数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考(2017

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数学文卷·2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考(2017

衡阳市八中2017届高三第六次月考试卷 文科数学 命题人:孙艳红 刘亮生 审题人:王美蓉 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知集合,则=( )‎ A B C D ‎ ‎2.在复平面内,复数满足,则的共轭复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知命题:“”的否定是“”;命题:函数有三个零点,则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列函数中,既是偶函数又在区间上为增函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(    ) A. B. C. D.‎ ‎6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B.2 ‎ C.4 D.6‎ ‎7.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴为( )‎ A.. B. C. D.‎ ‎8.等差数列中,,则( ) ‎ ‎ ‎ ‎9.若向量满足,的夹角为,则在向量上的投影等于( )‎ A. B.2 C . D ‎ ‎10.若长方体中,,分别与底面所成的角为,,则长方体的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.数列满足与(与分别表示的整数部分与小数部分,如,),则( )‎ A. B.[ ] C. D.‎ ‎12.已知函数,若与同时满足条件:①;②,则实数a的取值范围是( )‎ A.(-,-1)(,2) B.(-,-1)(0,)(,2)‎ C.(-,0)(,2) D.(-,0)(0,)(,2)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为 ‎ ‎14.若直线被圆截得的弦长为4,则 的最小值为 ‎ ‎15.设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线 的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 .‎ ‎16.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)已知数列的通项公式为,.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)设,求的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知函数 ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)在中,内角A,B,C的对边分别为,已知,成等差数列,且,求边的值.‎ A B C D E F G H ‎19.(本小题满分12分)如图,平行四边形中,,,且,正方形和平面成直二面角,是的中点.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)求证:平面.‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)若在上的最大值是,求的值;‎ ‎(3)记,当时,若对任意,总有成立,试求的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆,其中为左、右焦点,且离心率,直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时,原点O到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若,当面积为时,‎ 求 的最大值.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(,为参数),曲线的极坐标方程为. (Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点,为曲线上一点,求的最小值.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若,恒成立,求实数的取值范围.‎ 衡阳市八中2017届高三第六次月考试卷 文科数学 命题人:孙艳红 刘亮生 审题人:王美蓉 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知集合,则=( )C A B C D ‎ ‎2.在复平面内,复数满足,则的共轭复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】A 试题分析:因为, 所以,的共轭复数为,则的共轭复数对应的点位于第一象限,故选A.‎ ‎3.已知命题:“”的否定是“”;命题:函数有三个零点,则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ 解析:P假q真,选B ‎4.下列函数中,既是偶函数又在区间上为增函数的是( )D A. B. C. D. ‎ ‎5.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(   ).C A. B. C. D.‎ ‎6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B.2 ‎ C.4 D.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由三视图知该几何体是四棱锥,如图,则.故选B.‎ ‎7.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴为( )D A. B. C. D.‎ ‎8.等差数列中,,则( ) ‎ ‎ ‎ ‎9.若向量满足,的夹角为,则在向量上的投影等于( )‎ A. B.2 C . D ‎ 解析:以a,b为邻边作菱形ABCD 投影为=‎ ‎10.若长方体中,,分别与底面所成的角为,,则长方体的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A 试题分析:依题意可求得,则长方体的体对角线长为.易知长方体的体对角线长即为外接球的直径,所以,所以长方体的外接球的体积为.选A.‎ 考点:多面体与其外接球的关系.‎ ‎11.数列满足与(与分别表示的整数部分与分数部分),则( )A A. B. C. D.‎ 所以 ‎12.