2017-2018学年广东省江门市第二中学高二下学期3月月考数学（理）试题 Word版
2017-2018学年广东省江门市第二中学高二下学期3月月考 数学试卷（理科）
注意事项：本试卷共页，22小题，满分，考试用时分钟.
一、选择题：(本大题共12小题，每小题分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．曲线在(1,1)处的切线方程是
A． B．
C． D．
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是
A．z1>z2 B．z1
|z2| D．|z1|<|z2|
3．已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则＝
A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0
4．面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误
5．由曲线、、 、y=o所围图形的面积为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是
A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是
A． B． C． D．
8．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是
9．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是
A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，]
11．在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥的三个侧面、、两两互相垂直”，则可得
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是
A．[－，3] B．[，6] C．[3,12] D．[－，12]
二、填空题：(本大题共小题，每小题分，满分分)
13．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数
。
14．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是_______。
15．已知有极大值又有极小值，则得取值范围是
_____________。
16．观察下列式子 ，， , … … ,
则可归纳出第n个式子为______________________________。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程或步骤。
17．（本小题满分10分）把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，
求z及。
18．（本小题满分12分）已知，是正实数，求证：。
19．（本小题满分12分）已知数列中，，
（1）求；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明。
20．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时，y＝f(x)有极值。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值。
21．（本小题满分12分）如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2。
（1）当S1＝S2时，求点P的坐标；
（2）当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值。
22． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)，g(x)＝.
（1）讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性；
（2）若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＝1时，证明：＋＋＋…＋0；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，此时点P的坐标为(，2)．
22、 (本题满分12分)
解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，
y′＝－＝，
当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；
当00得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；
(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，
即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，
当0g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，
即ln(x＋1)>，所以ln>(k∈N*)，
即<[ln(k＋1)－lnk]．
所以<(ln2－ln1)，
<(ln3－ln2)，
<(ln4－ln3)，…，
<[ln(n＋1)－lnn]．
将上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．
∴原不等式成立．
