湖南师大附中2019届高三月考试卷（六）（教师版）+数学（理）
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)
数 学(理科)
命题人：贺仁亮 朱修龙 周艳军 黄钢
审题：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{4，2，a－1}，B＝{0，－2，a2＋1}，若A∩B＝{2}，则实数a满足的集合为(D)
A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．
2．已知复数z满足z＋＝3＋i，则z＝(D)
A．1－i B．1＋i C.－i D.＋i
3．下列说法正确的是(D)
A．命题“x0∈，使x－1≥0”的否定为“x∈，都有x2－1≤0”
B．命题“若向量a与b的夹角为锐角，则a·b>0”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角△ABC中，sin A
0”的逆命题为假命题，故B错误；
锐角△ABC中，A＋B>>A>－B>0，∴sin A>sin＝cos B，所以C错误，故选D.
4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(C)
A．90，86
B．94，82
C．98，78
D．102，74
【解析】执行程序框图，x＝86，y＝90，s≠27；x＝90，y＝86，s≠27；x＝94，y＝82，s≠27；x＝98，y＝78，s＝27，结束循环，输出的x，y分别为98，78，故选C.
5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f，c＝f则a，b，c的大小关系为(B)
A．a0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为____．
14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋f′x2－x，f(x)，则f′(1)＝__0__．
【解析】因为f(x)＝x3＋f′x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2f′x－1，
所以f′＝3＋2f′×－1，则f′＝－1，f(x)＝x3－x2－x，
则f′(x)＝3x2－2x－1，故f′(1)＝0.
15．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P－ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为____．
【解析】依题意，记三棱锥P－ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VP－ABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于h＝.又正△ABC的外接圆半径为r＝＝，因此R2＝r2＋＝，所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝.
16．已知在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝2，AC⊥CD，AC＝CD，则四边形ABCD的面积的最大值为__3＋__．
【解析】如图所示，
设∠ABC＝θ，θ∈(0，π)，则在△ABC中，由余弦定理得，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos θ＝6－4cos θ，
∴四边形ABCD的面积为S＝S△ABC＋S△ACD＝(AB·BC·sin θ＋AC·CD)，
化简得：S＝(2sin θ＋6－4cos θ)＝3＋(sin θ－2cos θ)＝3＋sin(θ－φ)，
其中tan φ＝2，当sin(θ－φ)＝1时，S取得最大值为3＋.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本题满分12分)
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1＝1，设bn＝＋2，n∈N*.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
【解析】(1)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减整理得an＋1－3an＝2n，2分
则－·＝1，
即＋2＝.∴bn＋1＝bn，(n≥2)，4分
当n＝1时，2S1＝a2－22＋1，且S1＝a1＝1，则a2＝5，
∴b1＝＋2＝3，b2＝＋2＝，满足b2＝b1，
∴bn＋1＝bn，(n∈N*)．
故数列{bn}是首项为3，公比为的等比数列，即bn＝3·.6分
(2)由(1)知bn＝＋2＝3，∴an＝3n－2n，
则＝，8分
当n≥2时，>2，即3n－2n>2n，
∴＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋<.11分
当n＝1时，＝1<，上式也成立．
综上可知，对一切正整数n，有＋＋…＋<.12分
18．(本题满分12分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角为θ，试求cos θ的取值范围．
【解析】(1)在梯形ABCD中，
因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，所以AB＝2，2分
所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以BC⊥AC.4分
因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，
BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.6分
(2)建立以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系如图所示，
令FM＝λ(0≤λ≤)，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，
所以＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1)，
设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，
由得
取x＝1，所以n1＝(1，，－λ)，9分
因为n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量．
所以cos θ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝0时，cos θ有最小值，
当λ＝时，cos θ有最大值.所以cos θ∈.12分
19．(本题满分12分)
如图，已知椭圆C1：＋y2＝1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．
(ⅰ)求证：OP⊥OM；
(ⅱ)试探究＋是否为定值．
【解析】(1)因为A2，B1分别为椭圆C1：＋y2＝1的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A2B1的方程为：x＋2y＝2.2分
则原点O到直线A2B1的距离为d＝＝，则圆C2的半径r＝d＝，
故圆C2的标准方程为x2＋y2＝.4分
(2)(i)可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，
将直线PM方程代入椭圆C1可得x2＋2kbx＋b2－1＝0，由韦达定理得：
则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，6分
又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d＝＝，整理可得k2＝b2－1，
则y1y2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝0，故OP⊥OM.8分
(ii)由OP⊥OM知S△OPM＝，
①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时＋＝；
②当直线OP的斜率存在时，设OP：y＝k1x代入椭圆方程可得＋kx2＝1，则x2＝，
故OP2＝x2＋y2＝(1＋k)x2＝，10分
同理OM2＝＝，
则＋＝＋＝.
综上可知：＋＝为定值.12分
20．(本题满分12分)
中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：
分数a
95≤a≤100
85≤a<95
75≤a<85
60≤a<75
a<60
人数
20
55
105
70
50
参加自主招生获得通过的概率
0.9
0.8
0.6
0.5
0.4
(1)填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计
(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
【解析】(1)列联表如下：
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
60
240
300
没有学习大学先修课程
140
1 560
1 700
总计
200
1 800
2 000
2分
等高条形图如图：
4分
通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K2＝≈39.216>6.635，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分
(2)①p＝×0.9＋×0.8＋×0.6＋×0.5＋×0.4＝0.6.8分
②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B，
P(x＝k)＝C，k＝0，1，2，…，150，10分
所以Eξ＝150×＝90.12分
21．(本题满分12分)
设函数f(x)＝－aln x－，a∈R.
(1)若函数f(x)在区间(e＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；
(2)若在[1，e](e＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f<－－x0－成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝x－＝，其中x∈[1，e]，
①当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．
②当a≥e2时，f′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分
③当10，f(x)单调递增，
∴当f(e)<0时符合题意，即－a－<0，
∴a>时，函数f(x)在区间[1，]上有唯一的零点；
∴a的取值范围是.6分
(2)在[1，e]上存在一点x0，使得f<－－x0－成立，等价于x0＋－aln x0＋<0
在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x＋－aln x＋在上的最小值小于零．
g′＝1－－－＝＝，8分
①当a＋1≥e时，即a≥e－1时，g在上单调递减，所以g的最小值为g，由g＝e＋－a<0可得a>，∵>e－1，∴a>；
②当a＋1≤1时，即a≤0时，g在上单调递增，所以g的最小值为g，由g＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分
③当12，所以g<0不成立．
综上所述：可得所求a的取值范围是(－∞，－2)∪.12分
(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为(θ为参数)．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R)与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．
【解析】(1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝22，
由得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分
(2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，
设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝2sin，
由|OM|＝||，得|OM|＝≤，
当α＝时，|OM|取最大值.10分
23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲
已知函数f＝＋.
(1)当a＝1时，求不等式f≥7的解集；
(2)若f≤＋的解集包含，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时， f＝
当x≤－1时，由f≥7得－2x＋1≥7，解得x≤－3；
当－1
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