数学·上海市崇明县大同中学2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

数学·上海市崇明县大同中学2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年上海市崇明县大同中学高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1．已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∪B为　　．‎ ‎2．已知复数z满足|z|+z=1+3i（i为虚数单位），则复数z=　　．‎ ‎3．已知tan145°=k，则sin2015°=　　．‎ ‎4．方程=0的解为　　．‎ ‎5．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为　　．‎ ‎6．已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn=+a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列的各项和为　　．（用数值作答）‎ ‎7．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为　　．（结果保留π）‎ ‎8．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为　　．‎ ‎9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•=　　．‎ ‎10．已知a1=1，an﹣2an﹣1=2n，则{an}的通项公式为　　．‎ ‎11．已知a＞0，且a≠1，设函数f（x）=的最大值为1，则a的取值范围为　　．‎ ‎12．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）解析式　　．‎ ‎13．设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是 　　（请将你认为正确的序号都填上）‎ ‎（1）f（x）是R上的单调递减函数；‎ ‎（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；‎ ‎（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；‎ ‎（4）f（x）存在反函数f﹣1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f﹣1（x）成立．‎ ‎14．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（　　）‎ A．|a|＞|b| B．＞ C．a2＞b2 D．lga＞lgb ‎16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎17．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B． C．﹣或 D．﹣2或2‎ ‎18．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．如图所示，使用纸板可以折叠粘贴制作一个形状为正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒．‎ ‎（1）求该纸盒的容积；‎ ‎（2）如果有一张长为60cm，宽为40cm的矩形纸板，则利用这张纸板最多可以制作多少个这样的纸盒（纸盒必须用一张纸板制成）．‎ ‎20．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；‎ ‎（2）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．‎ ‎21．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0．‎ ‎（1）当a=1时，f（x）的最小值；‎ ‎（2）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知两动圆F1：（x+）2+y2=r2和F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： •=0．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；‎ ‎（3）求△ABM面积S的最大值．‎ ‎23．已知数列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n项和Sn，且满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜；‎ ‎（3）证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N+，使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市崇明县大同中学高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）‎ ‎1．已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∪B为　{x|x＜3}　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合B，从而求出其和A的并集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x||x|＜3}，‎ B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，‎ ‎∴A∪B={x|x＜3}，‎ 故答案为：{x|x＜3}．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z满足|z|+z=1+3i（i为虚数单位），则复数z=　﹣4+3i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】利用条件设出复数z，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z满足|z|+z=1+3i，‎ 设z=a+3i，‎ 可得+a+3i=1+3i，‎ 可得+a=1，解得a=﹣4．‎ 故答案为：﹣4+3i．‎ ‎　‎ ‎3．已知tan145°=k，则sin2015°=　　．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得sin2015°的值．‎ ‎【解答】解：∵tan145°=tan=﹣tan35°=k，∴k＜0，‎ 则sin2015°=sin（5×360°+215°）=sin215°=sin=﹣sin35°＜0．‎ ‎∵k=﹣，k2==，‎ ‎∴sin235°=，∴sin35°==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．