2018-2019学年山西省吕梁市柳林县高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年山西省吕梁市柳林县高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省吕梁市柳林县高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知直线a、b，平面α、β，则a∥α的一个充分条件是（　 　）‎ A．a∥β，β∥α B．a⊥b，b⊥α C．a∥b，b∥α，a⊄α D．b⊂α，a∥b ‎【答案】C ‎【解析】根据空间直线，平面的位置关系逐项判断即可．‎ ‎【详解】‎ A：a∥β，β∥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．‎ B：a⊥b，b⊥α，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．‎ C：由线面平行的判定定理知，正确．‎ D：b⊂α，a∥b，则a与平面α平行或在平面α内，不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及线面平行的判定定理，蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属基础题 ‎2．设语句p：x＝2，非q：x2﹣3x+2＝0，则下列语句为真命题的是（　　 ）‎ A．p或q B．P且q C．若非p，则q D．若q，则非p ‎【答案】D ‎【解析】根据p，q，分别判断复合命题的真假即可．‎ ‎【详解】‎ 关于语句p：x＝2；语句非p：x≠2；‎ 非q：x2﹣3x+2＝0，即x＝1或x＝2；则q：x2﹣3x+2≠0，即x≠1且x≠2，‎ A，命题p或q：x＝2或x≠1且x≠2是假命题，‎ B，命题p且q：x＝2且x≠1且x≠2是假命题，‎ C，命题若非p，则q：若x≠2，则x＝1或x＝2；假命题；‎ D，命题若q，则非p：若x≠1且x≠2，则x≠2；真命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的否定，复合命题的判断，是一道基础题．‎ ‎3．如果命题”p或非q”与命题“非p“都是真命题，那么（　 　）‎ A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q不一定是假命题 D．命题p与命题q的真假性相同 ‎【答案】D ‎【解析】根据命题真假的判定，p为真，则￢p是假，p∨q有一真就真．‎ ‎【详解】‎ ‎“非p”是真命题，所以p是假命题，”p或非q”是真命题，所以非q是真命题，q是假命题．‎ ‎∴A、B、C均为假命题；‎ D．故命题p与命题q的真假性相同，真命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真假判断的真值表是解答本题的关键．属于基础题．‎ ‎4．给出四个命题：①若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2；②若x＝y＝0，则x2+y2＝0；③已知x，y∈N，若x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数；④若x1，x2是方程x2﹣2x+2＝0的两根，则x1，x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率，那么（　 　）‎ A．③的否命题为假 B．①的逆否命题为假 C．②的逆命题为真 D．④的逆否命题为假 ‎【答案】C ‎【解析】判断命题①的真假，得逆否命题的真假判断B；写出命题②的逆命题并判断真假判断C；写出命题③的否命题并判断真假判断A；写出④的逆否命题并判断真假判断D．‎ ‎【详解】‎ 对于①，若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2，是真命题；所以其逆否命题是真命题，原因是x＝1，x＝2是方程的两根；故B错误；‎ 对于②，若x＝y＝0，则x2+y2＝0的逆命题为：若x2+y2＝0，则x＝y＝0，是真命题，故C正确；‎ 对于③，已知x，y∈N，若x+y是奇数，则x，y 中一个是奇数，一个偶数的逆命题为：已知x，y∈N，若x，y中一个是奇数，一个偶数，则x+y是奇数，为真命题；‎ ‎∵一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，共真假，∴原命题的否命题也是真命题；故A错误；‎ 对于④，方程x2﹣2x+2＝0的两根，则x1，x2可以是一椭圆与一双曲线的离心率，‎ ‎∴命题若x1，x2是方程x2﹣2x+2＝0的两根，则x1＝，x2＝，可以是一椭圆与一双曲线的离心率为真命题，则其逆否命题也为真命题．故D错误；‎ 综上可知，C正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查了原命题、逆命题、否命题、逆否命题的写法与真假判断，是中档题．‎ ‎5．椭圆5x2+ky2＝5的一个焦点是（0，3），那么k等于（　 　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把椭圆5x2+ky2＝5的方程化为标准形式，得到 c2的值等于4，解方程求出k．‎ ‎【详解】‎ 椭圆5x2+ky2＝5 即 x21，‎ ‎∵焦点坐标为（0，3），c2＝9，‎ ‎∴9，∴k，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值．是基础题．‎ ‎6．