高中数学 3章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 ‎ (考试时间90分钟，满分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，则x＋y等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D．2‎ 解析：　∵a∥b，∴x＝2y＝，‎ ‎∴x＝，y＝.‎ ‎∴x＋y＝.‎ 答案：　B ‎2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．－2‎ 解析：　a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，‎ 因为(a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1)‎ ‎＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，‎ 所以λ＝－2.‎ 答案：　D ‎3．若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为，则z等于(　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．2‎ 解析：　由题知＝，‎ ＝，‎ ‎1＝，∴z＝0.‎ 答案：　A ‎4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)‎ A.，，－1 B.，，1‎ C．－，，1 D.，－，1‎ 解析：　d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e3)‎ ‎＋z(e1－e2)．‎ ‎∴∴ 答案：　A ‎5．若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：　∵u＝－‎2a，∴u∥a，‎ ‎∴l⊥α，故选B.‎ 答案：　B ‎6．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：　如图，‎ ＝＋＋ ‎＝＋－，‎ 所以x＝1,2y＝1,3z＝－1，‎ 所以x＝1，y＝，z＝－，‎ 因此x＋y＋z＝1＋－＝.‎ 答案：　B ‎7．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1‎ 所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．‎ ‎∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)．‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.故选C.‎ 答案：　C ‎8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，‎ D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(　　)‎ A．60° B．45°‎ C．30° D．90°‎ 解析：　设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量．‎ ‎∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，‎ ‎∴∴ ‎∴n＝.‎ 又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.故选C.‎ 答案：　C ‎9．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　‎ 以点D为原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．‎ 又可以证明A‎1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.故选B.‎ 答案：　B ‎10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A‎1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　因为A1B1∥EF，G在A1B1上，‎ 所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，‎ 即是A1到D1E的距离，D1E＝，‎ 由三角形面积可得所求距离为＝.故选D.‎ 答案：　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.‎ 解析：　因为a－2b＝(8，－5,13)，‎ 所以|a－2b|＝＝.‎ 答案：　 ‎12．设a＝(2，－3,1)，b＝(－1，－2,5)，d＝(1,2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝10，则c＝________.‎ 解析：　设c＝(x，y，z)，‎ 根据题意得 解得 答案：　 ‎13．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．‎ 解析：　‎ 以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，‎ 所以＝(－4,3,0)，‎ ＝，‎ 所以在AB上的投影长为＝，‎ 所以P到AB的距离为 d＝＝＝3.‎ 答案：　3‎ ‎14．平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则·＝________.‎ 解析：　＝＋＋，＝＋＋，‎ ·＝(＋＋)·(＋＋)‎ ‎＝(＋＋)·(－＋)‎ ‎＝·－||2＋·＋||2－·＋·＋·－·＋||2‎ ‎＝2×1×cos 60°－4＋1－2×1×cos 60°＋1×2×cos 60°×2＋4＝3.‎ 答案：　3‎ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)‎ 如图所示，已知ABCD－A1B‎1C1D1是平行六面体．‎ ‎(1)化简＋＋，并在图上标出结果；‎ ‎(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，‎ 设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．‎ 解析：　‎ ‎(1)如图所示，取AA1的中点E，在D‎1C1上取一点F，使得D‎1F＝2FC1，则 ＝＋＋.‎ ‎(2)＝＋＝＋ ‎＝(＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＋.‎ ‎∴α＝，β＝，γ＝.‎ ‎16．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4.求点B到平面PCD的距离．‎ 解析：　如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ 则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，‎ P(0,0,2)，‎ ＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(4,0,0)，‎ 设面PCD的一个法向量为n＝(x，y,1)，‎ 则⇒⇒ 所以面PCD的一个单位法向量为＝，‎ 所以＝＝，‎ 则点B到平面PCD的距离为.‎ ‎17．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点．‎ ‎(1)求直线BE和平面ABB‎1A1所成的角的正弦值；‎ ‎(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B‎1F∥平面A1BE？证明你的结论．‎ 解析：　设正方体的棱长为1，如图所示，‎ 以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．‎ ‎(1)依题意，得B(1,0,0)，‎ E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，‎ 所以＝，＝(0,1,0)，‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ 因为AD⊥平面ABB‎1A1，‎ 所以是平面ABB‎1A1的一个法向量，‎ 设直线BE和平面ABB‎1A1所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝＝.‎ 即直线BE和平面ABB‎1A1所成的角的正弦值为.‎ ‎(2)依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1，)，‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，‎ 则由n·＝0，n·＝0，‎ 得，‎ 所以x＝z，y＝z.‎ 取z＝2，得n＝(2,1,2)．‎ 设F是棱C1D1上的点，‎ 则F(t,1,1)(0≤t≤1)．‎ 又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)，‎ 面B‎1F⊄平面A1BE，‎ 于是B‎1F∥平面A1BE⇔·n＝0‎ ‎⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0‎ ‎⇔2(t－1)＋1＝0‎ ‎⇔t＝⇔F为C1D1的中点．‎ 这说明在棱C1D1上存在点F使B‎1F∥平面A1BE.‎ ‎18．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.‎ ‎(1)求证：CD＝C1D；‎ ‎(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；‎ ‎(3)求点C到平面B1DP的距离．‎ 解析：　如图，以A1为原点，A1B1，A‎1C1，A‎1A所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)．‎ ‎(1)证明：设C1D＝x，∵AC∥PC1，‎ ‎∴＝＝.‎ 由此可得D(0,1，x)，P.‎ ‎∴＝(1,0,1)，＝(0,1，x)，＝.‎ 设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，‎ 令c＝－1，得n1＝(1，x，－1)．‎ ‎∵PB1∥平面BDA1，‎ ‎∴n1·＝1×(－1)＋x·＋(－1)×0＝0.‎ 由此可得x＝.故CD＝C1D.‎ ‎(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝.‎ 又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，‎ ‎∴cos〈n1·n2〉＝＝＝.‎ 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.‎ ‎(3)∵＝(1，－2,0)，＝，‎ 设平面B1DP的一个法向量为n3＝(a1，b1，c1)．‎ 令c1＝1，可得n3＝.‎ 又＝，‎ ‎∴C到平面B1DP的距离d＝＝.‎