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文档介绍
数学理卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（十）（2017
南昌十中高三交流卷 数学试卷（理科） 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合 , ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 的值为( ) A. － B. C.0 D. 3. 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点( ) A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度 C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度 4. 已知 成立, 函数 是减函数, 则 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 《张丘建算经》卷上有一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快， 而且每天增加的数量相同.若已知女子第一天织布 4 尺，50 天共织布 900 尺，则该女子织布 每天增加( ) 尺 A. B. C. D. a i 1 i a + − −== )52(log 3 1 xyxA { }10,3 ≤≤== xyyB x A B = ∅ ≤≤ 32 5 xx ≤< 32 5 xx { }3=xx 7cos 3 aπ 1 2 1 2 3 2 xy cos= )4sin( π+= xy 4 π 4 π 4 π 4 π : 0, 1xp x e ax∃ > − < :q ( ) ( )1 xf x a= − − p q 4 7 16 49 3 5 9 14 6. 如图是一个算法的流程图，若输入 x 的值为 4，则输出 y 的值是( ) A.－3 B. －2 C. －1 D. 0 7. 在 中 ， 为 锐 角 , 分 别 是 内 角 的 对 边 ，若 ， ， ，则 的值为( )． A. 5 B. 2 C. D. 8. 已知 满足约束条件Error!则 的最小值为（ ） A．3 B．0 C．1 D. 3 2 9.已知函数 , 则 的值为（ ） A． B． C． D． 10. 设 ， 且 满 足 ， 则 的取值范围为( ) A． B． C． D． 11. 已 知 点 是 抛 物 线 上 不 同 的 两 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 且 满 足 ，弦 的中点 到直线 的距离记为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 3 B. C. D. 4 12.在△ABC 中，若∠A＝60°，BC＝4，O 为中线 AM 上一动点，则 的最小值 是( ) ABC∆ B cba ,, CBA ,, b c B A 2 5 sin sin = 4 7sin =B 4 75=∆ABCS b 7 14 yx, 22 +−= yxz ( ) 3 23 3 1 2 4 8f x x x x= − + + 2016 1 2017k kf = ∑ 0 504 1008 2016 παβ ≤<≤0 0sinsincoscos =+ βαβα )2sin()2sin( βαβα −+− [ ]1,2− [ ]2,1− [ ]1,1− [ ]2,1 ,M N 24y x= F 2 3MFN π∠ = MN P :l 1 16y = − d 2 2MN dλ= λ 3 1 3+ ( )OA OB OC+ A．－6 B．－ C．－4 D．－8 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13. 设 ， 若 ， 则 实 数 的 值 为 ． 14.若直线 过 的极值点，则 的最小值为 ． 15. 如图，小正方形边长为 2 ，粗线是一个棱锥的三视 图，则此棱锥的表面积为 ． 16. 已知函数 与函数 关于直线 对称，则 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知等差数列 的前 项和为 , . （1）求数列 的前 项和为 ； （2）若 ,求 . 18.（本小题满分 12 分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包， 每次发放 1 个． (1)若小王发放 5 元的红包 2 个，求甲得到红包的概率； 2 3 8 8 2 210 8)2 1( xaxaxaaax ++++=− 685 −=+ aa a 04 3 =−− ebyax )0,0( >> ba xxxf ln)( = ba 21 + xey = xy ln= xy = =∫ xdxe ln1 { }na n nS 2 1 21, 2n n na S a a= = + { }na n nS 3 na nb = 1 4 7 3 2... nb b b b −+ + + + 俯视图 左视图主视图 (2)若小王发放 3 个红包，其中 5 元的 2 个，10 元的 1 个．