，‎ 两式相减得 即……………………………………………………3分 ‎ ………………………………………………………………………7分 ‎（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若，则为的中点．………………………9分 证法一：由方程组 ‎……………………………………………………………………………………………10分 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，即，设、、‎ 则 ，……………………12分 又因为，所以 ‎，故E为CD的中点．……………………………14分 证法二：设 则，‎ 两式相减得 即………………………………………………………9分 又，即 ……………………………………………………12分 得，即为的中点．……………………………14分 ‎（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．…………………16分 ‎（松江区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.‎ ‎（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；‎ ‎（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.‎ ‎23．解：（1）∵， ………………………1分 由，得，即 ‎ 可得 ………………………3分 ‎ ‎∴的渐近线方程为 ………………………4分 ‎（2）设，，又、，‎ ‎∴直线的方程为…………①‎ 直线的方程为…………② ……………………6分 由①②得 ………………………………8分 ‎∵ 在双曲线上 ‎∴ ∴ ………………………………10分 ‎（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，‎ 设、的坐标分别为、 ……………………………11分 则由 得，‎ 即，‎ 当时，‎ ‎∵‎ ‎∴， ………………………13分 ‎ ‎ 由 知 ，‎ ‎∴ …………………………………16分 ‎∵双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，‎ ‎∴ …………………………………17分 ‎∵ ‎ ‎∴对任意的，在伴随曲线上总存在点， ‎ 使得………………………………18分 ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．‎ 椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.‎ ‎ 若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.‎ ‎ （1）求椭圆的方程； ‎ ‎ （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.‎ 若直线的斜率之和为0，求证：为定值.‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．‎ 解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为 所以， ………4分 解得， ．‎ 故椭圆的方程为． ………6分 ‎（方法2、待定系数法）‎ ‎（2）设，，‎ 由：，， ………8分 两式相减，得到 所以，即， ………11分 同理，‎ 所以，又因为直线的斜率之和为0，‎ 所以 ………14分 方法2、(可参照方法1给分)‎ 设直线：，代入椭圆，得到 ‎，化简得 ‎(以下略) ‎