2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期第二次月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期第二次月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，则a=（　　）‎ A．±1 B．±2 C．±4 D．±8‎ ‎2．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A． B．6 C． D．12‎ ‎3．（5分）在下列条件：‎ ‎①离心率为e=2‎ ‎②渐近线互相垂直；‎ ‎③渐近线方程为y=±x ‎④离心率为e=；‎ ‎⑤渐近线方程为y=±x中 能作为判定双曲线为等轴双曲线充要条件的是（　　）‎ A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①③⑤‎ ‎4．（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，则AM与BD1所成的角的余弦值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）‎ ‎6．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎7．（5分）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎8．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎9．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎10．（5分）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）‎ A．e2 B．2e2 C．4e2 D．‎ ‎11．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（　　）‎ A． B．x2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为　 　．‎ ‎14．（5分）若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在R上单调递增，则a的范围是 　 　．‎ ‎15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，E为侧棱SC上一点，，若，则λ=　 　．‎ ‎16．（5分）椭圆中，a1，b1，c1成等比数列，椭圆的离心率为e1；双曲线中，a2，b2，c2成等比数列，双曲线的离心率为e2．则e1e2=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．‎ ‎18．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点．用空间向量进行以下证明和计算：‎ ‎（1）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；‎ ‎（3）求点C到面A1BD的距离．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0‎ ‎（1）求f（x）的极大值和极小值；‎ ‎（2）若f（x）在x=﹣1处的切线与y轴垂直，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知抛物线y2=2px的焦点在直线x﹣3y﹣1=0上，直线l过点P（4，0），斜率为，直线l和抛物线相交于A，B两点，设线段AB的中点为M．‎ ‎（1）求抛物线的方程和点M的坐标；‎ ‎（2）求线段AB的长|AB|并证明 OA⊥OB．‎ ‎21．（12分）在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，E是棱PC的中点．‎ ‎（1）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）经过点M（，），且离心率为 ‎（1）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（2）设点M在轴上的射影为点N，过点N的直线与椭圆Γ相交于A、B两点，且，求直线的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏银川一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，则a=（　　）‎ A．±1 B．±2 C．±4 D．±8‎ ‎【分析】利用抛物线的方程，求出p，即可求出结果．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2，可得p=2，则a=±2p=±4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题，易错题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）‎ A． B．6 C． D．12‎ ‎【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，‎ 可得△ABC的周长为4a=，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等 ‎　‎ ‎3．（5分）在下列条件：‎ ‎①离心率为e=2‎ ‎②渐近线互相垂直；‎ ‎③渐近线方程为y=±x ‎④离心率为e=；‎ ‎⑤渐近线方程为y=±x中 能作为判定双曲线为等轴双曲线充要条件的是（　　）‎ A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①③⑤‎ ‎【分析】设出等轴双曲线的方程，求得渐近线方程和离心率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：双曲线为等轴双曲线，‎ 即为x2﹣y2=m（m≠0），‎ 则a=b，c=a，e=，‎ 渐近线方程为y=±x，‎ 渐近线互相垂直，‎ 由e=，可得c=a，a=b，即双曲线为等轴双曲线；‎ 渐近线互相垂直，可得•（﹣）=﹣1，可得a=b，‎ 即双曲线为等轴双曲线；‎ 渐近线方程为y=±x，可得a=b，即为等轴双曲线．‎ 则②④⑤成立．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及充分必要条件的判断，考查判断能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1B1的中点，则AM与BD1所成的角的余弦值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BD1所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（2，0，0），M（2，1，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），‎ ‎=（0，1，2），=（﹣2，﹣2，2），‎ 设AM与BD1所成的角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴AM与BD1所成的角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（，2） C．