2020届高考二轮复习理科数学综合检测二（全国卷）
2021 届高考二轮复习综合检测二(全国卷)
数 学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应
位置上．
3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知集合 A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B 等于( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(2,4]
C．(0,2) D．(－1,4]
2．复数 z＝2－i
1＋i对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此
正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. 9
32 B. 5
16 C.3
8 D. 7
16
4．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a 2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin
B，则 A 等于( )
A.π
6 B.π
3 C.2π
3 D.5π
6
5．(2019·河南省郑州市第一中学适应性考试)已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (0)＝
0，当 x<0 时，f (x)单调递增．若实数 a 满足 f (3－|a＋1|)>f (－ 3
3 )，则 a 的取值范围是( )
A.(－3
2，－1
2)
B.(－∞，－3
2)∪(－1
2，＋∞)
C.(－4
3，－2
3)
D.(－∞，－4
3)∪(－2
3，＋∞)
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A.
(6＋π) 3
6 B.
(8＋π) 3
6
C.
(8＋2π) 3
6 D.
(9＋2π) 3
6
7．已知函数 f (x)＝Acos(ωx＋φ)(A > 0，ω > 0，|φ| < π
2)的图象如图所示，若函数 h(x)＝f (x)＋1
的两个不同零点分别为 x1，x2，则|x1－x2|的最小值为( )
A.2π
3 B.π
2 C.4π
3 D．π
8．(2019·上海市吴淞中学期末)函数 f (x)＝ a－x2
|x＋1|－1为奇函数的充要条件是( )
A．0
1
C．00)的焦点为 F，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB
＝120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN |
|AB |
的最大值为( )
A. 3 B．1 C.2 3
3 D.
3
3
10．(2019·上海市曹杨中学期末)设定义域为 R 的函数 f (x)＝Error!则关于 x 的方程 f2(x)＋bf (x)
＋c＝0 有 7 个不同实数根的充要条件是( )
A．b<0 且 c>0 B．b<0 且 c<0
C．b<0 且 c＝0 D．b≥0 且 c＝0
11．(2020·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O 为△ABC 的外接圆的圆心，且 3OA
→
＋4OB
→
＝－5OC
→
，则 C 的值为( )
A.π
4 B.π
2
C.π
6 D. π
12
12．已知函数 f (x)＝ln x＋(x－t)2
x ，t∈R，若对任意的 x∈[1,2]，f (x)>－x·f′(x)恒成立，则实
数 t 的取值范围是( )
A．(－∞， 2) B.(－∞，3
2)
C．(－∞，3) D.(－∞，9
4)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f (x)＝log2x－3x，则 f (－1)＝________.
14．若(x－1) 5－2x4＝a0＋a1(x－2)＋a 2(x－2) 2＋a3(x－2) 3＋a4(x－2) 4＋a5(x－2) 5，则 a2＝
________.
15．设 f′(x)和 g′(x)分别是 f (x)和 g(x)的导函数，若 f′(x)·g′(x)<0 在区间 I 上恒成立，则
称 f (x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反．若函数 f (x)＝1
3x3－2ax(a∈R)与 g(x)＝x2＋2bx(b∈R)在
区间(a，b)上单调性相反(a>0)，则 b－a 的最大值为__________．
16．已知圆 O：x2＋y2＝1 与 x 轴负半轴的交点为 A，P 为直线 3x＋4y－a＝0 上一点，过 P 作
圆 O 的切线，切点为 T，若|PA|＝2|PT|，则 a 的最大值为________．
三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12 分)在锐角△ABC 中， a，b，c 为内角 A，B，C 的对边，且满足(2c－a)cos B－bcos A
＝0.
(1)求角 B 的大小；
(2)已知 c＝2，AC 边上的高 BD＝3 21
7 ，求△ABC 的面积 S 的值．
18．(12 分)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝1，底面 ABCD 的周长为 4，E 为 BA1
的中点．
(1)判断两直线 EC1 与 AD 的位置关系，并给予证明；
(2)当长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积最大时，求直线 BA1 与平面 A1CD 所成的角 θ.
19.(12 分)已知椭圆 C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)和椭圆 C2：x2
2＋y2＝1 的离心率相同，且点( 2，1)
在椭圆 C1 上．
(1)求椭圆 C1 的方程；
(2)设 P 为椭圆 C2 上一点，过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，
则当点 P 变化时，试问△AOC 的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理
由．
20．(12 分)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部
门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育
指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活
动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者
得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 8 局时停止．设甲在每局中获
胜的概率为 p(p > 1
2 )，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为5
9.
