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文档介绍
2018届二轮复习配方法与待定系数法课件(江苏专用)
专题 11 数学方法 第 1 讲 配方法与待定系数法 配方法是对数学式子进行一种定向变形 ( 配成 “ 完全平方 ” ) 的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简 . 如何配方,需要我们根据题目的要求,合理运用 “ 裂项 ” 与 “ 添项 ” 、 “ 配 ” 与 “ 凑 ” 的技巧,完全配方 . 配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一 . 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程 . 使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解 , 题型 分析 高考 展望 主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解 . 例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解 . 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 安徽 ) 已知数列 { a n } 是递增的等比数列, a 1 + a 4 = 9 , a 2 a 3 = 8 ,则数列 { a n } 的前 n 项和等于 ________. 解析 由等比数列性质知 a 2 a 3 = a 1 a 4 ,又 a 2 a 3 = 8 , a 1 + a 4 = 9 , 又数列 { a n } 为递增数列, ∴ a 1 = 1 , a 4 = 8 ,从而 a 1 q 3 = 8 , ∴ q = 2. 2 n - 1 1 2 3 4 解析答案 解析 由题意知圆过 (4,0) , (0,2) , (0 ,- 2) 三点, (4,0) , (0 ,- 2) 两点的垂直平分线方程为 y + 1 =- 2( x - 2) , 1 2 3 4 解析答案 3.(2015· 浙江 ) 已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b ( a , b ∈ R ) ,记 M ( a , b ) 是 | f ( x )| 在区间 [ - 1,1] 上的最大值 . (1) 证明:当 | a | ≥ 2 时, M ( a , b ) ≥ 2 ; 1 2 3 4 所以 M ( a , b ) = max{| f (1)| , | f ( - 1)|}. 当 a ≥ 2 时,由 f (1) - f ( - 1) = 2 a ≥ 4 , 得 max{ f (1) ,- f ( - 1)} ≥ 2 ,即 M ( a , b ) ≥ 2. 当 a ≤ - 2 时,由 f ( - 1) - f (1) =- 2 a ≥ 4 , 得 max{ f ( - 1) ,- f (1)} ≥ 2 ,即 M ( a , b ) ≥ 2. 综上,当 | a | ≥ 2 时, M ( a , b ) ≥ 2. 1 2 3 4 解析答案 (2) 当 a , b 满足 M ( a , b ) ≤ 2 时,求 | a | + | b | 的最大值 . 解 由 M ( a , b ) ≤ 2 得 |1 + a + b | = | f (1)| ≤ 2 , |1 - a + b | = | f ( - 1)| ≤ 2 , 故 | a + b | ≤ 3 , | a - b | ≤ 3. 当 a = 2 , b =- 1 时, | a | + | b | = 3 ,且 | x 2 + 2 x - 1| 在 [ - 1,1] 上的最大值为 2. 即 M (2 ,- 1) = 2. 所以 | a | + | b | 的最大值为 3. 1 2 3 4 解析答案 4.(2015· 湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,等比数列 { b n } 的公比为 q ,已知 b 1 = a 1 , b 2 = 2 , q = d , S 10 = 100. (1) 求数列 { a n } , { b n } 的通项公式; 1 2 3 4 解析答案 返回 高考 必会题型 题型一 配方法 解析 答案 又 ∵ x ∈ [2,8] , ∴ a ∈ (0,1). ∵ f ( x ) 是关于 log a x 的二次函数, ∴ 函数 f ( x ) 的最大值必在 x = 2 或 x = 8 处取得 . 解析 解析答案 (2) 函数 y = cos 2 x + 2sin x 的最大值为 ________. 解析 y = cos 2 x + 2sin x = 1 - 2sin 2 x + 2sin x =- 2(sin 2 x - sin x ) + 1 因为- 1 ≤ sin x ≤ 1 , 解析答案 点评 = x 2 - 6 x + 10 = ( x - 3) 2 + 1 , ∴ 此时点 P 坐标为 (3,0). (3,0) 点评 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ,具体操作时通过加上一次项系数一半的平方,配凑成完全平方式,注意要减去所添的项,最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方 . 它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题 . 点评 解析 答案 因为函数 f ( x ) 的值域为 [ a , b ] , 解析 解析 答案 解析 令 t = sin x , t ∈ [ - 1,1] , 解析 得 a =- 2 或 a = 3( 舍去 ). [ - 6,1] 解析 答案 解析 由题意知, 2 b = (2 m , m + 2sin α ) , 所以 λ + 2 = 2 m ,且 λ 2 - cos 2 α = m + 2sin α , 于是 2 λ 2 - 2cos 2 α = λ + 2 + 4sin α , 即 2 λ 2 - λ =- 2sin 2 α + 4sin α + 4 =- 2(sin α - 1) 2 + 6 , 故- 2 ≤ 2 λ 2 - λ ≤ 6 , 题型二 待定系数法 解析答案 解析 ∵ 向量 a , b 不平行 , ∴ a + 2 b ≠ 0 ,又向量 λ a + b 与 a + 2 b 平行 , 则 存在唯一的实数 μ ,使 λ a + b = μ ( a + 2 b ) 成立,即 λ a + b = μ a + 2 μ b , 点评 解析答案 返回 点评 解 假设存在 a , b , c 使得等式成立, 解析答案 令 n = 3 ,得 70 = 9 a + 3 b + c , 点评 解析答案 下面用数学归纳法证明,对任意自然数 n ,该等式都成立 . 假设对 n = k 时等式成立, 即 1·2 2 + 2·3 2 + … + k ( k + 1) 2 当 n = k + 1 时, 1·2 2 + 2·3 2 + … + k ( k + 1) 2 + ( k + 1)( k + 2) 2 点评 也就是说,等式对 n = k + 1 也成立 . 综上所述,当 a = 3 , b = 11 , c = 10 时, 题设的等式对一切自然数 n 都成立 . 