2014-2018年五年真题分类选修4-5不等式选讲
选修4-5 不等式选讲
1.(2015·重庆，16)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.
1.4或－6 [由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝-1或x＝a时取得,若f(-1)＝2|－1-a|＝5,a＝或a＝－，经检验均不合适；若f(a)＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.]
2.(2014·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.
2.{x|x≤－3或x≥2} [原不等式等价于
或或
解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.]
3.(2014·湖南，13)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
3.－3 [依题意，知a≠0.|ax－2|<3⇔－3
0时，不等式的解集为，从而有此方程组无解.
当a<0时，不等式的解集为，从而有解得a＝－3.]
4.(2014·重庆，16)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
4. [令f(x)＝|2x-1|＋|x+2|,易求得f(x)min＝,依题意得a2+a+2≤⇔-1≤a≤.]
5．（2018全国Ⅰ，23）[选修4–5：不等式选讲]
已知f(x)=x+1−ax−1.
(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.
5.（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=-2,x≤-1,2x,-11的解集为{x|x>12}．
（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
若a>0，|ax-1|<1的解集为02.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．
（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2，所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．
7．（2018全国Ⅲ，23）[选修4—5：不等式选讲]
设函数fx=2x+1+x−1．
（1）画出y=fx的图像；
（2）当x∈0 ， +∞，fx≤ax+b，求a+b的最小值．
7.（1）f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1. y=f(x)的图像如图所示．
（2）由（1）知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立，因此a+b的最小值为5．
8.（2018江苏，21D）[选修4—5：不等式选讲]
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
8.证明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2．
因为x+2y+2z=6，所以x2+y2+z2≥4，
当且仅当x1=y2=z2时，不等式取等号，此时x=23 ，y=43 ，z=43，
所以x2+y2+z2的最小值为4．
点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
9.（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）
(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
9.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
10.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：
（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；
（Ⅱ）a+b≤2．
10.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当 = ，即a=b=1时取等号，
（Ⅱ）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴ =ab，
由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ，
∴（a+b）3﹣2≤ ，
∴ （a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
11.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．
11.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．
（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）= ，
当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）=﹣ + ﹣1= ；
当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；
综上，g（x）max= ，
∴m的取值范围为（﹣∞， ]．
12.（2017•江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
12. 证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．
因此ac+bd≤8．
13.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
13.解(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示.
(2)当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
14.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.
14.解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).
15.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
15.(1)解 f(x)＝
当x≤－时,由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1,所以,-10.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
17.解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a＋1,0),C(a,a+1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).
18.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
18.证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.
19.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0).
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围.
19.(1)证明 由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3
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