【数学】2018届一轮复习人教A版（理）导数的运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）导数的运算学案

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：导数的运算（理）‎ 考点 考纲要求 题型 分值 考题规律 导数 的 运算 ‎1. 理解导数的运算公式和导数的运算法则；‎ ‎2. 会利用公式和法则求导数；‎ ‎3. 能求简单复合函数（形如的复合函数）的导数。‎ 填空 解答 ‎5分 导数的运算是高考必考知识点 考查方式：‎ ‎（1）导数的运算可以在填空题中考查，直接考查求函数的导数，或将求函数的导数与研究函数的性质及导数的几何意义一起考查；‎ ‎（2）解答题中考查导数的运算，常与导数的综合应用相结合，如将导数的运算与利用导数研究函数的性质、导数的几何意义以及不等式有关问题综合起来考查，对知识和能力的要求都较高。‎ ‎1. 几种常见函数的导数 ‎（1）（其中为常数）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5），；‎ ‎（6），。 ‎ ‎2. 可导函数的四则运算的求导法则 ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎3. 复合函数的导数 若，则。‎ ‎【要点突破】‎ 复杂函数的导数求解，可以先化简函数再利用相应的法则和公式求解。‎ 示例 已知，则 。‎ 思路分析：因为，‎ 所以。‎ 答案：‎ 例题1 求下列函数的导数 ‎（1） （2） =（+1）（）‎ 思路分析：利用导数运算法则以及导数公式求解，对于复杂函数，常先化简，然后再利用相关运算法则和公式求导。‎ 答案：解：（1）。‎ ‎（2）法一：（直接求导）‎ ‎；‎ 法二：（先化简再求导）‎ ‎，。‎ 例题2 若曲线上某一点处的切线与直线垂直，求切点的坐标。‎ 思路分析：曲线上某一点处的切线就是在这一点处横坐标的导函数值，这正是导函数的几何意义。‎ 答案：解：设该切点，设在该点处切线的斜率为。‎ ‎∵切线与直线垂直，∴，得：。‎ 令，∴。‎ 由导数的几何意义知：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴切点的坐标为。‎ 技巧点拨：要求切点的坐标，就可以先把这点的坐标给设出来，然后根据导数的几何意义来进行求解。由有斜率的两直线垂直可推出两直线的斜率之积为。‎ ‎【方法提炼】‎ 函数求导数的几种类型及求法 ‎（1）直接利用求导公式写出导数；‎ ‎（2）利用导数法则和求导公式写出导数；‎ ‎（3）若是复杂函数，可先利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后利用法则和公式求导。‎ ‎（4）若是复合函数，利用复合函数的求导法则求解，复合函数的求导法则为：‎ 若，，则，即。‎ 示例：函数 的导数为 。‎ 思路分析：‎ ‎。 ‎ 答案：‎ 技巧点拨：掌握复合函数的求导方法，关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。‎ ‎（答题时间：20分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 函数y=（x+‎2a）（x－a）2的导数为（ ）‎ A. 2（x2－a2） B. 3（x2+a2） C. 3（x2－a2） D. 2（x2+a2）‎ ‎**2. y=ln[ln（lnx）]的导数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎**3. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，且g（3）=0，则不等式的解集是（ ）‎ A. （－3，0）∪（3，+∞） B. （－3，0）∪（0，3） ‎ C. （－∞，－3）∪（3，+∞） D. （－∞，－3）∪（0，3）‎ ‎4. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”。有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心。”请你将这一发现作为条件，若函数，则=（ ）‎ A. 2010 B. ‎2011 C. 2012 D. 2013‎ 二、填空题 ‎1. 设函数，则 。‎ ‎2. 设函数，则 。‎ ‎3. 函数y=sin（2x+α）cos（x+α）－cos（2x+α）sin（x+α）在处的导数值为 。‎ ‎4. 函数y=的导数为 。‎ ‎5. 已知函数f（x）=，则等于 。‎ ‎6. ，若，则 。‎ ‎7. 若，则等于 。‎ 三、解答题 求函数的导函数，并计算。‎ 一、选择题 ‎1. C 解析：因为 y=（x+‎2a）（x－a）2，则可知y'=（x－a）2+（x+‎2a） 2（x－a）=3（x2－a2）。‎ ‎2. C 解析：对于多层函数的导数的求解，一般从内向外来求解，故y=ln[ln（lnx）]的导数为y’=变形来得到结论。‎ ‎3. D 解析：构造函数，因为当x＜0时，，所以当x＜0时，，所以函数在上单调递增，又因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以是奇函数，所以函数在上单调递增，又g（3）=0，所以，所以不等式的解集是（－∞，－ 3）∪（0，3）。‎ ‎4. A 解析：令，，则g（x）=h（x）+m（x）。则，，令，所以h（x）的对称中心为（，1）。‎ 设点P（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，‎ ‎∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2。‎ ‎∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）‎ ‎=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010。‎ 由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0。‎ ‎∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）‎ ‎=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0。‎ ‎∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，故选A。‎ 二、填空题 ‎1. 解析：因为，所以。‎ ‎2. 0 解析：因为是常数，所以导数值为0。 ‎ ‎3. 解析：y=sin（2x+α－（x+α））=sinx，，，所求值为。‎ ‎4. 解析：。‎ ‎5. 1 解析：，。‎ ‎6. 解析：，，所以。‎ ‎7. 解析：，。‎ 三、解答题 ‎8. 解：因为，‎ 所以。‎ ‎。‎