高中数学讲义微专题29 图像变换在三角函数中的应用

高中数学讲义微专题29 图像变换在三角函数中的应用

- 1 - 微专题 29 图像变换在三角函数中的应用 在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如 的函数，通过横 纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换， 尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识： （一）图像变换规律：设函数为 （所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换： （1） ： 的图像向左平移 个单位 （2） ： 的图像向右平移 个单位 （3） ： 的图像向上平移 个单位 （4） ： 的图像向下平移 个单位 2、函数图像的放缩变换： （1） ： 的图像横坐标变为原来的 （图像表现为横向的伸缩） （2） ： 的图像纵坐标变为原来的 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1） ： 在 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于 轴 对称的图像 （2） ： 在 轴上方的图像不变， 轴下方的部分沿 轴向上翻折即可（与原 轴下方图像关于 轴对称） （二）图像变换中要注意的几点： 1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？ 在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如： ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为 平移变换 2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数” 平移变换 （2）添“系数” 放缩变换 （3）加“绝对值” 翻折变换  siny A x    y f x  f x a  f x a  f x a  f x a  f x b  f x b  f x b  f x b  f kx  f x 1 k  kf x  f x k  f x  f x x y  f x  f x x x x x x  3 1y f x    2y f x      - 2 - 3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安 排顺序时注意以下原则： ① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有 发生相应变化 例如： 可有两种方案 方案一：先平移（向左平移 1 个单位），此时 。再放缩（横坐标变为原来的 ），此时系数 只是添给 ，即 方案二：先放缩（横坐标变为原来的 ），此时 ，再平移时，若平移 个单 位，则 （只对 加 ），可解得 ，故向左平移 个单位 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如： 有两种方案 方案一：先放缩： ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加 1， 即 方案二：先平移： ，则再放缩时，若纵坐标变为原来的 倍，那么 ，无论 取何值，也无法达到 ，所以需要对 前一步进行调整：平移 个单位，再进行放缩即可（ ） 二、典型例题： 例 1：要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过 程中要注意只有含 的地方进行了变化，所以只有 ，所以是 向右平移 个单位 答案：C 小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。 x    2 1y f x y f x       1f x f x  1 2 2 x    1 2 1f x f x   1 2    2f x f x a       2 2 2 2f x f x a f x a    x a 1 2a  1 2    2 1y f x y f x       2y f x y f x       2 2 1y f x y f x        1y f x y f x    a     1 1y f x y a f x     a  2 1y f x  1 2 2a  sin 2 3y x      sin 2y x 3  3  6  6  x sin 2 sin 26 3y x x              6  - 3 - （2）对于 前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。 例 2：把函数 的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再 把图像向右平移 个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） A. B. C. D. 思路： ，经过化简可得： 答案：A 例 3：为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的， 只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考 虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一， ，第二步观察 可得只是经过平移变换，但是受到 系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移 了多少，目标函数： ；原函数： 可得平移了 个单位 答案：B 小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函 数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦 例 4：要得到 的图像只需将 的图像（ ） A. 先向左平移 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 B. 先向右平移 个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 x siny x 3 4  cos2y x cos2y x  1 3sin 2 4y x      1 3sin 2 8y x      1 3 2 4 3sin sin2 sin2 4y x y x y x            横坐标 向右平移 3 3sin 2 sin 2 cos24 2y x x x               sin 2 6y x      cos2y x 3  3  6  6  cos2 sin 2 2y x x       x sin 2 12y x         sin 2 sin 22 4y x x                 3  siny x sin 2 3 xy      2 3  1 2 2 3  1 2 - 4 - C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的 ，再将图像向左平移 个单位 D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的 倍，再将图像向右平移 个单位 思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以 可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同 A. B. C. D. 答案：B 例 5：为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ） A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从 入手化为 的形式： ，从而得到 需要 向左平移 个单位。 答案：D 例 6：将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像， 则 的一个可能取值为（ ） A． B． C． D． 思路：首先先求出平移后的解析式， 即 ， 在 由 已 知 可 得 其 中 一 条 对 称 轴 为 ， 所 以 1 2 3  2 3  1 2 1 2 2sin sin sin sin2 3 2 3 3 2 3 3 xy y x x y x                                       1 2 1sin sin sin sin2 3 2 3 3 2 xy y x x y x                       2sin sin sin2 3 3 3 xy y x y x                         1 1sin sin sin sin2 3 4 3 4 3 3 4 4 x xy y y x x                                       xxy 3cos3sin  xy 3sin2 4  4  12  12  xxy 3cos3sin   siny A x   2 22 sin3 cos3 2 sin 32 2 4y x x x             xy 3sin2 12   sin 2y x   x 8   4  0 4  4 3   8sin 2 sin 2 8y x y x               向左平移 sin 2 4y x        0x  - 5 - ，解得： ，当 时， 答案：C 小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目 例 7：若将函数 的图像向右平移 个单位可得到一个奇函 数的图像，向左平移 个单位可得到一个偶函数的图像，则 可取的一组值是（ ） A. B. C. D. 