已知函数,若与同时满足条件:①;②,则实数a 的取值范围是( )‎ A、(-,-1)(,2) ‎ B、(-,-1)(0,)(,2)‎ C、(-,0)(,2) ‎ D、(-,0)(0,)(,2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:如图1,由的图象可知,当时,,‎ 为满足条件①,可得在上恒成立;为满足条件②,由于在上总有,故,;‎ 当时,,不满足条件;‎ 当时,考虑函数的零点,;‎ 当时,,为满足条件得解得;‎ 当时,‎ ‎(ⅰ)当时,,为满足条件,得 解得,;‎ ‎(ⅱ)当时,,为满足条件,得解得,;‎ ‎(ⅲ)当时,,不满足条件.‎ 综上所述,得,故选B.‎ 考点:分段函数图象、二次函数的图象和性质.‎ ‎【思路点睛】先画出分段函数的图象,结合条件①,得在上恒成立,由条件②得,,对a是否得0进行讨论,当时,恒等于0,不符合题意,当时,分和 进行讨论,根据二次函数的图象讨论方程根的位置.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为 ‎ 解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).‎ 由z=x+2y,得y=-x+z,z的几何意义是直线y=-x+z在y轴上的截距,要使z最小,需使z最小,易知当直线y=-x+z过点A(1,1)时,z最小,最小值为3‎ ‎14.若直线被圆截得的弦长为4,则的最小值为 ‎ 解:圆的方程为,故直线过圆心,-2a-2b+2=0,a+b=1‎ ‎15.设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 .‎ ‎【答案】‎ 该题考查了函数的求导公式的应用,奇函数的概念,注重导数的几何意义,从而引导学生要注重基础知识,基本概念.‎ ‎16.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与 的一个交点,若,则= ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)已知数列的通项公式为,.‎ ‎(1)求数列的前项和;‎ ‎(2)设,求的前项和.‎ ‎【答案】(1)因为,所以,所以是首项为,公差为的等差数列.所以.………………6分 ‎(2)因为,‎ 所以 ‎.………………12分 考点:1、等差数列及其性质;2、数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知函数 ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)在中,内角A,B,C的对边分别为,已知,‎ 成等差数列,且,求边的值.‎ ‎【答案】(1)‎ 令 的单调递增区间为…………6分 ‎(2)由,得∵,∴,∴由b,a,c成等差数列得2a=b+c∵,∴,∴‎ 由余弦定理,得 ‎∴,∴…………………12分 考点:(1)三角函数的单调性;(2)等差数列,向量的数量积定义,余弦定理.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,平行四边形中,,,且,正方形和平面成直二面角,是的中点.‎ A B C D E F G H ‎(1)求证:.‎ ‎(2)求证:平面.‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明:∵四边形ADEF为正方形 ∴‎ A B C D E F G H 又∵平面平面,交线为,∴∴又∵ ∴………………4分 ‎(2)证明:连结,则是的中点 ‎∴中, 又∵‎ ‎∴ ∴平面 ………………8分 ‎(3)解:设中边上的高为 依题意: ∴即:点到平面的距离为∴ ………………12分 考点:1.线面垂直的判定定理;2.线面平行的判定定理;3.体积公式.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)若在上的最大值是,求的值;‎ ‎(3)记,当时,若对任意,总有成立,试求的最大值.‎ ‎【答案】(1)的定义域是..,则(舍去); 当时,,故在上是增函数;当时,,故在上是减函数. ………………4分 ‎(2)①当时,在上是增函数; 故在上的最大值是 ,显然不合题意. ②若, 即时, ,则在上是增函数,故在上的最大值是 ,不合题意,舍去.③ 若, 即时,在上是增函数 ,在上是减函数,故在上的最大值是 , 解得,符合. 综合①、②、③得: .………………8分 ‎(3), 则,当时,,故时,当在上是减函数,不妨设,则,故等价于,即,记,从而在上为减函数,由得:,故恒成立,,又在上单调递减,,.故当时,的最大值为.………………12分.‎ 考点:分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆,其中为左、右焦点,且离心率,直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时,原点O到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若,当面积为时,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)因为直线的倾斜角为,,所以,直线的方程为,‎ 由已知得,所以.又,所以,,‎ 椭圆的方程 . ………………4分 ‎(2)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,两点关于轴对称,则,‎ 由在椭圆上,则,而,则 知=. ………………5分 ‎(ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线为,代入可得 ‎,即,由题意,即.. ………………7分 ‎,, …………8分 化为,,‎ 即.则,满足, ………………9分 由前知,,‎ ‎.‎ ‎ ………………11分,当且仅当,即时等号成立,故.综上可知的最大值为. ………………12分 考点:椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的参数方程为(,为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上一点,为曲线上一点,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)由消去参数,得曲线的普通方程为 由得,曲线的直角坐标方程为 ‎(2)设,则点到曲线的距离为 当时,有最小值,所以的最小值为.‎ 考点:1.极坐标方程;2.参数方程.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)由题意得,当时,不等式化为,解得,∴,当时,不等式化为,解得,∴,当时,不等式化为,解得,∴,综上,不等式的解集为.‎ ‎(2)由(1)得,解得,综上,的取值范围为.‎ 考点:1.绝对值的意义;2.含绝对值不等式的解法;3.函数与不等式;4.分段函数的表示.‎
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