甘肃省天水一中2020届高三下学期复学诊断考试数学（理）试题

甘肃省天水一中2020届高三下学期复学诊断考试数学（理）试题

天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试 理科数学试题 ‎（满分：150分 时间120分钟）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，表示复数的共轭复数．若，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知向量，，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）‎ A．128.5米 B．132.5米 C．136.5米 D．110.5米 ‎5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则，的值为（ ）‎ A．8，2 B．3，6 C．5，5 D．3，5‎ ‎6．设，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，已知，，.给出如下结论：‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③若，，则，；④若，，则，.‎ 其中正确的结论个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的最小正周期为4，其图象关于直线对称，给出下面四个结论：‎ ‎①函数在区间上先增后减；②将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称；③点是函数图象的一个对称中心；④函数在上的最大值为1．其中正确的是( )‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎10．函数的部分图象如右图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,记,则的值是( )‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在区间内有极大值，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．某公司有职工2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米的共有30人，由此估计该公司所有职工中居住地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人．‎ ‎14．已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，若，，则的面积的最大值为________‎ ‎16．已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.‎ 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.‎ ‎18．如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面构成的二面角的正弦值.‎ ‎19．某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从种服装商品,种家电商品,种日用商品中,选出种商品进行促销活动.‎ ‎（Ⅰ）试求选出的种商品中至多有一种是家电商品的概率;‎ ‎（Ⅱ）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高元，同时,若顾客购买该商品,则允许有次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,若使促销方案对商场有利，则最少为多少元？‎ ‎20．已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围．‎ ‎21．已知函数是奇函数，的定义域为．当时，．(e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；‎ ‎(2)如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎22．已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。‎ 天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试 理科数学试题答案 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C 二、填空题 ‎13．200 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）；（2）‎ ‎（1）当时，，所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 两式作差得，即，因为，‎ 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；‎ ‎（2）令，则，，‎ 所以数列的公差，故，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18．（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，‎ 在菱形中，，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又，，平面，∴平面，‎ ‎∵，分别是，的中点，∴，，‎ 又，，∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，则，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，‎ ‎，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由及是菱形，‎ 得，，，则，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 取，求得，所以，‎ 同理，可求得平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面构成的二面角的平面角为，则 ‎，又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.‎ ‎19．（Ⅰ）（Ⅱ）最少为元 ‎（Ⅰ）选出种商品一共有种选法, ‎ 选出的种商品中至多有一种是家电商品有种 所以至多有一种是家电商品的概率为 ‎（Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为,可能值为,,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ 所以 所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元 ‎20．（1）（2）‎ ‎（1）当点的坐标为时，，所以．‎ 由对称性，，‎ 所以，得 将点代入椭圆方程 中，解得， ‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，‎ 此时． ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．‎ 由消去整理得：． 显然，‎ 设，则 ‎ 故 ‎ ‎．‎ 因为，所以，‎ 所以点到直线的距离即为点到直线的距离，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以，所以．综上，．‎ ‎21．（1）；（2）.‎ 设x>0时，结合函数的奇偶性得到： ‎ （1） 当x>0时，有，‎ ‎；‎ 所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为 ‎ ‎（2）当时，‎ 令，由题意，在上恒成立 ‎ 令，则，当且仅当时取等号． ‎ 所以在上单调递增，‎ 因此， 在上单调递增，． ‎ 所以．所求实数的取值范围为 ‎22．（1）点 ；（2）‎ 试题解析:（1）点的直角坐标为；‎ 由得①‎ 将，，代入①，‎ 可得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线 的直角坐标方程为，‎ 设点的直角坐标为，则，‎ 那么到直线的距离：‎ ‎ ，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 所以到直线的距离的最小值为．‎ ‎23．(1) .‎ ‎(2) .‎ 详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；‎ 当时，解集为，，，‎ 综上所述. ‎ ‎(2)当时，令 由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，. ‎