椭圆的长轴长是短轴长的3倍，那么这个椭圆的离心率为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据长轴长是短轴长的3倍确定a与b的关系，进而根据椭圆a，b，c 的关系a2＝b2+c2可表示出c，再由离心率公式求解得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a＝3b ‎∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），‎ ‎∴9c2＝8a2，‎ ‎∴e．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的计算，属基础题．‎ ‎7．若抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（　　 ）‎ A．（） B．（） C．（） D．（，±）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，再由抛物线定义可得PO＝PF，由此求得P的横坐标，代入抛物线方程得答案．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 由抛物线方程可得，其焦点F（1，0），‎ 再由抛物线定义及已知可得，PO＝PF，‎ ‎∴P的横坐标为，代入抛物线方程可得：y2＝4x，则y．‎ ‎∴P点坐标为（，），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎8．椭圆b2x2+a2y2＝a2b2（a＞b＞0）的两个焦点分别是F1、F2，等边三角形的边AF1、AF2与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|＝|F1F2|，则该椭圆的离心率等于（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由△AF1F2为正三角形可得∠AF1F2＝∠A＝60°，则可求直线AF1，AF2的斜率，进而可求B点坐标，代入椭圆的方程，结合b2＝a2﹣c2及0＜e＜1可求离心率．‎ ‎【详解】‎ 由△AF1F2为正三角形可得∠AF1F2＝∠AF2F1＝60°‎ 则直线AF1，AF2的斜率分别为 ，‎ 则直线AF1，AF2所在的直线方程分别为y，y，‎ 其交点A（0，c），由于2|BC|＝|F1F2|，得BC是三角形的中位线，得B是AF1的中点，‎ 从而AF1中点B（ ，）在椭圆上，代入椭圆的方程可得 ‎ 整理可得，c2（a2﹣c2）+3c2a2＝4a2（a2﹣c2）‎ ‎∴4a4﹣8a2c2+c4＝0‎ 两边同时除以a4可得，e4﹣8e2+4＝0‎ ‎∵0＜e＜1‎ ‎∴，（舍）‎ ‎∴‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用，考查计算能力和数形结合思想．‎ ‎9．当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0所表示的曲线是（　　 ）‎ A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线 C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】化简方程，然后判断表示的曲线即可．‎ ‎【详解】‎ 当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0即ay2﹣ax2＝b化简得，‎ 即：方程表示双曲线．焦点坐标在x轴上；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎10．函数f（x）＝x3+x+1在点（1，3）为切点的切线方程为（　 　）‎ A．4x﹣y﹣1＝0 B．4x+y﹣1＝0 C．4x﹣y+1＝0 D．4x+y+1＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出导函数，将x＝1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y＝x3+x+1，‎ ‎∴y′＝3x2+1‎ 令x＝1得切线斜率4，‎ ‎∴切线方程为y﹣3＝4（x﹣1），‎ 即4x﹣y﹣1＝0‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．‎ ‎11．函数的图象如图，则函数的单调增区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由图象知，先对函数进行求导，根据x=-2，x=3时函数取到极值点知，由一元二次方程根与系数关系可得：，再根据函数二次函数的性质可得解．‎ 详解：∵，∴‎ 由图可知，且 由一元二次方程根与系数关系可得：，即 ‎∴，为开口向下的抛物线，对称轴为：.‎ ‎∴函数的单调增区间是.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查了函数导数与函数单调性的关系，属于中档题.‎ ‎12．已知函数则的单调减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：对函数求导得，单调减区间即，解得．‎ ‎【考点】利用导数解决函数的单调性问题．‎ 二、填空题 ‎13．命题“存在实数x、y，使得2x+3y≥2”，用符号表示为_____；此命题的否定是_____（用符号表示）是_____（选填“真”或“假”）命题．‎ ‎【答案】“∃x，y∈R，2x+3y≥2 ∀x，y∈R，2x+3y＜2 假 ‎ ‎【解析】直接写出答案即可．‎ ‎【详解】‎ ‎“存在实数x、y，使得2x+3y≥2”，用符号表示为“∃x，y∈R，2x+3y≥2”，其否定是“∀x，y∈R，2x+3y＜2”，显然是假命题．‎ 故答案为：“∃x，y∈R，2x+3y≥2；∀x，y∈R，2x+3y＜2；假．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简易逻辑，考查特称命题及其否定形式，属于基础题．