（1，） D．（1，2）‎ ‎【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．‎ ‎【解答】解：a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率为：==∈（1，）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．‎ ‎【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，‎ ‎∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，‎ ‎∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣1，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x）的极大值点 D．x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，‎ 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1‎ 令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数 令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数 所以x=﹣1为f（x）的极小值点 故选D ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，‎ 由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．3‎ ‎【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1），‎ 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：，解得M（3，2）．‎ 可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即，‎ 则M到直线NF的距离为：=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）‎ A．e2 B．2e2 C．4e2 D．‎ ‎【分析】‎ 要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【解答】解：依题意得y′=ex，‎ 因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，‎ 相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），‎ 当x=0时，y=﹣e2，即y=0时，x=1，‎ ‎∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1⊥B1D1，由长方体的性质可证有OC1⊥BB1，且 由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角 在Rt△BOC1中，可求 ‎【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO 由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1‎ 由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1‎ ‎∴OC1⊥平面BB1D1D 则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角 在Rt△BOC1中， ‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的秋季解，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图所示的曲线是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（　　）‎ A． B．x2 C． D．‎ ‎【分析】由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′ （x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣，则由x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2 代入可求得结果．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，‎ ‎ 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2 ‎ ‎∴f′ （x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2． 由题意有 x1 和 x2 是函数f（x）的极值，‎ 故有 x1 和 x2 是 f′ （x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．‎ 则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为　（﹣1，11）　．‎ ‎【分析】要求函数的单调减区间可先求出f′（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2﹣30x﹣33=3（x2﹣10x﹣11）‎ ‎=3（x+1）（x﹣11）＜0，‎ 解得﹣1＜x＜11，故减区间为（﹣1，11）．‎ 故答案为：（﹣1，11）‎ ‎【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5在R上单调递增，则a的范围是 　　．‎ ‎【分析】由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为函数在R上单调递增，所以得到导函数大于等于0恒成立，分a大于0，a等于0和a小于0三种情况讨论，利用二次函数的图象与x轴的交点及开口方向即可得到根的判别式的正负，得到关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=ax3﹣x2+x﹣5，得到f′（x）=3ax2﹣2x+1，‎ 因为函数在R上单调递增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax2﹣2x+1≥0恒成立，‎ 设h（x）=3ax2﹣2x+1，‎ 当a＞0时，h（x）为开口向上的抛物线，要使h（x）≥0恒成立即△=4﹣12a≤0，解得a≥；‎ 当a=0时，得到h（x）=﹣2x+1≥0，解得x≤，不合题意；‎ 当a＜0时，h（x）为开口向下的抛物线，要使h（x）≥0恒成立不可能．‎ 综上，a的范围为[，+∞）．‎ 故答案为：[，+∞）‎ ‎【点评】此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，E为侧棱SC上一点，，若，则λ=　2　．