2018-2019学年江苏省扬州中学高二下学期期中考试 数学（文）解析版

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绝密★启用前 江苏省扬州中学 2018-2019 学年高二下学期期中考试 数学 （文) 评卷人 得分 一、填空题 1．已知集合 ， .若 ，则实数 的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】 两个集合的交集为 4，说明 4 即在集合 里又在集合 里面。 【详解】 且 【点睛】 交集 2．已知复数 是虚数单位，则的虚部等于______． 【答案】-1 【解析】 【分析】 先由复数的运算化简，进而可求出结果. 【详解】 ， 的虚部等于 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型. 3．命题“∀x∈R，|x|+x2>0”的否定是______________ 【答案】 【解析】 【分析】 {1,3, }A a= { }4,5B = {4}A B∩ = a A B { }4A B∩ = 4 A∴ ∈ 4 B∈ 4a∴ = 根据全称命题的否定是特称命题的结论，即可写出命题的否定． 【详解】 解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|+x2>0”的否定是： ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查全称命题的否定，注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全 称命题． 4．函数 的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据定义域的求法。偶次根式下大于等于零。对数的真数大于零。 【详解】 由题意得 【点睛】 函数定义域的求法。 5．曲线 在点 处的切线斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在该点处的导数值，即为曲线 在点 处 的切线的斜率. 【详解】 因为 ，所以 ， 则 ， 所以曲线 在点 处的切线的斜率 0. 【点睛】 2( ) 1 logf x x= − (0,2] 2 0 0 0 21 log 0 0 2 x x xx x > > ⇒ ⇒ < ≤ − ≥ < ≤ 该题考查的是有关曲线在某点处的切线的斜率的问题，涉及到的知识点有导数的几何意 义，求导公式，属于简单题目. 6． _______． 【答案】10 【解析】 【分析】 由指数幂运算法则以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】 原式 . 故答案为 10 【点睛】 本题主要考查对数运算以及指数幂运算，熟记运算法则即可，属于基础题型. 7．函数 的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数性质确定每段的值域，再求并集即可 【详解】 由题 单调递增，∴ ,又 = ,故函数的值 域为 故答案为 . 【点睛】 本题考查分段函数的值域，三角函数性质，指数函数的性质，熟记函数性质，准确计算 是关键，是基础题 8．若函数 ，则“ 是 的极值点”是 “ ”的______条件.（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必 要”、“必要不充分”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】 3 2( ) ( )f x x ax bx c x R= + + + ∈ 0x ( )f x ( )0 0f x′ = 若 ,则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 【详解】 若 是 的极值点则 ，反之不一定成立。因此是充分不必要。 【点睛】 命题之间的关系。 9．已知函数 ，函数 是定义域为 的奇函数，且 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求出 ，再由 是定义域为 的奇函数，求出 ，进而可求出结果. 【详解】 因为 ， ，所以 ，即 ， 又函数 是定义域为 的奇函数，所以 ， 因此 . 故答案为 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性，熟记函数奇偶性定义即可，属于基础题型. 10．设 是边长为 2 的正 内的一点， 点到三边的距离分别为 、 、 ，则 ；类比到空间，设 是棱长为 2 的空间正四面体 内的一点， 则 点到四个面的距离之和 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面正三角形利用等面积法可得 ，因此空间正四面体利用等体积 法即可。 【详解】 p q⇒ p q q p 0x ( )f x ( )0 0f x′ = P ABC∆ P 1h 2h 3h 1 2 3 3h h h+ + = P ABCD P 1 2 3 4h h h h+ + + = 2 6 3 1 2 3 3h h h+ + = 间正四面体 如下图 由题意可得边长为 2，设每个面的面积为 即 【点睛】 类比思想，三棱锥的体积公式 11．已知函数 的周期为 4，且当 时， 则 的值为____ 【答案】0 【解析】 【分析】 结合周期性由里到外逐层求值即可. 【详解】 ∵函数 的周期为 4，且当 时， ∴ ∴ 故答案为：0 【点睛】 本题考查分段函数求值问题，考查周期性，考查对应法则的理解，属于基础题. 12．已知 ，则 _________. 【答案】5 ABCD S 2 22 3 2 3 2 62 23 2 3 3BO AO  ∴ = × × ⇒ = − =    A BCD P ABD P ABC P BCD P ACDV V V V V− − − − −∴ = + + + ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 6 1 2 6 3 3 3 3S S h h h h h h h h× = × × + + + ⇒ + + + = 【解析】 【分析】 求导可得 ，令 ，则 ，即可求出 ，代入 数据，即可求 的值。 【详解】 ， 令 ，得 ，则 ， 故 ， ． 【点睛】 本题考查基本初等函数的求导法则，属基础题。 13．已知函数 ，若方程 在 内 有两个不同的解，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先算出 的值域，利用整体换元的思想，转化成二次函数的问题。 【详解】 当 时， 如图所示，∴ ， 设 ，则 ， 当 时，若方程有两个不同解，只需 与 图像只有一个交 点 2( ) ( 1) 1f x x= − − + 23( ( )) ( ) 0f x f x m− + = 20, 12  +    m 1 12, 0,4 12    − − ∪       ( )f x 20, 12x  ∈ +    ( )f x ( ) (0,1]f x ∈ ( )f x t= 23m t t= − + (0,1]t ∈ 1 ,12t  ∈   y m= 2( ) 3g t t t= − + 12, 4m  ⇒ ∈ − −   当 时，若方程有两个不同解，需 与 图像有两个交点，不合题意 当 时，若方程有两个不同解，需 与 图像有两个交点 综上所述： ，本题正确结果： . 【点睛】 整体换元的思想，二次函数根的问题。 14．若正实数 满足 ，则函数 的零点的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，先求出函数 的零点， ，然后换元 ，转化为求 的最大值，求导取得其单调性，转化为求 t 的最大值， 再令 ，再根据单调性求最大值，最后求得结果. 【详解】 因为正实数 满足 ，则函数 的零点 令 所以零点的最大值就相当于求 的最大值 令 ， 所以函数 是单调递减的， 当 t 取最小值时，f(t)取最大值 1 2y x t= + y m= 2( ) 3g t t t= − + 10, 2t  ∈   y m= 2( ) 3g t t t= − + 10,12m  ⇒ ∈   1 12, 0,4 12m    ∈ − − ∪       1 12, 0,4 12    − − ∪       又因为 ，a+b=1 所以 令 ， 令 ，解得 ，此时 递增 ，解得 ，此时 递减， 所以此时 故答案为 【点睛】 本题主要考查了导函数的应用问题，解题的关键是换元构造新的函数，求其导函数，判 断原函数的单调性求其最值，易错点是换元后一定要注意换元后的取值范围，属于难题. 评卷人 得分 二、解答题 15．已知复数 z＝bi(b∈R)， 是纯虚数，i 是虚数单位． (1)求复数 z； (2)若复数(m＋z)2 所表示的点在第二象限，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由 z＝bi（b∈R），化简 为 ．根据 是纯虚数，可得 b，可得 z 的值． （2）化简 （m+z）2，根据复数所表示的点在第二象限，列出关于 m 的不等式组，解不 等式组求得实数 m 的取值范围． 【详解】 （1）∵z＝bi（b∈R），∴ ． 又∵ 是纯虚数，∴ ， ∴b＝2，即 z＝2i． （2）∵z＝2i，m∈R，∴（m+z）2＝（m+2i）2＝m2+4mi+4i2＝（m2﹣4）+4mi， 又∵复数所表示的点在第二象限，∴ ， 解得 0

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