(1)求 p 的值；
(2)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X 的分布列和均值 E(X)．
21.(12 分)函数 f (x)＝ln x＋1－x
ax (a∈R 且 a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xex－1
x(b∈R)．
(1)讨论函数 f (x)的单调性；
(2)当 a＝1 时，若关于 x 的不等式 f (x)＋g(x)≤－2 恒成立，求实数 b 的取值范围．
请在第 22～23 题中任选一题作答．
22．(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 4cos θ
1－cos2θ，直线 l 的参数方程是Error!(t 为参数，
0≤α<π)．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 M(2,2)，求 α.
23．(10 分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0)，且 f (x－2)≥0 的解集为[－3，－1]．
(1)求 m 的值；
(2)若 a，b，c 都是正实数，且1
a＋ 1
2b＋ 1
3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
答案精析
1．B [∵集合 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1 或 x>2}，
B＝{x|log2x≤2}＝{x|0f (－ 3
3 )，
∴f (3－|a＋1|)>f ( 3
3 )＝f (3 )，
又 f (x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴|a＋1|>1
2，
1
2
−
解得 a∈(－∞，－3
2)∪(－1
2，＋∞).]
6．B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为 3，底面为边长为 2 的
正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为1
3× 3×22＋1
3× 3×π·12
2 ＝
(8＋π) 3
6 ，故选 B.]
7．A [由图象可知，A＝2，T
4＝2π
3 －π
6＝π
2，
∴T＝2π，ω＝1，∴f (x)＝2cos(x＋φ)，
∵f (π
6 )＝2cos(π
6＋φ )＝2，且|φ|<π
2，
∴φ＝－π
6，f (x)＝2cos(x－π
6 )，
令 h(x)＝f (x)＋1＝2cos(x－π
6 )＋1＝0，
可得 cos(x－π
6 )＝－1
2，
解得 x－π
6＝2π
3 ＋2kπ，k∈Z 或 x－π
6＝4π
3 ＋2kπ，k∈Z，
x＝5π
6 ＋2kπ，k∈Z 或 x＝3π
2 ＋2kπ，k∈Z，
则|x1－x2|的最小值为3π
2 －5π
6 ＝2π
3 .]
8．C [f (x)＝ a－x2
|x＋1|－1，f (－x)＝ a－x2
|－x＋1|－1，
f (x)为奇函数， a－x2
|x＋1|－1＝－ a－x2
|－x＋1|－1，
∴|x＋1|＋|x－1|＝2，∴－1≤x≤1，
考虑定义域 a－x2≥0，即－ a≤x≤ a(a>0)且 x≠0，
满足 a≤1，∴00，所以 c＝0，t2＝－b>0 即 b<0，
故选 C.]
11．A [由题意可得，|OA
→
|＝|OB
→
|＝|OC
→
|，
且OC
→
＝－1
5(3OA
→
＋4OB
→
)，
∴OC
→
·OC
→
＝|OC
→
|2＝ 1
25(3OA
→
＋4OB
→
)2
＝ 9
25|OA
→
|2＋24
25OA
→
·OB
→
＋16
25|OB
→
|2
＝|OC
→
|2＋24
25OA
→
·OB
→
，
∴24
25OA
→
·OB
→
＝0，∴∠AOB＝90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，
设 A(0,1)，B(1,0)，
由 3OA
→
＋4OB
→
＝(4,3)＝－5OC
→
，
可知 C(－4
5，－3
5)，
则CA
→
＝(4
5，8
5 )，CB
→
＝(9
5，3
5 )，
cos C＝
CA
→
·CB
→
|CA
→
| × |CB
→
|
＝
36
25＋24
25
4 5
5 × 3 10
5
＝ 2
2 ，
则 C＝π
4.]
12．B [∵f′(x)＝x2－ln x＋1－t2
x2 ，
又对任意的 x∈[1,2]，f′(x)·x＋f (x)＞0 恒成立，
∴对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1
x ＞0 恒成立，
即对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0 恒成立，
则 t＜2x2＋1
2x ＝x＋ 1
2x＝x＋
1
2
x恒成立，
令 g(x)＝x＋
1
2
x，又 g(x)＝x＋
1
2
x在[1,2]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3
2，∴t＜3
2.]
13．3
解析 因为 f (1)＝log21－3＝－3，
又 f (x)为定义在 R 上的奇函数，
所以 f (－1)＝－f (1)＝3.
