数学卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届广西柳州高级中学、南宁市第二中学高三上学期第二次联考数学（理）试题（解析版）

广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，故选A.全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ ‎2. 设，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，故选C.‎ ‎3. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 家类水果的平均质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小 D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数 ‎【答案】D ‎【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故D 不正确．故选：D．‎ ‎4. 已知单位向量，满足，则与的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴=，‎ ‎∴•=0，⊥，如图所示：‎ 则与的夹角是，故选：D．‎ ‎5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（ ）‎ A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 ‎【答案】C ‎【解析】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，‎ 由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．‎ ‎6. 如图，程序输出的结果，则判断框中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环第二次循环 结束循环，输出，所以判断框中应填选B.‎ ‎7. 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点为，所以 渐近线方程为，即，选B.‎ ‎8. 同时具备以下性质：“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x=对称；可得：+φ=，k∈Z．对于D选项：φ=﹣，不满足，排除D；‎ ‎④一个对称中心为”带入函数y中，B选项不满足．排除B；故选C．‎ ‎9. 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）‎ A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；‎ ‎②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选：B．‎ ‎10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，‎ 该几何体的俯视图为C．故选：C．‎ ‎11. 在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在△ABC中，由正弦定理得：∵‎ ‎∴A为钝角．∴，‎ 由，‎ 可得，‎ tanB=﹣==≤=，‎ 当且仅当tanC=时取等号．∴B取得最大值时，‎ ‎∴．‎ ‎∴a=2×=．∴a+b+c=2+．故答案为：2+．‎ ‎12. 已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，‎ 令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，‎ 故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，‎ 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，‎ 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；‎ 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；‎ 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知函数，则__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】 ，所以 ‎ 点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.‎ ‎14. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图连接C1D，则C1D∥AB1，‎ ‎∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．，AA1=1，‎ 在△BC1D中，，，，‎ ‎∴cosBC1D．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：． ‎ ‎15. 若，满足约束条件，等差数列满足，，其前项和为，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等差数列{an}满足a1=x，a5=y，‎ ‎∴d=，∴设z=S5﹣S2=5a1+10d﹣2a1﹣d=3a1+9d=3x+=x+，‎ 则y=﹣11x+，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大 由解得x=3，y=2，即A（3，2），∴z=+=，故答案为：‎ ‎16. 过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得x2+y2=1（y≥0）‎ ‎∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）‎ 由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，‎ 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0‎ ‎∴直线l的方程为：，即 则圆心O到直线l的距离，直线l被半圆所截得的弦长为 ‎|AB|=，‎ ‎∴===‎ 令，‎ 则，当，S△AOB有最大值为，‎ 此时，，∴，又∵﹣1＜k＜0，∴‎ 点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理 问题，是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设，，数列满足：且.‎ 求证：数列是等比数列；‎ 求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）a1=2，a2=4，且an+1﹣an=bn；可得b1=a2﹣a1=4﹣2=2．由bn+1=2bn+2，变形为：bn+1=2=2（bn+2），即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得：bn+2=4×2n﹣1，可得bn=2n+1﹣2．an+1﹣an=bn=2n+1﹣2．利用an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可证明．‎ 试题解析：‎ 由题知：，‎ 又，∴，‎ ‎∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.‎ 由可得，故.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎.‎ 累加得：，‎ ‎，‎ 即.‎ 而，∴.‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误,求通项公式时可考虑累差累积法的应用．‎ ‎18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）‎ 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)①；②50万元.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．‎ ‎（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+．‎ ‎②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．‎ 试题解析：‎ 由题意可知的可能取值为，，，，，.‎ 由统计数据可知：‎ ‎，，，，，.‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ ‎①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有一辆事故车的概率为.‎ ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000,10000.‎ 所以的分布列为：‎ ‎-5000‎ ‎10000‎ 所以.‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.‎ ‎19. 如图所示，三棱柱中，已知侧面，，，.‎ 求证：平面；‎ ‎ 是棱上的一点，若二面角的正弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2或3.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．‎ 试题解析：证明：因为平面，平面，所以，‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理得：，‎ 故，所以，‎ 又，∴平面.‎ 由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，，.‎ 令，∴，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 令，则，，‎ ‎∴，‎ 平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎，两边平方并化简得，所以或.‎ ‎∴或.‎ 点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，本题利用了余弦定理，求边长，再利用勾股定理得到线线垂直，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分 析.‎ ‎20. 如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.‎ 求椭圆的方程；‎ ‎ 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)存在常数符合题意.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；‎ 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 试题解析：‎ 由在椭圆上得，①‎ 依题设知，则②‎ ‎②带入①解得，，.‎ 故椭圆的方程为.‎ 由题意可设的斜率为，‎ 则直线的方程为③‎ 代入椭圆方程并整理，得，‎ 设，，则有 ‎，④‎ 在方程③中令得，的坐标为 .‎ 从而，，. ‎ 注意到，，共线，则有，即有.‎ 所以⑤‎ ‎④代入⑤得，‎ 又，所以，故存在常数符合题意.‎ ‎21. 已知函数.‎ 讨论函数的单调性；‎ 设的两个零点是，，求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，求函数的导数，在定义域内讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求出a=+x1+x2，问题转化为证明＞lnx1﹣lnx2，即证明＞ln（*），令=t∈（0，1），则h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根据函数的单调性证明即可．‎ 试题解析：函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎①当时，，，则在上单调递增；‎ ‎②当时，时，，时，，‎ 则在上单调递增，在上单调递减.‎ 首先易知，且在上单调递增，在上单调递减，‎ 不妨设，‎ ‎，‎ 构造，‎ 又 ‎∴，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，‎ 又，是函数的零点且，∴‎ 而，均大于，所以，所以，得证.‎ 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，弦的中点为，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先消参数得的普通方程，再根据得曲线的极坐标的方程，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（2）先求直线参数方程，再代入的普通方程，利用韦达定理以及参数几何意义求的值.‎ 试题解析：由题意的方程为：可得的普通方程为：， ‎ 将代入曲线方程可得：.‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以.‎ 又，，.‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.‎ 因为点，化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得：，‎ 所以由韦达定理：，，‎ 所以.‎ ‎23. 已知函数.‎ 求不等式的解集；‎ 若函数的最小值为，整数、满足，求证.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）求出a+b=4，根据不等式的性质证明即可．‎ 试题解析：当时，得.∴.‎ 当时，得.∴无解.‎ 当时，得.‎ 所以，不等式的解集为或.‎ 法一：，∴，即.‎ 又由均值不等式有：，，‎ 两式相加得.∴‎ 当且仅当时等号成立.‎ 法二：由柯西不等式得，∴‎ 当且仅当即时等号成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