方程=0的解为　2　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【分析】根据求行列式的方法化简即得（3x）2﹣8×3x﹣9=0，这是一个关于3x的二次方程，将3x看成整体进行求解即可．‎ ‎【解答】解：方程即：‎ ‎9×（﹣3x）+9 x﹣9+3x=0，‎ 即（3x）2﹣8×3x﹣9=0，‎ ‎∴3x=9或3x=﹣1（舍去）‎ ‎∴x=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎5．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为　16cm　．‎ ‎【考点】扇形面积公式．‎ ‎【分析】由题意，利用扇形的面积公式可求半径，利用弧长公式可求弧长，进而可求扇形的周长．‎ ‎【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是α，‎ 则α=2，扇形的面积为：s=αr2=×2×r2=16 （cm2），‎ 解得：r=4cm，‎ ‎ 则周长l=2r+αr=2r+2r=4r=4×4=16cm．‎ 故答案为：16cm．‎ ‎　‎ ‎6．已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn=+a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列的各项和为　﹣1　．（用数值作答）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用递推公式可得：a1=S1=+a，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=．n=1时上式也成立，解得a．此无穷等比数列的各项和=．‎ ‎【解答】解：∵Sn=+a（n∈N*），且a是常数，‎ ‎∴a1=S1=+a，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=+a﹣=．‎ ‎∵数列{an}是等比数列，∴n=1时上式也成立，∴=﹣，解得a=﹣1．‎ ‎∴a1=﹣，公比q==．‎ ‎∴此无穷等比数列的各项和===﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎7．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为　　．（结果保留π）‎ ‎【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．‎ ‎【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．‎ 正方体的体积为8，则棱长为2，正方体的对角线为2，‎ 球的半径为：‎ 球的体积：‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎8．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出物理和化学同时被选中的情况几种，由此能求出物理和化学不同时被选中的概率．‎ ‎【解答】解：某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，‎ 基本事件总数n=C63=20，‎ 物理和化学同时被选中的情况有：C41=4，‎ ‎∴物理和化学不同时被选中的概率为：P=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】通过图形，分别表示，然后进行向量数量积的运算即可．‎ ‎【解答】解：由题意不难求得，‎ 则===‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．已知a1=1，an﹣2an﹣1=2n，则{an}的通项公式为　（2n﹣1）×2n﹣1　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】an﹣2an﹣1=2n，变形为：﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an﹣2an﹣1=2n，‎ ‎∴﹣=1，‎ ‎∴数列是等差数列，公差为1，首项为．‎ ‎∴=+（n﹣1）=．‎ 则{an}的通项公式为：an=（2n﹣1）×2n﹣1．‎ 故答案为：（2n﹣1）×2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎11．已知a＞0，且a≠1，设函数f（x）=的最大值为1，则a的取值范围为　[，1）　．‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】按分段函数分类讨论，易知f（3）=3﹣2=1，从而化为当x＞3时，2+logax≤1恒成立，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵当x≤3时，f（x）=x﹣2，‎ 故f（3）=3﹣2=1，故当x=3时f（x）有最大值，‎ 故当x＞3时，2+logax≤1，‎ 故logax≤﹣1，‎ 故，‎ 解得，a∈[，1），‎ 故答案为：[，1）．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）解析式　f（x）=2sin（2x﹣）　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由最值求出A，由周期求出ω，代入特殊点坐标求出φ．‎ ‎【解答】解：由图象可知f（x）的最大值为2，周期T=2（）=π，‎ ‎∴ω=．‎ ‎∵f（）=2，∴2sin（φ）=2，‎ ‎∴+φ=，即φ=﹣+2kπ．‎ ‎∵﹣＜φ＜，∴k=0时，φ=﹣．‎ 故答案为：f（x）=2sin（2x﹣）．‎ ‎　‎ ‎13．设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是 　（1）（2）（3）（4）．　（请将你认为正确的序号都填上）‎ ‎（1）f（x）是R上的单调递减函数；‎ ‎（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；‎ ‎（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；‎ ‎（4）f（x）存在反函数f﹣1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f﹣1（x）成立．‎ ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；反函数；根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】先去掉绝对值，将方程转化为分段函数，再作出分段函数的图象，用数形结合法易得结论．‎ ‎【解答】解：去掉绝对值得：‎ 作出其图象为：如图所示：‎ ‎（1）在定义域上为递减函数．正确．‎ ‎（2）由双曲线的渐近线可知：f（x）的图象在y=﹣x的上方．