记乙所得红包的总钱数为 X， 求 X 的分布列和期望． 19.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 中，四边形 是菱形， 相 交于点 ， ， ，平面 平面 ， ，点 为 的中点． （1）求证：直线 平面 ． （2）若 ， ，点 是 边 上 的 一 点 ， 且 ， 求 二 面 角 的余弦值。 20.（本小题满分 12 分）已知圆心为 H 的圆 x2＋y2＋2x－15＝0 和定点 A(1,0)，B 是圆上任 意一点，线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M，当点 B 在圆上运动时，点 M 的轨迹为 曲线 C。 （1）求 C 的方程； （2）过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线 C 相交于 P，Q 和 E，F，求PE→ ·QF→ 的取 值范围。 21.（本小题满分 12 分）设 ，曲线 在点 处的切线与直 线 垂直. （1）求 的值； （2）若对于任意的 恒成立，求 的取值范围； （3）求证： . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 ABCDEF ABCD ,AC BD O / /EF AB 2AB EF= BCF ⊥ ABCD BF CF= G BC AC ⊥ ODE 2AB BF= = 60DAB∠ = P AB 2PB AP= E GP A− − (4 )ln( ) 3 1 x a xf x x += + ( )y f x= (1 (1))f， 1 0x y+ + = a [1 ) ( ) ( 1)x f x m x∈ + ∞ −， ， ≤ m 1 ln(4 1) 16 ( )(4 1)(4 3) n i in ni i= + ∈+ −∑ *N≤ 已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标 系，直线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，过点 作倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为空集，求 的取值范围． 数学试卷（理科） 参考答案 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合 , ，则 （ ） C 2ρ = x l t l C C ' 1' 2 x x y y = = 'C 'C += = ty tx 32 2 1 )0,3(F 060 BA, FBFA ⋅ ( ) 1 2 1x af x x= + + − − 1−=a ( ) 2f x x> + ( ) ( )2f x a x≤ + a −== )52(log 3 1 xyxA { }10,3 ≤≤== xyyB x A B = A． B． C． D． 【答案】C 解析：由已知可得 ， ，故 选 C。 2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 的值为( ) A. － B. C.０ D. 答案：B 解析： 是纯虚数，所以 ， ＝ ＝ 。 3. 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点( ) A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度 C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度 解 析 ： 左 移 个 单 位 长 度 答案 A 4. 已知 成立, 函数 是减函数, 则 是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 a i 1 i a + − ( )( ) ( ) ( )i 1 1 1i 1 i 2 2 a i a a ia + + − + ++ = =− 1a = ∅ ≤≤ 32 5 xx ≤< 32 5 xx { }3=xx ≤<= 32 5 xxA { }31 ≤≤= yyB =∩⇒ BA ≤< 32 5 xx 7cos 3 aπ 1 2 1 2 3 2 7cos 3 aπ cos 3 π 1 2 xy cos= )4sin( π+= xy 4 π 4 π 4 π 4 π )4sin( π+= xy → 4 π xxxy cos)2sin()44sin( =+=++=→ πππ : 0, 1xp x e ax∃ > − < :q ( ) ( )1 xf x a= − − p q C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 【答案】B 5. 《张丘建算经》卷上有一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快， 而且每天增加的数量相同.若已知女子第一天织布 4 尺，50 天共织布 900 尺，则该女子织布 每天增加( ) 尺 A. B. C. D. 