数学理卷·2018届安徽省黄山市高三一模检测（2018

数学理卷·2018届安徽省黄山市高三一模检测（2018

黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.‎ ‎4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.‎ 参考公式：球的表面积公式： 球的体积公式：‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1. 集合，集合，则等于 A. B. C. D.‎ ‎2. 已知复数，，,是虚数单位，若是实数，则 A. B. C. D.‎ ‎3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，‎ 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的 小路．已知某人从沿走到用了2分钟，再沿 着走到用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50‎ 米，则该扇形的半径的长度为(  )米. ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽 ‎（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A. B. C. D. ‎ ‎6. 下列判断错误的是 A. 若随机变量服从正态分布,‎ 则；‎ B. 若组数据的散点都在 上，则相关系数；‎ C. 若随机变量服从二项分布：, 则； ‎ D. 是的充分不必要条件；‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，‎ 则输出的，的值分别为 A． B. C. D. ‎ ‎8. 已知定义在上的函数满足，‎ 且是偶函数，当时，.令 ‎，若在区间内，函数 有4个不相等实根，则实数的取值范 围是 A. B. C. D.‎ ‎9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为 A. B. C. D. ‎ ‎1‎ ‎01‎ ‎1‎ ‎21‎ ‎321‎ ‎321‎ ‎21‎ ‎421‎ ‎421‎ ‎521‎ ‎521‎ ‎6521‎ ‎76521‎ ‎76521‎ ‎6521‎ ‎876521‎ xx876521‎ yxx876521‎ ‎10.2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程,计算器显示线段，‎ ‎ 则线段的曲线方程为 A.‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎11.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，‎ 侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接 球的表面积为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数，其中,‎ 若存在唯一的整数，使得，则的 取值范围是 ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13.的展开式的常数项为 ．‎ ‎14.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为 ．‎ ‎15.已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则 ．‎ ‎16.给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为 ．‎ ‎①函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是；‎ ‎②“”是“成等比数列”的必要不充分条件；‎ ‎③，； ‎ ‎④若，则.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且, . ‎ ‎（1）求数列和的通项公式;‎ ‎（2）记，求数列 的前项和. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ,且,平面.‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值;‎ ‎（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男人，女人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 几何题 代数题 总计 男同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）现从选择做几何题的名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为，求的分布列和. ‎ ‎ 附表及公式：‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，‎ 且四边形是边长为的正方形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若、分别是椭圆的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于与点.证明：为定值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，证明：.‎ 考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，‎ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若是正实数，且，求证：.‎ 黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D B A D C C C A D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13. 14. 15. 16. ②③④ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．‎ 由，得，解得．‎ 所以． …………………………3分 由，得，又，解得．‎ 所以． ………………………………………6分 ‎（2）因为，‎ 所以． ……………………12分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解：（1）以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，， ………………………………2分 从而，，，‎ 设平面的法向量为，则，且，即，且，不妨取，则，，‎ 所以平面的一个法向量为， …………………………………5分 此时，‎ 所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………7分 ‎（2）设，则， 则，，若，则，化简得，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足．‎ ‎…………………………………………………………………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由表中数据得的观测值：‎ ‎， …………………………………3分 所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ………………5分 ‎（2）可能取值为，‎ ‎，，， ……9分 的分布列为：‎ ‎ …………………………………………………………11分 ‎. …………………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意得，， ∴，，‎ ‎∴所求的椭圆方程为. ……………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，，. 由题意可设，，‎ ‎∵，∴.‎ 由整理得：. ……6分 ‎∵，∴，，‎ 所以， ………………………………………………………9分 ‎∴，‎ 即为定值. …………………………………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）函数的定义域为.. …1分 ‎，方程的判别式.‎ ‎①当时，，∴，故函数在上递减；‎ ‎②当时，，由可得，. ‎ 函数的减区间为；增区间为. ………………………5分 所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.…6分 ‎（2）由 （1）知当时，函数有两个极值点，且.‎ ‎ ……………………………………………………………………………………………9分 设，则，，‎ 所以在上递增，，‎ 所以. ……………………………………………………12分 ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）曲线，直线 ……………………………………5分 ‎（2）将直线的参数方程代入，可得，‎ 设对应得参数分别为，则 所以． …………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（1）因为，所以等价于，‎ 由有解，得，且其解集为.‎ 又的解集为，故. ……………………………5分 ‎（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，所以. …………………10分