2019-2020学年山东省济宁市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省济宁市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省济宁市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据特称命题的否定，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是“”.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查特称命题的否定，只需改量词否结论即可，属于基础题型.‎ ‎2．抛物线x2＝4y的焦点坐标是（　　）‎ A．（0，2） B．（2，0） C．（0，1） D．（l，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎∵抛物线x2＝4y 中，p＝2，1，‎ 焦点在y轴上，开口向上，‎ ‎∴焦点坐标为 （0，1 ），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2＝2py 的焦点坐标为（0，），属基础题．‎ ‎3．“是与的等比中项”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若“是与的等比中项”，则，解得；不能推出“”；‎ 若“”，则“是与的等比中项”显然成立；‎ 因此“是与的等比中项”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于基础题型.‎ ‎4．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将原不等式化为，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 解得：，‎ 即原不等式的解集为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解分式不等式，熟记不等式解法即可，属于基础题型.‎ ‎5．若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题意，得到直线的方程，设，，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线的焦点为，‎ 因此直线的方程为；‎ 设，，‎ 由得，整理得：，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求抛物线的焦点弦长问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式以及韦达定理求解，属于常考题型.‎ ‎6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，‎ 因此 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎7．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人，修筑堤坝的每人每天分发大米升”.在该问题中前天共分发多少升大米？（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，得到每天分发的大米构成等差数列，由题中数据，得到首项与公差，根据求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 记第一天共分发大米为升，‎ 由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为，‎ 因此，前天共分发大米为 升.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的简单应用，熟记等差数列的定义，以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎8．已知点为曲线上两个不同的点，的横坐标是函数的两个极值点，则直线与椭圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 ‎【答案】C ‎【解析】先对函数求导，根据题意，得到，求出直线的方程为：，得到直线恒过定点，进而可得直线与椭圆位置关系.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ 因为的横坐标是函数的两个极值点，‎ 所以是方程的两根，‎ 因此，‎ 又点为曲线上两个不同的点，‎ 所以，‎ 因此直线的方程为：，‎ 即，‎ 即直线恒过定点，‎ 又点显然在椭圆内，‎ 因此直线与椭圆必相交.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断直线与椭圆位置关系，熟记椭圆的简单性质，以及函数极值点与导函数对应方程之间关系即可，属于常考题型.‎ 二、多选题 ‎9．下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】AD ‎【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项，若，根据同向可加性，可得，故A正确；‎ B选项，若，满足，但此时，不满足，故B错误；‎ C选项，若，则由可得，故C错误；‎ D选项，若，则，又，根据同向同正可乘性，可得，故D正确.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断命题的真假，熟记不等式的性质，灵活运用特殊值法处理即可，属于常考题型.‎ ‎10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 ‎【答案】AC ‎【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为为数列的前项和，且，‎ 所以，因此，‎ 当时，，即，‎ 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；‎ 因此，故A正确；‎ 又，所以，故B错误；‎ 因为，所以数列不是等比数列，故D错误.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的增区间是 B．函数的增区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 ‎【答案】BD ‎【解析】先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，；当，；当时，；‎ 当时，；‎ 即函数在和上单调递增，在上单调递减，‎ 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；‎ 故A错，B正确；C错，D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数对原函数的影响，根据导数的正负确定原函数单调性与极值点，属于常考题型.‎ ‎12．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且 ‎，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．‎ B．平面 C．与平面所成角是 D．面积与的面积相等 ‎【答案】BC ‎【解析】先连接，， 根据正方体结构特征，以及线面角的概念，线面垂直的判定定理等，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 连接，， ‎ A选项，因为线段上的动点，若与重合，则在正方体中，，此时与所成的角为，显然与不垂直，故A错；‎ B选项，因为正方体底面为正方形，对角线互相垂直，所以；又正方体侧棱与底面垂直，所以平面，所以，由线面垂直的判定定理，可得平面，又平面即为平面，所以平面；故B正确；‎ C选项，由B选项可得，与平面所成角即为与平面所成角，即，‎ 所以在正方形中，；故C正确；‎ D选项，因为点平面，点平面，由正方体结构特征易得，点到直线的距离大于正方体的侧棱长，而点到直线 的距离等于侧棱长，因此面积与的面积不相等；故D错误；‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与正方体有关的相关命题的判定，熟记正方体结构特征，线面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的概念等即可，属于常考题型.‎ 三、填空题 ‎13．设复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第_______象限.‎ ‎【答案】四 ‎【解析】先由复数的除法运算，化简复数，得到其共轭复数，从而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，其在复平面对应点的坐标为位于第四象限.‎ 故答案为：四.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断复数对应的点所在象限，熟记复数的除法运算法则，共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可，属于基础题型.‎ ‎14．已知向量，若与互相垂直，则实数的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由题意，得到，再由向量垂直，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 又与互相垂直，‎ 所以，即，解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.