‎ ‎14．已知F1、F2是双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|＝_____．‎ ‎【答案】22或2‎ ‎【解析】求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，解方程可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 双曲线y2＝1的a＝2，b＝1，c，‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a＝4，①‎ 在△PF1F2中，∠F1PF2＝60°，‎ 可得4c2＝m2+n2﹣2mncos60°＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn，‎ 即为mn+16＝20，即mn＝4，②‎ 由①②解得m＝22或2，‎ 故答案为：22或2..‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的余弦定理的运用，方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎15．若椭圆1（m＞n＞0）的离心率为，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】利用椭圆1（m＞n＞0）的离心率为，可得4n＝3m，利用焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，求出m，n，即可求出mn．‎ ‎【详解】‎ 由已知椭圆1（m＞n＞0）的离心率为，得，所以4n＝3m，‎ 因为抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），而椭圆的右焦点为（c，0），‎ 所以c＝1，得m﹣n＝1，解得m＝4，n＝3，‎ 所以mn＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键，是中档题．‎ ‎16．函数y＝x3+x2﹣x的单调递增区间为_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣1），（）‎ ‎【解析】对函数y＝x3+x2﹣x进行求导，令y′＞0即可求出其单调增区间；‎ ‎【详解】‎ 由函数y＝x3+x2﹣x，可得y′＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1）；‎ 令y′＞0，则x＜﹣1或x；‎ ‎∴函数y＝x3+x2﹣x在（﹣∞，﹣1），（）内单调递增；‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1），（）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的计算能力，转化能力；属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知p：x2﹣3x﹣4≤0，q：2﹣m≤x≤3+m（m＞0）．‎ ‎（1）当m＝1时，p∧q为真命题，求x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) [1，4]；(2) [3，+∞）．‎ ‎【解析】（1）p∧q为真命题，故p，q均为真命题，将m＝1代入，联立两不等式即可；‎ ‎（2）若p是q的充分条件，则，即可解得m范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）m＝1时，q为真命题，∴1≤x≤4 ①，‎ p为真命题，则x2﹣3x﹣4≤0，解得﹣1≤x≤4 ②，‎ p∧q为真命题，故p，q均为真命题，联立①②得1≤x≤4，‎ 即x的取值范围为[1，4]；‎ ‎（2）若p是q的充分条件，则，‎ 解得m≥3，‎ ‎∴m的取值范围为[3，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．（1）求一个焦点为F（2，0），且经过点A（3，0）的椭圆的标准方程．‎ ‎（2）已知双曲线的焦点在x轴，渐近线方程为yx，且过点（3，），求双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】（1）由题意设椭圆标准方程为（a＞b＞0），并求得a与c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意设双曲线方程为（λ＞0），代入已知点的坐标求得λ值，则双曲线方程可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可设椭圆标准方程为（a＞b＞0），‎ 则a＝3，c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝9﹣4＝5．‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意设双曲线方程为（λ＞0），‎ 把点（3，）代入，得，即λ＝2．‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线方程的求法，训练了利用待定系数法求圆锥曲线的方程，是基础题．‎ ‎19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意：e，a＝3，a2＝b2+c2，∴a2＝18，b2＝9，‎ 所以椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，‎ ‎∴x+x'，xx'，‎ 所以弦长|AB|•|x﹣x'|••，‎ 所以弦长|AB|的值：．‎ ