2018届高三数学一轮复习： 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第八章　平面解析几何 ‎[深研高考·备考导航]　为教师授课、学生学习提供丰富备考资源 ‎[五年考情]‎ 考点 ‎2016年 ‎2015年 ‎2014年 ‎2013年 ‎2012年 直线的倾斜角与斜率、直线的方程、距离 全国卷Ⅱ·T4‎ 全国卷Ⅰ·T10‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T10‎ 全国卷·T20‎ 圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅲ·T16‎ 全国卷Ⅰ·T14‎ 全国卷Ⅱ·T7‎ 全国卷Ⅱ·T16‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T11‎ 全国卷·T20‎ 曲线与方程 全国卷Ⅲ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 椭圆的标准方程及其性质 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T14‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T10‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷·T4‎ 双曲线的标准方程及其性质 全国卷Ⅰ·T15‎ 全国卷Ⅱ·T11‎ 全国卷Ⅰ·T5‎ 全国卷Ⅱ·T11‎ 全国卷Ⅰ·T4‎ 全国卷Ⅰ·T4‎ 全国卷·T8‎ 抛物线的标准方程及其性质 全国卷Ⅰ·T10‎ 全国卷Ⅲ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T10‎ 全国卷Ⅱ·T10‎ 全国卷Ⅱ·T11‎ 全国卷·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷 全国卷·T20‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 全国卷Ⅱ·T20‎ Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ 圆锥曲线的综合应用 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅰ·T20‎ 全国卷Ⅱ·T20‎ ‎[重点关注]‎ 综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：‎ ‎1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．‎ ‎2．从考查知识点看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．‎ ‎3．从命题思路上看：‎ ‎(1)直线方程与其他知识相结合考查．‎ ‎(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．‎ ‎(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．‎ ‎(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．‎ ‎[导学心语]‎ ‎1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．‎ ‎2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．‎ ‎3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．‎ ‎4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．‎ 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎ [考纲传真]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.‎ ‎(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A.　　 B.－　‎ C.－　　 D. B　[设P(x,1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1，‎ ‎∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，‎ 故直线l的斜率k＝＝－.]‎ ‎3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0‎ D　[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]‎ ‎4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.‎ ‎1或－2　[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x 轴上的截距为1＋.‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.]‎ ‎5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．‎ ‎3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.‎ 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]‎ 直线的倾斜角和斜率 ‎　(1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎(2)(2017·郑州模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎(1)　(2)　[(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为.‎ 当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5，‎ kPB＝＝－.‎ 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎[规律方法]　1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.‎ ‎(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎2．第(2)问求解要注意两点：‎ ‎(1)斜率公式的正确计算；‎ ‎(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)‎ A．－1＜k＜　　　 B.k＞1或k＜ C．k＞或k＜1 D.k＞或k＜－1‎ ‎(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ ‎(2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.‎ 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]‎ 求直线的方程 ‎　(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．‎ ‎(2)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎(1)4x＋3y－13＝0　[设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－4×＝－.‎ 又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.]‎ ‎(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.‎ 由题意得M(3,2).2分 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ 所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.5分 若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，‎ 因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1，8分 所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.‎ 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.12分 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l 的方程为y－2＝k(x－3).2分 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.5分 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.8分 所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.12分 ‎[规律方法]　1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为‎0”‎的情况，以防漏解．‎ ‎2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．‎ ‎[变式训练2]　求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．‎ ‎[解]　由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α.5分 ‎∵tan α＝3，‎ ‎∴tan 2α＝＝－.8分 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.12分 直线方程的综合应用 ‎　已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：‎ ‎(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；‎ ‎(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．‎ ‎ 【导学号：01772284】‎ ‎[解]　(1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．‎ 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，3分 当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.5分 ‎(2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，‎ 则A，B(0,1－k)，7分 所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.10分 当且仅当k2＝，即k＝－1时，上式等号成立．‎ 所以当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.12分 ‎[规律方法]　1.求解本题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．‎ ‎2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．‎ ‎[变式训练3]　已知直线l1：ax－2y＝‎2a－4，l2：2x＋a2y＝‎2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？‎ ‎[解]　由得x＝y＝2，2分 ‎∴直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)．‎ 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，5分 则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝ ‎2＋，a∈(0,2)，10分 ‎∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小.12分 ‎ [思想与方法]‎ ‎1．求直线方程的两种常见方法：‎ ‎(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．‎ ‎(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．‎ ‎2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．‎ ‎2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．‎ ‎3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.‎ ‎4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.‎