高考数学 17-18版 第9章 第47课 课时分层训练47
课时分层训练(四十七)
A 组 基础达标
(建议用时：30 分钟)
一、填空题
1．(2017·徐州模拟)若方程 x2
m－2
＋ y2
6－m
＝1 表示一个椭圆，则实数 m 的取值
范围为______________．
(2,4)∪(4,6) [由题意可知
m－2>0，
6－m>0，
m－2≠6－m，
解得 2
b>0)，由 e＝1
2
，即c
a
＝1
2
，得
a＝2c，则 b2＝a2－c2＝3c2.
所以椭圆方程可化为 x2
4c2
＋ y2
3c2
＝1.
将 A(2,3)代入上式，得1
c2
＋3
c2
＝1，解得 c2＝4，所以椭圆的标准方程为x2
16
＋y2
12
＝1.]
3．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x2
3
＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是________.
【导学号：62172262】
4 3 [由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得
BA＋BF＝CA＋CF＝2a，所以△ABC 的周长为 BA＋BC＋CA＝BA＋BF＋CF＋CA
＝(BA＋BF)＋(CF＋CA)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]
4．(2017·泰州模拟)已知椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的左焦点为 F，C 与过原
点的直线相交于 A，B 两点，连结 AF，BF.若 AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝4
5
，
则 C 的离心率为________．
5
7 [如图，设 AF＝x，则 cos∠ABF＝82＋102－x2
2×8×10
＝4
5.
解得 x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点
对称可知 AF1＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1 是直角三角形，∴F1F
＝10，故 2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴c
a
＝5
7.]
5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，且点 N(2,0)，
线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是________．
椭圆 [点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，
故 PA＝PN，又 AM 是圆的半径，
所以 PM＋PN＝PM＋PA＝AM＝6>MN，
由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．]
6．椭圆x2
25
＋y2
9
＝1 的左焦点为 F1，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点 M 在
y 轴上，则 PF1＝________.
41
5 [因线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，故可知 P c，±b2
a ，即 P 4，±9
5 ，所
以 PF1＝10－9
5
＝41
5 .]
7．已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心，且
短轴长为 8，则椭圆的左顶点为________. 【导学号：62172263】
(－5,0) [因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3,0)，所以 c＝3.又 b＝4，
所以 a＝ b2＋c2＝5.因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的左顶点为(－
5,0)．]
8．已知圆 M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为 2，椭圆 C：x2
a2
＋y2
3
＝1 的
左焦点为 F(－c,0)，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切，则 a 的值为
________．
2 [圆 M 的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得 m2＋3＝4，即 m2＝1(m<0)，所以 m＝－1，则圆心 M 的坐标为
(1,0)．由题意知直线 l 的方程为 x＝－c，又因为直线 l 与圆 M 相切，所以 c＝1，
所以 a2－3＝1，所以 a＝2.]
9．若 m≠0，则椭圆 x2
m2＋1
＋y2
m
＝1 的离心率的取值范围是________．
2
2
，1 [因为椭圆方程中 m>0，m2＋1≥2m>m(m>0)，所以 a2＝m2＋1，b2
＝m，c2＝a2－b2＝m2－m＋1，
e2＝c2
a2
＝m2－m＋1
m2＋1
＝1－ m
m2＋1
＝1－ 1
m＋1
m
≥1－1
2
＝1
2
，所以 2
2
≤e<1.]
10．若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
4
＋y2
3
＝1 的中心和左焦点，若 P 为椭圆上的
任意一点，则OP
→
·FP
→的最大值为________．
6 [由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设 P(x，y)，则OP
→ ＝(x，y)，FP
→＝(x＋1，
y)，∴OP
→
·FP
→＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵x2
4
＋y2
3
＝1，∴y2＝3－3
4x2，
∴OP
→
·FP
→＝1
4x2＋x＋3＝1
4(x＋2)2＋2.
∵－2≤x≤2，∴当 x＝2 时，OP
→
·FP
→有最大值 6.]
二、解答题
11．(2017·苏州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 过点(0,2)，其
焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知点 P 在椭圆 C 上，且 PF1＝4，求△PF1F2 的面积.【导学号：62172264】
[解] (1)由题意可知，c＝ 5，b＝2，所以 a2＝b2＋c2＝9，
所以椭圆 C 的标准方程为x2
9
＋y2
4
＝1.
(2)法一：由(1)可知，F1F2＝2 5，PF1＋PF2＝6，
又 PF1＝4，所以 PF2＝2，
所以 PF21＋PF22＝F1F22，所以 PF1⊥PF2，
所以△PF1F2 的面积为1
2
×PF1·PF2＝4.