‎ ‎15．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______,_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先对函数求导，根据直线是曲线的切线，求出；再对函数求导，根据直线是曲线的切线，求出.‎ ‎【详解】‎ 由得；‎ 因为直线是曲线的切线，‎ 所以，解得，所以，即切点为，所以，解得；‎ 即；‎ 由得；‎ 因为直线是曲线的切线，‎ 所以，解得，所以，即切点为，‎ 所以有，即，解得：.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由曲线的切线方程求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎16．已知一组双曲线，设直线与在第一象限的交点为，点在的两条渐近线上的射影分别为点，.记的面积为，则数列前项和为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设，由题意，得到，根据双曲线的渐近线方程，以及点到直线距离公式，得到，，表示出的面积为，再由裂项相消的方法，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，则，‎ 双曲线的渐近线方程为，，‎ 因为点在的两条渐近线上的射影分别为点，，‎ 则，，‎ 因为两渐近线相互垂直，因此可得：，‎ 所以的面积为 ‎，‎ 因此数列前项和为 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的求和，以及双曲线的简单应用，熟记裂项相消的方法求数列的和，以及双曲线的简单性即可，属于常考题型.‎ 四、解答题 ‎17．已知公差不为的等差数列前项和为，且，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求解，求出首项与公差，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为 成等比数列 ‎ ，解得,‎ ‎；‎ ‎（2）‎ 数列是等比数列，公比 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列通项公式，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎18．已知函数的图像在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】（1）先由题意，得到，对函数求导，推出，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得，，用导数的方法研究其在上的单调性，得出极值，进而可得出最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数的图像在点处的切线方程为，‎ 所以，‎ 又 ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，解得.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值为，‎ 又，‎ 函数在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由曲线的切线方程求参数，以及导数的方法求函数的最值，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性与极值等即可，属于常考题型.‎ ‎19．如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，四边形为矩形，平面平面，，‎ ‎，点为的中点，点为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）先根据线面垂直的判定定理，得到平面，根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.表示出，求两向量的数量积，从而可判断出结果；‎ ‎（2）根据（1）的坐标系，分别求出平面与平面的法向量，求出两向量夹角，从而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：平面平面，平面平面，，平面，‎ 平面；‎ 又，‎ 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.‎ 由已知得，，，，，‎ 所以，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）设平面的一个法向量，则 所以，令，得，则 又平面，故取平面的一个法向量 由图可知，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，灵活运用空间向量的方法证明和求解即可，属于常考题型.‎ ‎20．两地相距，现计划在两地间以为端点的线段上，选择一点处建造畜牧养殖场，其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关，对地和地的总影响度为对地和地的影响度之和，记点到地的距离为，建在处的畜牧养殖场对地和地的总影响度为.统计调查表明：畜牧养殖场对地的影响度与所选地点到地的距离成反比，比例系数为；对地的影响度与所选地点到地的距离成反比，比例系数为，当畜牧养殖场建在线段中点处时，对地和地的总影响度为.‎ ‎（1）将表示为的函数，写出函数的定义域；‎ ‎（2）当点到地的距离为多少时，建在此处的畜牧养殖场对地和地的总影响度最小？并求出总影响度的最小值.‎ ‎【答案】（1），定义域为（2）， 最小值为 ‎【解析】（1）先根据题意，得到，根据题中数据，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意知：，‎ 其中当时，，可得，‎ 所以，‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当且仅当时等号成立，此时，‎ 所以当时，，‎ 所以，点到地的距离为时，畜牧养殖场对地和地的总影响度最小，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型的简单应用，以及基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎21．在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.‎ 设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）选①，（2）证明见解析 ‎【解析】（1）选①，根据题意，得到，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先讨论时，求出；再讨论时，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式等，求出，再求出线段的中垂线方程，得到，求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）选①，由题意可得：，解得 所以所求椭圆的方程为；‎ ‎（2）（i）当时，‎ ‎（ii）当时，由题意可得：.‎ 设直线的方程为，设，‎ 由整理得：‎ 显然，且，‎ 所以 所以线段的中点，‎ 则线段的中垂线方程为，‎ 令，可得，即，又，‎ 所以，‎ 所以，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查求椭圆的方程，以及椭圆的简单应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式，以及椭圆的简单性质等求解，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设函数图象上不重合的两点.证明：.（是直线的斜率）‎ ‎【答案】（1）①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先由题意，得到函数定义域，对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可得出其单调性；‎ ‎（2）根据斜率公式，由题意，得到，再由，将证明的问题转化为证明，令，即证时，成立，设 ‎，对其求导，用导数的方法求其范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ 且 ‎①当时，，此时在单调递增；‎ ‎②当时，令可得或（舍），，‎ 由得，由得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上：①当时，函数在上单调递增；‎ ‎②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由题意得，‎ 所以 又，‎ 要证成立，‎ 即证：成立，‎ 即证：成立.‎ 令，即证时，成立.‎ 设 则 所以函数在上是增函数，‎ 所以，都有，‎ 即，，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查用导数的方法判定函数单调性，以及用导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法求函数单调区间，以及最值等，属于常考题型.‎