解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为 d，则 4×50＋ d＝900， 解得 d＝ .故选 A . 答案 A 6. 如图是一个算法的流程图，若输入 x 的值为 4，则输出 y 的值是( ) A.－3 B. －2 C. －1 D. 0 解析 由程序框图知，x＝4，y＝1 2×4－1＝1，|1－4|＞1；x＝ 2，y＝2－1＝1，|1－2|＝1， 继续循环；x＝2，y＝1 2×2－1＝0，|0－2|=2＞1， 继续循环；x＝0，y＝1 2×0－1＝－1，|－1－0|=1， 继续循环； x＝－2，y＝1 2×(－2)－1＝－2， |－2＋2|＜1 满足条件，输出 y 为－2，结束程序. 答案 B. 7. 在 中 ， 分 别 是 内 角 的 对 边 ， 且 为 锐 角 , 若 ， ， ，则 的值为( )． A.5 B. 2 C. D. 2:,1: >> aqap 真真 4 7 16 49 3 5 9 14 50 49 2 × 4 7 ABC∆ cba ,, CBA ,, B b c B A 2 5 sin sin = 4 7sin =B 4 75=∆ABCS b 7 14 解析： 代入 由 且 为锐角知 ，由余弦定理 答案 D 8. 已知 满足约束条件Error!则 的最小值为（ ） A．3 B．0 C．1 D. 3 2 解析：易知 到直线 的距离 为区域内到直线的最短距离 . 答案 D 9. 已 知 函 数 , 则 的值为（ ） A． B． C． D． 解析: , 2 = =1008 =504 【答案】B． b c B A 2 5 sin sin = cab c b a 2 5 2 5 =⇒=⇒ 4 75sin2 1 ==∆ BacS ABC 2,5 ==⇒ ca 4 7sin =B B 4 3cos =B Baccab cos2222 −+= 14=⇒ b yx, 22 +−= yxz )2 1,2 1(A 022 =+− yx 5 2 3 =Ad 2 3 min =∴Z ( ) 3 23 3 1 2 4 8f x x x x= − + + 2016 1 2017k kf = ∑ 0 504 1008 2016 ( ) 3 23 3 1 2 4 8f x x x x= − + + 4 1)2 1( 3 +−= x 4 1)2 1()1( 3 +−−=− xxf 2 1)1()( =−+∴ xfxf 2016 1 2017k kf = ∑ 2 12016× 2016 1 2017k kf = ∑ 10. 设 ，且满足 ，则 的取值范围为( ) A． B． C． D． 解析 ∵cosαcosβ+sinαsinβ＝0，即 cos(α－β)＝0， ，∴α－β ＝ π 2 ，α＝ π 2 +β ，则 ，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin( )＋ sin( )＝cos -sin ＝ 2 ，∵ ， ∴ ，∴－1≤ 2 ≤1，即所求取值范围为[－1,1]，故选 C。 答案 C 11. 已 知 点 是 抛 物 线 上 不 同 的 两 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 且 满 足 ，弦 的中点 到直线 的距离记为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 3 B. C. D. 4 解析:设 到直线 的距离为 ，设 到直线 的距离为 ，则 答案 A 12.在△ABC 中，若∠A＝60°，BC＝4，O 为中线 AM 上一动点，则 的最小值 是( ) A．－6 B．－ C．－4 D．－8 答案：A 解 析 ： 由 题 意 知 ， ＝ 2 ， 设 | | ＝ x ， 则 | | ＝ | | － x ， 所 以 παβ ≤<≤0 0sinsincoscos =+ βαβα )2sin()2sin( βαβα −+− [ ]1,2− [ ]2,1− [ ]1,1− [ ]2,1 παβ ≤<≤0 ],0[ π∈ ]2,0[ πβ ∈ βπ + βπ − 2 β β )4cos( πβ + ]2,0[ πβ ∈ ]4 3,4[4 πππβ ∈+ )4cos( πβ + ,M N 24y x= F 2 3MFN π∠ = MN P :l 1 16y = − d 2 2MN dλ= λ 3 1 3+ M 16 1=y a N 16 1=y b 2 bad += 4 )(3 4 )()()( 22 222 bababaabbaMN +=+−+≥−+= 3,3 min =≥∴ λλ ( )OA OB OC+ 2 3 OB OC+ OM OM OA AM ＝－2(| |－x)x≥ .要求 的最小值，即求| | 的最大值．因为∠A＝60°，BC＝4，所以当 AM⊥BC 时，| |max＝ ，所以 ≥－6，选 A. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13. 设 ， 若 ， 则 实 数 的 值 为 ． 解析：由二项展开式的通项公式可得 a5＝C38(－ 1 2a)3＝－7a3，a8＝C08(－a)0＝1.因为 a5＋a8＝－ 6，所以－7a3＋1＝－6，即 a3=1 所以 a＝1 14.若直线 过 的极值点，则 的最小值为 ． 解析： 极值点为 当且仅当 时取到等号，此时 ． 15. 