‎ ‎【分析】由题意可以O点位原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间坐标系，如图所示，根据向量的数量的运算即可求出答案 ‎【解答】解：连接AC，BD，交于点O，连接SO，‎ 四棱锥S﹣ABCD为正正四棱锥，‎ 则以O点位原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间坐标系，如图所示，‎ ‎∵底面边长为，侧棱的长是底面边长的倍，‎ ‎∴0A=OB=OC=OD=1，OS=，‎ ‎∴D（0，﹣1，0），C（﹣1，0，0），S（0，0，），‎ 设E点的坐标为（x，0，z），‎ ‎∴=（x，0，z﹣），=（﹣1﹣x，0，﹣z），‎ ‎∵=λ，‎ ‎∴（x，0，z﹣）=λ（﹣1﹣x，0，﹣z），‎ ‎∴x=λ（﹣1﹣x），z﹣=﹣λz，‎ ‎∴x=﹣，z=‎ ‎∵=（x，﹣1，z），=（0，﹣1，﹣），‎ ‎∴•=1﹣z=0，‎ ‎∴z=，‎ ‎∴=，‎ 解得λ=2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了空间向量的数量积，关键是构造空间坐标系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）椭圆中，a1，b1，c1成等比数列，椭圆的离心率为e1；双曲线中，a2，b2，c2成等比数列，双曲线的离心率为e2．则e1e2=　1　．‎ ‎【分析】由等比数列中项的性质和椭圆、双曲线的基本量的关系，结合离心率公式，解方程可得离心率，即可得到所求之积．‎ ‎【解答】解：椭圆中，a1，b1，c1成等比数列，‎ 可得b12=a1c1，‎ 且b12=a12﹣c12，‎ 可得a12﹣c12=a1c1，由e1=‎ 即有1﹣e12=e1，‎ 解得e1=（负的舍去）；‎ 双曲线中，a2，b2，c2成等比数列，‎ 可得b22=a2c2，‎ 且b22=c22﹣a22，‎ 可得c22﹣a22=a2c2，‎ 由e1=‎ 即有e22﹣1=e2，‎ 解得e2=（负的舍去），‎ 则e1e2=×=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查双曲线和椭圆的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查等比数列中项的性质，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的表达式；‎ ‎（Ⅱ）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2x+b，化简g（x）=f（x）+f′（x），利用函数g（x）是奇函数，g（﹣x）=﹣g（x求出a，b，然后求解函数的解析式．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=﹣x3+2x，利用导函数求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3ax2+2x+b．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ ‎∴g（x）=f（x）+f′（x）‎ ‎=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b．‎ ‎∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ 即对任意实数x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]，‎ ‎∴3a+1=0，b=0，解得a=﹣，b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ ‎∴f（x）的表达式为f（x）=﹣x3+x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=﹣x3+2x，‎ ‎∴g′（x）=﹣x2+2，‎ 令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 当x＜﹣或x＞时，g′（x）＜0，有g（x）在区间（﹣∞，﹣]，[，+∞）上是减函数；‎ 当﹣＜x＜时，g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在区间[﹣，]上是增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只可能在x=1，，2时取得．‎ 而g（1）=，g（）=，g（2）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ ‎∴g（x）在区间[1，2]上的最大值为g（）=，最小值为g（2）=．﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及闭区间上的最值的求法，函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点．用空间向量进行以下证明和计算：‎ ‎（1）求证：AB1⊥面A1BD；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；‎ ‎（3）求点C到面A1BD的距离．‎ ‎【分析】（1）取BC中点O为原点，OB为x轴，在平面BB1C1C内过O作BB1的平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥平面AB1D．‎ ‎（2）求出面BA1D的法向量和面AA1D的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．‎ ‎（3）求出面BA1D的法向量，向量=（2，0，0），利用向量法能求出点C到面A1BD的距离．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（1）取BC中点O为原点，OB为x轴，在平面BB1C1C内过O作BB1的平行线为y轴，OA为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A1（0，2，），B1（1，2，0），C1（﹣1，2，0），D（﹣1，1，0），‎ ‎=（1，2，﹣），=（﹣2，1，0），=（1，﹣2，﹣），‎ ‎∴=0，=0，‎ ‎∴AB1⊥BD，AB1⊥A1B，‎ 又BD∩A1B=B，∴AB1⊥平面AB1D．‎ 解：（2）∵AB1⊥平面AB1D，∴==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，‎ 设面AA1D的法向量=（x，y，z），=（0，2，0），=（﹣1，1，﹣），‎ 则，取x=﹣3，得=（﹣3，0，）‎ 设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，‎ 则cos＜＞==﹣，‎ ‎∴sinθ==，‎ ‎∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为．‎ ‎（3）==（1，2，﹣）是面BA1D的法向量，向量=（2，0，0），‎ ‎∴点C到面A1BD的距离为d===．