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题是含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决 . 点评 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 数列 { a n } 中,如果存在 a k ,使得 a k > a k - 1 且 a k > a k + 1 成立 ( 其中 k ≥ 2 , k ∈ N * ) ,则称 a k 为数列 { a n } 的峰值,若 a n =- 3 n 2 + 15 n - 18 ,则 { a n } 的峰值为 ________. 所以当 n = 2 或 n = 3 时, a n 取最大值, 最大值为 a 2 = a 3 = 0 , 故峰值为 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. f ( x ) 为二次函数且 f (0) = 3 , f ( x + 2) - f ( x ) = 4 x + 2 ,则 f ( x ) 的解析式为 ________________. 解析 设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ,又 f (0) = c = 3 , ∴ f ( x ) = ax 2 + bx + 3 , ∴ f ( x + 2) - f ( x ) = a ( x + 2) 2 + b ( x + 2) + 3 - ( ax 2 + bx + 3) = 4 ax + 4 a + 2 b = 4 x + 2. ∴ f ( x ) = x 2 - x + 3. f ( x ) = x 2 - x + 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 a 为正的常数 ,所以 a ≤ [2( t + 1) 2 ] min = 8 , 故 a 的最大值是 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 方法一 对于任意 x , y ∈ R , | b - ( x e 1 + y e 2 )| ≥ | b - ( x 0 e 1 + y 0 e 2 )| = 1( x 0 , y 0 ∈ R ) , 说明 当 x = x 0 , y = y 0 时, | b - ( x e 1 + y e 2 )| 取得最小值 1. | b - ( x e 1 + y e 2 )| 2 = | b | 2 + ( x e 1 + y e 2 ) 2 - 2 b ·( x e 1 + y e 2 ) = | b | 2 + x 2 + y 2 + xy - 4 x - 5 y ,要使 | b | 2 + x 2 + y 2 + xy - 4 x - 5 y 取得最小值,需要把 x 2 + y 2 + xy - 4 x - 5 y 看成关于 x 的二次函数 , 即 f ( x ) = x 2 + ( y - 4) x + y 2 - 5 y ,其图象是开口向上的抛物线, 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 已知函数 f ( x ) =- x 2 + ax + b 2 - b + 1( a ∈ R , b ∈ R ) ,对任意实数 x 都有 f (1 - x ) = f (1 + x ) 成立,若当 x ∈ [ - 1,1] 时, f ( x )>0 恒成立,则 b 的取值范围是 _____________ _ ________. 解析 由于对任意实数 x 都有 f (1 - x ) = f (1 + x ) 成立, 则 f ( x ) 的对称轴为 x = 1 ,所以 a = 2 , f ( x ) =- x 2 + 2 x + b 2 - b + 1 =- ( x - 1) 2 + b 2 - b + 2 , 则 f ( x ) 在区间 [ - 1,1] 上单调递增, 当 x ∈ [ - 1,1] 时,要使 f ( x )>0 恒成立, 只需 f ( - 1)>0 ,即 b 2 - b - 2>0 ,则 b < - 1 或 b >2. ( - ∞ ,- 1) ∪ (2 ,+ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7.(2015· 陕西 ) 若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2 - y 2 = 1 的一个焦点,则 p = ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 则该双曲线的方程为 3 x 2 - y 2 = 1. 3 x 2 - y 2 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解 ∵ f ( x ) 是 定义域为 R 的奇函数, ∴ f (0) = 0 , ∴ k - 1 = 0 ,即 k = 1. ∴ g ( x ) = 2 2 x + 2 - 2 x - 4(2 x - 2 - x ) = (2 x - 2 - x ) 2 - 4(2 x - 2 - x ) + 2. 令 t ( x ) = 2 x - 2 - x ( x ≥ 1) , 则 t ′ ( x ) = 2 x ln 2 + 2 - x ln 2 > 0 , ∴ t ( x ) 在 [1 ,+ ∞ ) 上为增函数, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ 原函数变为 w ( t ) = t 2 - 4 t + 2 = ( t - 2) 2 - 2 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) 求椭圆 E 的离心率 e ; 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又点 T 在直线 AB 上,且 k NS · k AB =- 1 , 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (1) 求实数 m 的取值范围; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求 △ AOB 面积的最大值 ( O 为坐标原点 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 设 △ AOB 的面积为 S ( t ) , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = 2 a n + ( - 1) n ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } 的前三项 a 1 , a 2 , a 3 ; 解 在 S n = 2 a n + ( - 1) n ( n ∈ N * ) 中分别令 n = 1,2,3 , 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 由 S n = 2 a n + ( - 1) n ( n ∈ N * ) 得, S n - 1 = 2 a n - 1 + ( - 1) n - 1 ( n ≥ 2) ,两式相减得 a n = 2 a n - 1 - 2( - 1) n ( n ≥ 2) , 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12查看更多