如图，小正方形边长为 2，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 . ( )OA OB OC+ AM 21 2 AM− ( )OA OB OC+ AM AM 2 3 ( )OA OB OC+ 8 8 2 210 8)2 1( xaxaxaaax ++++=− 685 −=+ aa a 04 3 =−− ebyax )0,0( >> ba xxxf ln)( = ba 21 + )0(1ln)(/ >+= xxxf )(xf∴ )1,1( ee − 4 304 3)1(1 =+⇒=−−−⋅∴ baeebea ∴ 3 284)223(3 4)23(3 4)21)((3 421 +=+≥++=++=+ b a a b bababa b a a b 2= )22(4 3),12(4 3 −=−= ba 俯视图 左视图主视图 解析： 通过观察可看出此棱锥可能由正方体 （棱长为 2）通过切割而 成，所以先画出正方体，再根据三视图中的实线虚线判断如何切割，正视图中可看出正方体 用前后面的对角线所在平面将下方完全切掉，从左视图可看出正方体的右侧面（虚线）有切 痕，俯视图体现出正方体的上底面有切痕。进而可得所求棱锥为一个四棱锥，底面是矩形 ，宽 ，长 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，棱锥的表面积为 16. 已知函数 与函数 关于直线 对称，则 ． 解析：因为函数 y＝ex 与函数 y＝lnx 互为反函数，其 图象关于直线 y＝x 对称，又因为函数 y＝ex 与直线 y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为 (e × 1－ ∫1 0 exdx)＝e－ex| 1 0＝e－(e－1)＝1. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）已知等差数列 的前 项和为 , . （1）求数列 的前 项和为 ； （2）若 ,求 . 解析：（1）由 ，得 ， ＝２，公差 ， 数列 的通项 ；故 ． 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A B CD 2CD = 1 2 2B C = CD ⊥ 1 1ADD A 1 1A B CD ⊥ 1 1ADD A 2 23 12 2 2 (2 2) 3 2 4 2 2 3 64 2S = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + + xey = xy ln= xy = =∫ xdxe ln1 { }na n nS 2 1 21, 2n n na S a a= = + { }na n nS 3 na nb = 1 4 7 3 2... nb b b b −+ + + + 2 1 21, 2n n na S a a= = + 2 2 1 1 1 22S a a a a= + = + 2a 1d = { }na na n= 1 ( 1)2nS n n= + （2） ,所以数列 是首项为３,公比为２７的等比数列, ＝ ．. 18.（本小题满分 12 分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包， 每次发放 1 个． (1)若小王发放 5 元的红包 2 个，求甲得到红包的概率； (2)若小王发放 3 个红包，其中 5 元的 2 个，10 元的 1 个．记乙所得红包的总钱数为 X， 求 X 的分布列和期望． 解：(1)设“甲得到红包”为事件 A，则 P(A)＝ = (2)X 的所有可能值为 0，5，10，15，20. P(X＝0)＝(2 3 ) 2 × 2 3＝ 8 27， P(X＝5)＝ × 1 3×(2 3 ) 2 ＝ 8 27， P(X＝10)＝(1 3 ) 2 × 2 3＋(2 3 ) 2 × 1 3＝ 6 27， P(X＝15)＝ ×(1 3 ) 2 × 2 3＝ 4 27， P(X＝20)＝(1 3 ) 3 ＝ 1 27. X 的分布列： X 0 5 10 15 20 P 8 27 8 27 6 27 4 27 1 27 E(X)＝0× 8 27＋5× 8 27＋10× 6 27＋15× 4 27＋20× 1 27＝ 20 3 . 19.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 中，四边形 是菱形， 相 交于点 ， ， ，平面 平面 ， ，点 为 的 中点． （1）求证：直线 平面 ． （2）若 ， ，点 是 边上的一点，且 ，求二面 3 3na n nb = = { }3 2nb − 1 4 7 3 2... nb b b b −∴ + + + + ( )3 27 126 n − 3 2 3 21 ×− 9 5 1 2C 1 2C ABCDEF ABCD ,AC BD O / /EF AB 2AB EF= BCF ⊥ ABCD BF CF= G BC AC ⊥ ODE 2AB BF= = 60DAB∠ = P AB 2PB AP= 角 的余弦值。 