高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题五第3讲课时训练提能

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题五第3讲课时训练提能

专题五 第3讲　直线与圆锥曲线 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 A.－＝1　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　对于椭圆C1，a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，c＝5，a＝4，b＝3，‎ 故标准方程为－＝1.故选A.‎ 答案　A ‎2．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A.　　　　 B．5‎ C.　　　　 D. 解析　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y，‎ 得x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，‎ 所以＝2，e＝＝＝ ＝，‎ 故选D.‎ 答案　D ‎3．(2012·惠州模拟)已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且· ‎＝0，则点M到x轴的距离为 A. B. C. D. 解析　设||＝m，||＝n，由，得m·n＝4，‎ 由S△F1MF2＝m·n＝|F1F2|·d，解得d＝.故选B.‎ 答案　B ‎4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos ∠AFB＝‎ A. B. C．－ D．－ 解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由题意，得点F(1,0)，由消去y，得x2－5x＋4＝0，x＝1或x＝4，‎ 因为点A(1，－2)、B(4,4)，＝(0，－2)，＝(3,4)，‎ cos ∠AFB＝＝＝－，故选D.‎ 答案　D ‎5．(2012·课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 A. B. C. D. 解析　利用椭圆的离心率概念结合图形求解．‎ 由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.‎ ‎∴|PF2|＝2×＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，‎ ‎∴e＝＝.‎ 答案　C ‎6．在△ABC中，已知A(－4,0)，B(4,0)，且sin A－sin B＝sin C，则C的轨迹方程是 A.＋＝1 B.－＝1(x＜－2)‎ C.－＝1 D.－＝1(y≠1)‎ 解析　在△ABC中，由正弦定理可得：‎ sin A－sin B＝sin C⇔a－b＝c，‎ 即|CB|－|CA|＝4，故C点的轨迹为双曲线的一支，‎ 由A(－4,0)，B(4,0)为焦点，2a＝4可得 其方程为－＝1(x＜－2)．‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2012·武汉模拟)已知F1、F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．‎ 解析　因为双曲线方程为－＝1，所以2a＝8.‎ 由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①‎ ‎|QF2|－|QF1|＝‎2a＝8，②‎ ‎①＋②，得 ‎|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16.‎ 所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.‎ 答案　16‎ ‎8．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．‎ 解析　由已知，得抛物线方程为y2＝4x.直线l的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB的中点，故直线l的斜率存在，设其为k，则直线l的方程是y－2＝k(x－2)且k≠0，与抛物线方程联立，消掉x，则y2－4＝0，即y2－y＋－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又＝2，即＝2，解得k＝1，故所求的直线方程是y－2＝x－2，即y＝x.‎ 答案　y＝x ‎9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是________．‎ 解析　设点P(x，y)，则Q(－1，y)，‎ 由·＝·，得 ‎(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，‎ 化简，得y2＝4x.故填y2＝4x.‎ 答案　y2＝4x 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，∠F1PF2＝60°，设＝λ.‎ ‎(1)当λ＝2时，求椭圆离心率；‎ ‎(2)当椭圆离心率最小时，PQ为过椭圆右焦点F2的弦，且|PQ|＝，求椭圆的方程．‎ 解析　(1)∵＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，‎ cos ∠F1PF2＝＝，‎ ‎∴＝，∴＝，∴e＝.‎ ‎(2)依题意得，⇒，‎ cos ∠F1PF2＝＝，‎ ‎∴＝3，∴1－e2＝，‎ ‎∴e2＝1－＝1－≥1－＝，‎ 当λ＝1时，上式取等号，|PF2|＝·2a＝a，‎ ‎∴P(0，b)，‎ ‎(或P(0，－b)，由对称性可知仅研究其一即可)‎ ‎∴当e＝时，PQ所在直线的斜率k＝－＝－，‎ ‎∴PQ所在直线的方程是y＝－(x－c)．‎ 设Q(x1，y1)，‎ 由⇒5x2－8cx＝0，‎ ‎∴x1＝，y1＝－，‎ ‎|PQ|＝　＝，‎ ‎∴c＝1，∴所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎11．(2012·福州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆G的方程．‎ ‎(2)设直线y＝kx＋m与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．‎ 解析　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，则离心率e＝＝，‎ 故＝，而b2＝1，解得a2＝3，‎ 故所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设P(xP，yP)、M(xM，yM)、N(xN，yN)，‎ P为弦MN的中点，‎ 由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，‎ ‎∵直线与椭圆相交，‎ ‎∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)＞0‎ ‎⇒m2＜3k2＋1，①‎ ‎∴xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝，‎ 当k≠0时，∴kAP＝＝－(m＝0不满足题目条件)‎ ‎∵|AM|＝|AN|，‎ ‎∴AP⊥MN，则－＝－，‎ 即2m＝3k2＋1，②‎ 把②代入①得m2＜2m，解得0＜m＜2，‎ 由②得k2＝＞0，解得m＞.‎ 故＜m＜2.‎ 当k＝0时，∵直线y＝m是平行于x轴的一条直线，‎ ‎∴－1＜m＜1，综上，求得m的取值范围是－1＜m＜2.‎ ‎12．(2012·西城一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解析　(1)由＝e2＝＝1－，得＝.‎ 依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b＝2，‎ 故a＝3.‎ 所以椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.‎ 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.‎ 设P(a,0)，则有＋＝0.‎ 将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，‎ 整理得＝0，‎ 所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.‎ 将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，‎ 整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，‎ 所以a＝.‎ 综上，存在定点P，使PM平分∠APB.‎