14．－38
解析 令 x－2＝t，则 x＝t＋2.由条件可得(t＋1)5－2(t＋2)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，
故 t2 的系数为 C35－2C24×22＝－38，即 a2＝－38.
15.1
2
解析 由题意知 f′(x)＝x2－2a，g′(x)＝2x＋2b，
函数 f (x)与 g(x)在区间(a，b)上单调性相反，
则(x2－2a)(2x＋2b)<0 在 x∈(a，b)上恒成立，
又 00，
于是 x2－2a<0 在 x∈(a，b)上恒成立．
易知 x2－2a<0 的解集为(－ 2a， 2a)，
所以(a，b)⊆(－ 2a， 2a)，
所以 b－a≤ 2a－a＝－( a－ 1
2)2＋1
2，
当 a＝1
2，b＝1 时，b－a 取得最大值1
2.
16.23
3
解析 易知 A(－1,0)，设 P(x，y)，
由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，
化简得 (x－1
3 )2＋y2＝16
9 ，
可转化为直线 3x＋4y－a＝0 与圆 (x－1
3 )2＋y2＝16
9 有公共点，
所以 d＝|1－a|
5 ≤4
3，
解得－17
3 ≤a≤23
3 .
故 a 的最大值为23
3 .
17．解 (1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，
由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，
∴(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，
2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，
∵A＋B＝π－C 且 sin C≠0，∴cos B＝1
2，
∵B∈(0，π)，∴B＝π
3.
(2)∵S△ABC＝1
2acsin B＝1
2BD·b，
代入 c＝2，BD＝3 21
7 ，sin B＝ 3
2 ，得 b＝ 7
3 a，
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，
代入 b＝ 7
3 a，得 a2－9a＋18＝0，
解得Error!或Error!
又∵三角形为锐角三角形，
∴a20)，
当 a<0 时，f′(x)>0，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>1
a；
由 f′(x)<0 得 00 时，f (x)在(0，1
a )上单调递减，在(1
a，＋∞)
上单调递增．
(2)由题意，当 a＝1 时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，
即 ln x＋1
x－1＋(b－1)x－xex－1
x≤－2，
即 b－1≤ex－ln x
x －1
x在(0，＋∞)上恒成立，
令 h(x)＝ex－ln x
x －1
x，
则 h′(x)＝ex－1－ln x
x2 ＋1
x2＝x2ex＋ln x
x2 ，
令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1
x>0，
∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又 u(1)＝e>0，u(1
2 )＝ e
4 －ln 2<0，
∴u(x)有唯一零点 x0(1
2 < x0 < 1)，
所以 u(x0)＝0，即 x0ex0＝－ln x0
x0 ，(*)
当 x∈(0，x0)时，u(x)<0，即 h′(x)<0，h(x)单调递减；
x∈(x0，＋∞)时，u(x)>0，即 h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x0)为 h(x)在定义域内的最小值．
令 k(x)＝xex(1
2 < x < 1)，则方程(*)等价于 k(x)＝k(－ln x)，
又易知 k(x)单调递增，所以 x＝－ln x，ex＝1
x，
∴h(x)的最小值为
h(x0)＝ex0－ln x0
x0 －1
x0＝1
x0－
－x0
x0 －1
x0＝1，
∴b－1≤1，即 b≤2，
∴实数 b 的取值范围是(－∞，2]．
22．解 (1)曲线 C：ρ＝ 4cos θ
1－cos2θ，即 ρsin2θ＝4cos θ，
于是有 ρ2sin2θ＝4ρcos θ，
化为直角坐标方程为 y2＝4x.
(2)方法一 联立Error!
则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)，
即 t2sin2α＋(4sin α－4cos α)t－4＝0.
由 AB 的中点为 M(2,2)，得 t1＋t2＝0，有 4sin α－4cos α＝0，
所以 k＝tan α＝1，
由 0≤α<π 得 α＝π
4.
方法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
Error!⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵y1＋y2＝4，∴k＝tan α＝y1－y2
x1－x2＝1，
由 0≤α<π 得 α＝π
4.
方法三 设 A(y21
4，y1)，B(y22
4，y2)(y10)，
∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1
a＋ 1
2b＋ 1
3c)
＝3＋( a
2b＋2b
a )＋( a
3c＋3c
a )＋(2b
3c＋3c
2b)≥9，
当且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝3
2，c＝1 时取等号．
