安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题

安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题

‎“皖南八校”2020届高三第一次联考 数 学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.‎ 详解：由复数的运算法则有：，‎ 则，其对应的点位于第四象限.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.若集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合或，，根据集合运算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，集合或，，‎ 则，所以.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.若，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc取值范围，进而比较大小。‎ ‎【详解】，，‎ ‎，且，则 故选C ‎【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与0、1、2或-1等比较，确定范围，再比较大小。‎ ‎4.已知向量，，若，则（ ）‎ A. 5 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的数量积的运算公式，求得，再根据向量的模的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，因为 ，即，解得，‎ 又由，所以.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。‎ ‎【详解】，故奇函数，四个图像均符合。‎ 当时，，，排除C、D 当时，，，排除A。‎ 故选B。‎ ‎【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。‎ ‎6.为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面处测得铁塔在东偏北方向上，塔顶处的仰角为，小刘从处向正东方向走140米到地面处，测得铁塔在东偏北方向上，塔顶处的仰角为，则铁塔的高度为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用举例问题，注意分析角度，，设所求为未知量再利用余弦定理列方程，解方程。‎ ‎【详解】设，‎ 中，，中，‎ 中，由余弦定理 解得，‎ 故选C ‎7.在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求得，，再利用两角和的正弦公式，即可求解．‎ ‎【详解】根据三角函数的定义，可得，，‎ 又由.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及两角和的正弦公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的定义，以及熟练应用两角和的正弦公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.已知非零向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用向量的数量积的运算公式，求得，再利用模的运算，化简得到，最后利用向量的夹角公式，即可求解．‎ ‎【详解】由，即，可得，‎ 又由，可得，‎ 联立可得，所以，‎ 又由，所以 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.关于复数，下列命题①若，则；②‎ 为实数的充要条件是；③若是纯虚数，则；④若，则.其中真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①中，根据复数的模的计算公式，即可判定是正确的；对于②中，根据复数的概念与分类，即可判定是正确的；对于③中，根据复数的运算与复数的概念，即可判定是正确；对于④中，根据复数的运算和复数相等的条件，即可判定不正确．‎ ‎【详解】由题意，对于①中，因为，根据复数的模的计算公式，可得，即，所以是正确的；‎ 对于②中，若复数为实数，根据复数的概念，可得，反之，当时，复数为实数，所以是正确的；‎ 对于③中，，若是纯虚数，则且，所以正确；‎ 对于④中，由，即，所以，所以，所以不正确；‎ 综上①②③为真命题，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的分类，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎10.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间。‎ ‎【详解】，‎ 求导 解得 ‎，则当时，。‎ 则的单调递增区间是。‎ 故选A ‎【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率。已知两点坐标也可求斜率。本题还考察了导数在研究函数性质中的应用。‎ ‎11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的值域为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论，去绝对值，再讨论函数性质。‎ ‎【详解】分类讨论：‎ 当时，‎ 当时，‎ 周期，图像关于直线对称，故A正确。‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误。‎ 函数无对称中心，故C错误。‎ 函数值域为故D错误。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】对于绝对值函数应分类讨论，形成分段函数，必要的时候可以画出简图，简要判断。‎ ‎12.已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程有四个不等的实数根，分，和三种情况分类讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当时，由，解得或，‎ 又由，可得或，‎ 此时方程有两解，‎ 方程要有两解时，，解得，‎ 当时，由，即，可得只有一解，‎ 当时，由得或，‎ 又由化为或，方程有两解，‎ 只要两解，即方程有两解，则，解得.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的运算，得到，代入即可求解．