正确．‎ ‎（3）由f（x）的图象向上向下无限延展，f（x）的图象在y=a一定有交点，正确．‎ ‎（4）由f（x）的图象关于y=x对称，正确．‎ 故答案为：（1）（2）（3）（4）‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是　（27，）　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2=1，x3+x4=12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：解：画出函数f（x）=的图象，‎ 令f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，‎ 作出直线y=a，‎ 由x=3时，f（3）=﹣cosπ=1；x=9时，f（9）=﹣cos3π=1．‎ 由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．‎ 由图象可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜4.5，7.5＜x4＜9，‎ 则|log3x1|=|log3x2|，即为﹣log3x1=log3x2，可得x1x2=1，‎ 由y=﹣cos（x）的图象关于直线x=6对称，可得x3+x4=12，‎ 则x1•x2•x3•x4=x3（12﹣x3）=﹣（x3﹣6）2+36在（3，4.5）递增，‎ 即有x1•x2•x3•x4∈（27，）．‎ 故答案为：（27，）．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（　　）‎ A．|a|＞|b| B．＞ C．a2＞b2 D．lga＞lgb ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】A．a＞b不一定成立，例如取a=﹣2，b=1；‎ B．a＞b不一定成立，例如取a=1，b=2；‎ C．a＞b不一定成立，例如取a=﹣2，b=1；‎ D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．|a|＞|b|，a＞b不一定成立，例如取a=﹣2，b=1，因此不符合题意；‎ B.，a＞b不一定成立，例如取a=1，b=2，因此不符合题意；‎ C．a2＞b2，a＞b不一定成立，例如取a=﹣2，b=1，因此不符合题意；‎ D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，因此使a＞b成立的充分不必要条件是lga＞lgb．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，‎ ‎∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，‎ ‎∵sinA≠0，‎ ‎∴sinA=1，A=，‎ 故三角形为直角三角形，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎17．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B． C．﹣或 D．﹣2或2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得圆心（0，0）到直线l：x+y=a的距离d满足d=1，根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值方程求得实数a的值．‎ ‎【解答】解：因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d=1，‎ 即d==1，解得a=±．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由=﹣设与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y=5+4cosx，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．‎ ‎【解答】解：当x∈[0，π]时，y=1，‎ 当x∈[π，2π）时，‎ ‎∵=﹣设与的夹角为θ，||=1，||=2，‎ ‎∴θ=π﹣x ‎∴y=|O1P|2=（﹣）2=5﹣4cosθ=5+4cosx，x∈（π，2π），‎ ‎∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递增，‎ 当x∈[2π，4π）时，‎ ‎∵=﹣，设与的夹角为α，||=2与||=1，‎ ‎∴α=2π﹣x，‎ ‎∴y=|O1P|2=（﹣）2=5﹣4cosθ=5+4cosx，x∈（2π，4π），‎ ‎∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递减．‎ 故选：A ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．如图所示，使用纸板可以折叠粘贴制作一个形状为正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒．‎ ‎（1）求该纸盒的容积；‎ ‎（2）如果有一张长为60cm，宽为40cm的矩形纸板，则利用这张纸板最多可以制作多少个这样的纸盒（纸盒必须用一张纸板制成）．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】（1）由已知可得：正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒底面棱长为2cm，高为3cm； 进而可得该纸盒的容积；‎ ‎（2）制作一个纸盒，需要一张长2×5+0.5=10.5cm，宽3+3+3=9cm的矩形纸，进而可得制作方案．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可得：正六棱柱形状的花型锁盒盖的纸盒底面棱长为2cm，高为3cm； ‎ 故纸盒的容积V=6××22×3=18cm3；‎ ‎（2）由已知可得：制作一个纸盒，需要一张长2×5+0.5=10.5cm，宽3+3+3=9cm的矩形纸，‎ 一张长为60cm，宽为40cm的矩形纸板最多可以制作23个这样的纸盒，‎ 如下图所示：‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值x时的取值集合；‎ ‎（2）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣=sin（2x+）+，再利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值x时的取值集合；‎ ‎（2）x0∈[，]⇒2x0+∈[，]，故可求得cos（2x0+）=﹣，利用两角差的余弦cos2x0=cos[（2x0+）﹣]即可求得cos2x0的值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣‎ ‎=sinx（cosx+sinx）+﹣‎ ‎=sin2x++cos2x ‎=sin（2x+）+，‎ 当2x+=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值．