证明：（1）连接 ∵ ，点 为 的中点，∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 四 边 形 为 平 行 四 边 形 , ∴ ， …………3 分 ∵ ， ，∴ ， ∵四边形 是菱 形，∴ ， ∵ ， ， ， 在平面 内， ∴ 平面 ． ………………6 分 （ 2 ） 如 图 建 系 ， 则 ， ， ， ， ，设 ，则由 ， 得 ， 得 ， ， E GP A− − OGFG, BF CF= G BC FG BC⊥ BCF ⊥ ABCD BCF ABCD BC= FG ⊂ BCF FG BC⊥ FG ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD FG AC⊥ 1/ / , 2OG AB OG AB= 1/ / , 2EF AB EF AB= / / ,OG EF OG EF= EFGO / /FG EO FG AC⊥ / /FG EO AC EO⊥ ABCD AC DO⊥ AC EO⊥ AC DO⊥ EO DO O= EO DO、 ODE AC ⊥ ODE xyzo − (0,0, 3)E ( 3,0,0)A (0,1,0)B ( 3,0,0)C − 3 1( , ,0)2 2G − ( , , )P x y z 2PB AP= 2( 3, , ) ( ,1 , )x y z x y z− = − − 2 1( 3, ,0)3 3P 2 1( 3, , 3)3 3EP = − GO F C A B D E 。 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 由 得 令 ， 得 。 取 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ，由题意， 。由题意，所求二面角 为锐角，其余弦值为 。 20.（本小题满分 12 分）已知圆心为 H 的圆 x2＋y2＋2x－15＝0 和定点 A(1,0)，B 是圆上任 意一点，线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M，当点 B 在圆上运动时，点 M 的轨迹为 曲线 C。 (1)求 C 的方程； (2)过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线 C 相交于 P，Q 和 E，F，求PE→ ·QF→ 的取值 范围。 解 (1)由 x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝42，所以圆心为 H(－1,0)，半径为 4。 连接 MA，由 l 是线段 AB 的中垂线，得|MA|＝|MB|， 所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4。 根据椭圆的定义可知，点 M 的轨迹是以 A，H 为焦点，4 为长轴长的椭圆，其方程为x2 4 ＋y2 3＝1，即为所求曲线 C 的方程。 (2)由直线 EF 与直线 PQ 垂直，可得AP→ ·AE→ ＝AQ→ ·AF→ ＝0，于是PE→ ·QF→ ＝(AE→ －AP→ )·(AF→ － AQ→ )＝AE→ ·AF→ ＋AP→ ·AQ→ 。 ①当直线 PQ 的斜率不存在时，直线 EF 的斜率为零，此时可不妨取 P(1，3 2 )，Q(1，－3 2)， E(2,0)，F(－2,0)，所以PE→ ·QF→ ＝(1，－3 2)·(－3，3 2)＝－3－9 4＝－21 4 。 ②当直线 PQ 的斜率为零时，直线 EF 的斜率不存在，同理可得PE→ ·QF→ ＝－21 4 。 ③当直线 PQ 的斜率存在且不为零时，直线 EF 的斜率也存在，于是可设直线 PQ 的方 3 157 157 )0,6 1,36 7( −=PG EPG ( , , )n x y z= 0, 0 n EP n GP ⋅ = ⋅ = =− =−+ 06 136 7 033 133 2 x zyx 1x = (1,7 3,3)n = APG (0,0,1)m = 2 2 (1,7 3,3) (0,0,1) 3 157cos , 1571 (7 3) 3 n m ⋅< >= = + + E GP A− − 程为 y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则直线 EF 的方程为 y＝－1 k(x－1)。 将直线 PQ 的方程代入曲线 C 的方程，并整理得， (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以 xP＋xQ＝ 8k2 3＋4k2，xP·xQ＝4k2－12 3＋4k2 。于是AP→ ·AQ→ ＝(xP － 1)·(xQ － 1) ＋ yP·yQ ＝ (1 ＋ k2)[xP·xQ － (xP ＋ xQ) ＋ 1] ＝ (1 ＋ k2)(4k2－12 3＋4k2 － 8k2 3＋4k2＋1)＝ 。 将上面的 k 换成－1 k，可得 AE→ ·AF→ ＝ ，所以 PE→ ·QF→ ＝AE→ ·AF→ ＋AP→ ·AQ→ ＝－9(1＋k2)· ( 1 3＋4k2＋ 1 4＋3k2)。 令 1＋k2＝t，则 t>1，于是上式化简整理可得， PE→ ·QF→ ＝－9t( 1 4t－1＋ 1 3t＋1)＝ － 63t2 12t2＋t－1＝－ 63 49 4 －(1 t－1 2 )2 。 由 t>1，得 0<1 t<1，所以－21 4查看更多