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0‎ ‎（1）求f（x）的极大值和极小值；‎ ‎（2）若f（x）在x=﹣1处的切线与y轴垂直，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求得f（x）的导数，对a讨论，分a＜0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极值；‎ ‎（2）求得切线的斜率，解方程可得a，求得f（x）的导数和单调区间，极值，结合题意即可得到m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0，‎ 可得f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），‎ 当a＜0时，对x∈R，有F′（x）＞0；‎ 所以当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），没有极值；‎ 当a＞0时，由f′（x）＞0解得x＜﹣或x＞；‎ 由f′（x）＜0解得﹣＜x＜；‎ 所以当a＞0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；‎ f（x）的单调减区间为（﹣，）；‎ f（x）极小=f（）=﹣2a﹣1，f（x）极大=f（﹣）=2a﹣1；‎ ‎（2）因为f（x）在x=﹣1处的切线与y轴垂直，‎ 所以f′（﹣1）=3﹣3a=0，解得a=1，‎ 所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，．‎ 由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，‎ 在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．‎ 因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，又f（﹣3）=﹣19＜﹣3，f（3）=17＞1，‎ 结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区和极值，考查函数方程的转化思想和分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线y2=2px的焦点在直线x﹣3y﹣1=0上，直线l过点P（4，0），斜率为，直线l和抛物线相交于A，B两点，设线段AB的中点为M．‎ ‎（1）求抛物线的方程和点M的坐标；‎ ‎（2）求线段AB的长|AB|并证明 OA⊥OB．‎ ‎【分析】（1）结合直线方程的特点可得p的值，再将抛物线和直线联立方程的根据韦达定理，以及中点坐标公式可求M，‎ ‎（2）利用弦长公式求出弦长，根据向量的数量积和向量的垂直即可证明 ‎【解答】解：（1）∵直线x﹣3y﹣1=0过点（1，0），‎ ‎∴=1，即p=2，‎ ‎∴抛物线的方程为y2=4x，‎ ‎∵直线l的方程为y=（x﹣4），‎ ‎∴4x﹣3y﹣16=0‎ 由消x得y2﹣3y﹣16=0，消y得4x2﹣41x+64=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则y1+y2=3，y1y2=﹣16，x1+x2=，x1x2=16，‎ 根据中点坐标公式可得M的坐标为（，）‎ ‎（2）|AB|=•=，‎ ‎∵=（x1，x2），=（x2，y2），‎ ‎∴•=x1x2+y1y2=16﹣16=0，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程思想及方程的韦达定理的关系的应用是解决本题的关键，还要注意向量的垂直公式及弦长公式的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，E是棱PC的中点．‎ ‎（1）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．‎ ‎【分析】（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PBD所成角的正弦值．‎ ‎（2）求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，‎ 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）‎ ‎∴=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），‎ 设平面PBD的法向量=（x，y，z），‎ 则，令y=1，则=（2，1，1），‎ 则直线BE与平面PBD所成角θ满足：‎ sinθ===，‎ 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．‎ ‎（2）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），‎ 由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ），（0≤λ≤1），‎ 故==（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），（0≤λ≤1），‎ 由BF⊥AC，得=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，‎ ‎∴，‎ 设平面FBA的法向量为=（a，b，c），‎ 则，令c=1，则=（0，﹣3，1），‎ 取平面ABP的法向量=（0，1，0），‎ 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：‎ cosα==，‎ ‎∴sinα==．‎ ‎∴二面角F﹣AB﹣P的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）经过点M（，），且离心率为 ‎（1）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（2）设点M在轴上的射影为点N，过点N的直线与椭圆Γ相交于A、B两点，且，求直线的方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆经过点M（，），且离心率为，列出方程组，能求出a=2，b=1，由此能求出椭圆Γ的方程．‎ ‎（2）由已知N的坐标为（，0），当直线斜率为0时，直线x轴，=0不成立．当直线斜率不为0时，设直线的方程为x=my+，代入=1，整理得：（4+m2）y2+2﹣1=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线的方程．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵椭圆Γ：=1（a＞b＞0）经过点M（，），且离心率为 ‎∴，解得a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆Γ的方程为．‎ ‎（2）由已知N的坐标为（，0），当直线斜率为0时，直线x轴，=0不成立．‎ 当直线斜率不为0时，设直线的方程为x=my+，‎ 代入=1，整理得：（4+m2）y2+2﹣1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，①，y1y2=﹣，‎ 由=0，得y2=﹣3y1，③，‎ 由①②③联立，解得m=．‎ ‎∴直线的方程为x=y+，即=0或=0．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆性质、直线方程、韦达定理、向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