‎ ‎【详解】由，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分别求出和的值，比值即为最后所求。‎ ‎【详解】 ①‎ ‎ ②‎ ‎① +②得： ③‎ ‎①-②得： ④‎ 两式相除：‎ 故填 ‎【点睛】两角和与差的正弦公式，解得和并构造所求式子。‎ ‎15.已知四边形是平行四边形，点在的延长线上，，，.若，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平面向量线性运算表示，平面向量基本定理以与为一组基底，进行化简。‎ ‎【详解】由，，得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴，，，.‎ ‎【点睛】平面向量的平行四边形法则，以两条邻边为基底，表达其他向量。是解题的关键。‎ ‎16.已知函数，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 令，即，解得，‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为，‎ 又由，，‎ 可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.已知：函数在上是增函数，：，，若是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假。进而求参数取值范围 ‎【详解】解：真时，，，‎ 真时，，‎ ‎，‎ 为真时，或，‎ ‎∵为真，‎ ‎∴与都为真，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】且命题：全真为真，一假即假。非命题：与原命题真值相反。‎ ‎18.已知，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期.‎ ‎【答案】（1）（2），最小正周期为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量平行求解，再求，利用齐次式求解。‎ ‎（2）平面向量数量积运算求得解析式，经过图像平移，求解析式及周期。‎ ‎【详解】解：（1）由，得，，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 最小正周期为.‎ ‎【点睛】（1）利用齐次式解决问题时候注意1的妙用。‎ ‎（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。‎ ‎19.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简可得，再由余弦定理，求得，即可求得大小；‎ ‎（2）由题设条件，求得，，再由正弦定理可得，利用面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由，‎ 因为，可得，‎ 又由正弦定理，得，即，‎ 由余弦定理，得，∵，∴.‎ ‎（2）在中，因为，‎ 所以，可得，‎ 又因为，由正弦定理可得，‎ 又由，‎ ‎∴的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎20.已知函数，，分别是曲线 上的一个最高点和一个最低点，且的最小值为.‎ ‎（1）求函数单调递增区间和曲线的对称中心的坐标；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，对称中心坐标为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数，根据的最小值为，求得，‎ 得到，再利用三角函数的图象与性质，即可求解．‎ ‎（2）由，得到，进而得到函数的值域，即可求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ ‎，可得最小正周期为，‎ 因为的最小值为，即，解得，所以，‎ 所以，‎ 由，解得，‎ 所以函数的单调增区间为，‎ 又由，解得，‎ 即曲线的对称中心坐标为.‎ ‎（2）由，可得，‎ 又由，可得，所以，‎ 即，‎ 由对恒成立，所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典，解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当，时，求函数的最大值；‎ ‎（2）若函数存在唯一零点，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求得，根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案．‎ ‎（2）求得 ‎，分类讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当时，函数，则，‎ 当或时，；‎ 当时，，‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，‎ 又由，，‎ 所以时，的最大值为1.‎ ‎（2）由函数，则，‎ ‎①当时，由，得或，在上是增函数，‎ 又由，，‎ ‎∴在上有零点，不合题意，‎ ‎②当时，有两个实数根，即函数有两个零点，不合题意，‎ ‎③当时，由，得，由，得或，‎ 所以函数单调增区间为，单调减区间为，，‎ 因为函数存在唯一零点，且，‎ 则满足，即，因为，所以，‎ 又由，且，‎ 所以有唯一零点，且，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）函数是否有极值？若有，求出极值；若没有，说明理由.‎ ‎（2）若对任意，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，进而可求解函数的极值．‎ ‎（2）利用函数的导数，求得，把使得对成立，转化为对于恒成立，结合（1）中函数的单调性，分类讨论，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，‎ 当时，，的单调增区间为，没有极值，‎ 当时，令，解得；令，解得，‎ 所以的单调增区间为，单调减区间为，‎ ‎∴有极大值，没有极小值.‎ ‎（2）由，‎ 令，则，‎ 当时，，在上是减函数，‎ 所以当时，，即，‎ ‎∴要使得对成立，等价于对于恒成立，‎ 当时，由（1）知，，所以当成立，必有，‎ 当时，，由（1）有，从而不恒成立，‎ 当时，令，‎ 则，‎ 所以在上是减函数，所以时，，‎ 综上，可得的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