法二：由(1)可知 e＝ 5
3
，设 P(x0，y0)，
因为 PF1＝4，所以 3＋ 5
3 x0＝4，解得 x0＝ 3
5
，
代入方程得1
5
＋y20
4
＝1，解得|y0|＝ 4
5
，
所以△PF1F2 的面积为1
2
×2 5× 4
5
＝4.
12．已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F(－2,0)，且长轴与短轴长的比
是 2∶ 3.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点．当 PM 最小时，
点 P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围．
[解] (1)由题意知
c＝2，
a
b
＝ 2
3
，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝16，
b2＝12.
所以椭圆方程为x2
16
＋y2
12
＝1.
(2)设 P(x0，y0)，且x20
16
＋y20
12
＝1，所以 PM2＝(x0－m)2＋y20
＝x20－2mx0＋m2＋12 1－x20
16 ＝1
4x20－2mx0＋m2＋12
＝1
4(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)．
所以 PM2 为关于 x0 的二次函数，开口向上，对称轴为 x0＝4m.
由题意知，当 x0＝4 时，PM2 最小，所以 4m≥4，所以 m≥1.
又点 M(m,0)在椭圆长轴上，所以 1≤m≤4.
B 组 能力提升
(建议用时：15 分钟)
1．已知椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)与 x2
m2
－y2
n2
＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)
和(c,0)，若 c 是 a，m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率
为________．
1
2 [因为椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)与 x2
m2
－y2
n2
＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)
和(c,0)，所以 c2＝a2－b2＝m2＋n2，因为 c 是 a，m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2
的等差中项，所以 c2＝am,2n2＝2m2＋c2，
所以 m2＝c4
a2
，n2＝c4
a2
＋c2
2
，所以2c4
a2
＋c2
2
＝c2，化为c2
a2
＝1
4
，所以 e＝c
a
＝1
2.]
2．设 F1，F2 分别是椭圆x2
25
＋y2
16
＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点
M 的坐标为(6,4)，则 PM＋PF1 的最大值为________．
15 [PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知 M 点
在椭圆外，连结 MF2 并延长交椭圆于 P 点(图略)，此时 PM－PF2 取最大值 MF2，
故 PM＋PF1 的最大值为 10＋MF2＝10＋ 6－32＋42＝15.]
3．已知点 M( 6， 2)在椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为 6
3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角
形，顶点为 P(－3,2)，求△PAB 的面积．
[解] (1)由已知得
6
a2
＋ 2
b2
＝1，
c
a
＝ 6
3
，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝12，
b2＝4.
故椭圆 C 的方程为x2
12
＋y2
4
＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)．
由
y＝x＋m，
x2
12
＋y2
4
＝1， 消去 y，整理得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则 x0＝x1＋x2
2
＝－3
4m，y0＝x0＋m＝1
4m，
即 D
－3
4m，1
4m .
因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边，
所以 PD⊥AB，即 PD 的斜率 k＝
2－m
4
－3＋3m
4
＝－1，解得 m＝2.
此时 x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· x1＋x22－4x1x2＝3 2.
又点 P 到直线 l：x－y＋2＝0 的距离为 d＝ 3
2
，
所以△PAB 的面积为 S＝1
2|AB|·d＝9
2.
4．(2017·苏州模拟)已知椭圆 C1：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为
A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 的一条直径，在 y 轴上截距
为 3－ 2的直线 l 与 AF 平行且与圆 C2 相切．
(1)求椭圆 C1 的离心率；
(2)若椭圆 C1 的短轴长为 8，求PM
→
·PN
→的最大值．
[解] (1)由题意，得 F(c,0)，A(0，b)，kAF＝－b
c
，
∵在 y 轴上截距为 3－ 2的直线 l 与 AF 平行，
∴直线 l：y＝－b
cx＋3－ 2，即 bx＋cy＋( 2－3)c＝0.
∵直线 l 与圆 C2 相切，∴ | 2c|
b2＋c2
＝1， 2c
a
＝1，e＝ 2
2
，
(2)∵椭圆 C1 的短轴长为 8，
∴2b＝8，b＝4.
∵a2＝b2＋c2， 2c
a
＝1，∴a＝ 2c,2c2＝b2＋c2，
∴c＝b＝4，a＝4 2，∴椭圆方程是x2
32
＋y2
16
＝1，设 P(x，y)，
∴PM
→
·PN
→＝(PC
→
2＋C2M
→
)·(PC2
→ ＋C2N
→
)
＝(PC2
→
)2＋PC2
→
·(C2M
→ ＋C2N
→
)＋C2M
→
·C2N
→
＝(PC2
→
)2＋C2M
→
·C2N
→ ＝x2＋(y－3)2－1＝32 1－y2
16 ＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋
40＝－(y＋3)2＋49，又 y∈[－4,4]，∴PM
→
·PN
→的最大值是 49.