思路：本题也可按照例 6 的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出 的方程组求解， 但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位 置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移 个单位后关于 对称，则原函数 关于 中心对称；向左平移 个单位关于 轴对称，则原函数关于 轴对称， 从而确定周期 ，进而 ，而 向右平移 个单位 得到奇函数，可得 答案：C 例 8：若把函数 图像向左平移 个单位，则与函数 的图像重合，则 的值可能是（ ） A. B. C. D. 思路：首先将两个函数的三角函数名统一： ，将函数 向左平移 得到的解析式为 ，由于两个函数图像重合， 可 得 ， 所 以 ， 解 得 ： ，故选择 D 答案：D  24 2 k k Z       24 k k Z    0k  4    siny x   0, 2       6  3  ,  2, 3    2, 6     1, 6    1 ,2 6    ,  6   0,0 ,06     3  0x  3x  4 23 6T             1   siny x   6  6   siny x 3  cosy x  1 3 1 2 2 3 3 2 cos sin 2y x x        siny x 3  sin sin3 3y x x                  sin sin3 2x x               23 2x x k k Z         3 62 k k Z    - 6 - 例 9．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得 到函数 的图象，若 的图象都经过点 ，则 的值可以是（ ） A. B. C. D. 思路：可以考虑先求出 的解析式，从而减少 中的变量个数。 ， 而 ， 即 ， 所 以 ， 依 题 意 ，可得： 或 ， 解得： 或 ，只有 B 符合题意 答案：B 例 10 ：函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ） A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长 度 C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长 度 思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像变换。由图像可得： 最小值为 ，所以 ，再由对称中心与对称轴距离可得周期 ，从而 。 此 时 ， 由 过 可 得 ： ， 所 以 ，    sin 2 2 2f x x            0    g x    ,f x g x 30, 2P       5 3  5 6  2  6   f x  g x   30 sin 2f   2 2 3           sin 2 3f x x           sin 2 sin 2 23 3g x f x x x                     30 sin 2 =3 2g       2 23 3 k      22 23 3 k      k Z k  6 k    ( ) sin( )f x A x   )2,0  A ( ) sing x x )(xf 6  12  6  12   f x 1 1A  74 12 3T        2  ( ) sin(2 )f x x   ( )f x 7 , 112     7 7 3sin 1 2 26 6 2 3k k                    ( ) sin(2 )3f x x   - 7 - ，则需 向右平移 个单位： 答案：A 三、近年好题精选 1、函数 的图像向左平移 个单位得函数 的图像， 则函数 的解析式是（ ） A． B． C． D． 2、（2016，陕西八校联考）下图是 ， 在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将 的图象上所有的点（ ） A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 3、（2015，山东）要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 4、（2014，辽宁）将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的 函数（ ） A. 在区间 上单调递减 B. 在区间 上单调递增   sin2g x x  f x 6  sin 2 sin26 6 3f x x x                      1 2sin sin 3cosf x x x x   3   g x  g x   2sin 2 2g x x        2cos2g x x   22cos 2 3g x x         2sin 2g x x     sin( )f x A x   , 0, 0,0 2x R A          5,6 6      sin ( )y x x R  6  6  1 2 3  3  1 2 sin 4 3y x      sin4y x 12  12  3  3  3sin 2 3y x      2  7,12 12       7,12 12       - 8 - C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增 5、（2014，四川）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所 有的点（ ） A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度 6、为了得到函数 的图像，只需把函数 图像上所有点（ ） A. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 B. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍 C. 向左平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 D. 向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 7、把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点 的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A. B. C. D. ,6 3      ,6 3       sin 2 1y x  sin2y x 1 2 1 2 1 1 3sin 2 3y x      3siny x 3  1 2 3  2 6  1 2 3  1 2 siny x 3  1 2 sin 2 3y x      sin 2 6 xy      sin 2 3y x      2sin 2 3y x      - 9 - 习题答案： 1、答案：A 解析： 2、答案：D 解析：由图像可得 的周期 ，所以 ，另一方面由最值可得 ， 即 ， 由 可 知 ， 可 解 得 ，即 。那么 。可知 按选项 D 的方式变换即可得到 3、答案：B 解析： ，故将 向右平移 单位即可 4、答案：B 解析：变换后的图像解析式为： ，考虑其单增区 间： ，解得： ，B 正确 5、答案：A 解析： ，故只需将 的图像向左平行移动 个单   21 2sin 2 3sin cos cos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x x x x x              2sin 2 2sin 2 2sin 23 3 6 2 2g x f x x x x                                         f x 52 6 3T         2  1A    sin(2 )f x x   5 03 6f f            7 112f        7 32 12 2 k k Z       3     sin 2 3f x x      sin ( )y x x R   f x sin 4 sin 43 12y x x                 sin4y x 12  23sin 2 3sin 22 3 3y x x                    22 2 22 3 2k x k k Z          7 12 12k x k        1sin 2 1 sin 2 2y x x          sin2y x 1 2 - 10 - 位长度 6、答案：A 解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动 ，再将坐标变为原来的 ，A 符合 7、答案：C 解析： 3  1 2 1 3 2sin sin sin 23 3y x y x y x                   向左平移 横坐标缩短