‎ 函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}；‎ ‎（2）若f（x0）=，即sin（2x0+）+=，‎ 整理得：sin（2x0+）=，‎ ‎∵x0∈[，]，‎ ‎∴2x0+∈[，]，‎ ‎∴cos（2x0+）=﹣，‎ ‎∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）si'n=﹣×+×=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0．‎ ‎（1）当a=1时，f（x）的最小值；‎ ‎（2）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）直接可求得最小值；‎ ‎（2）复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①；设g（x）=cos2x﹣cosx，则g（x）的最大值为2．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2x+≥2=2，‎ 当且仅当，即x=0时取等号；‎ ‎（2）当k∈（1，2]时，0＜k﹣cosx≤3，0＜k2﹣cos2x≤4，‎ 当a=256时，f（x）=2x+256•2﹣x，‎ 由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R恒成立，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x，即cos2x﹣cosx≤k2﹣k ①‎ 设g（x）=cos2x﹣cosx，则g（x）的最大值为2．‎ 要使得①式成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1‎ ‎∴在区间（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．‎ ‎　‎ ‎22．已知两动圆F1：（x+）2+y2=r2和F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： •=0．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；‎ ‎（3）求△ABM面积S的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4，运用椭圆的定义，即可得到a，c，b，进而得到Q的轨迹方程；‎ ‎（2）M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；‎ ‎（3）△ABM面积S=S△MNA+S△MNB=|MN||x1﹣x2|，代入韦达定理，化简整理，结合N在椭圆内，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4（4＞|F1F2|）．‎ 由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，a=2，c=．b=1，‎ 所以曲线C的方程是： =1．‎ ‎（2）证明：由题意可知：M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 当AB的斜率不存在时，易知满足条件•=0的直线AB为：x=0，过定点N（0，﹣）．‎ 当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ x1+x2=﹣①，x1•x2=②，‎ 因为•=0，所以有x1•x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，‎ 把①②代入整理化简得（m﹣1）（5m+3）=0，m=﹣或m=1（舍），‎ 综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N（0，﹣）．‎ ‎（3）△ABM面积S=S△MNA+S△MNB=|MN||x1﹣x2|=‎ 因N在椭圆内部，所以k∈R，可设t=≥2，‎ S==≤=（k=0时取到最大值）．‎ 所以△ABM面积S的最大值为．‎ ‎　‎ ‎23．已知数列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n项和Sn，且满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．‎ ‎（1）试求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜；‎ ‎（3）证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N+，使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立．‎ ‎【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把数列递推式变形得到Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3），结合an=sn﹣sn﹣1得到an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2），由累加法得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，化简后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn，由此能证明Tn＜；‎ ‎（Ⅲ）把要证的Tn＞m转化为n＞．然后分＜1和≥1，求解出n0说明要证的结论成立．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3），得，‎ 即，移项得，‎ ‎∴，，…，，‎ 这个n﹣2等式叠加可得：‎ an﹣a2=22+23+…+2n﹣1==2n﹣4，‎ 又a2=5，‎ ‎∴，n≥3，经验证a1=3，a2=5也适合该式，‎ ‎∴，n∈N*．‎ 证明：（2）由（1）知==（），‎ ‎∴bn==（），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和：‎ Tn= [（）+（）+…+（﹣）]‎ ‎=（）=＜．‎ ‎∴Tn＜．‎ ‎（3）证明：由（2）可知Tn=（）．‎ 若Tn＞m，则得，化简得，‎ ‎∵m∈（0，），∴1﹣6m＞0，‎ ‎∴，‎ 当，即0＜m＜时，取n0=1即可，‎ 当，即0＜m＜时，取n0=1即可，‎ 当，即时，‎ 则记的整数部分为S，取n0=s+1即可，‎ 综上可知，对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N+，使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立．‎ ‎　‎ ‎2016年11月20日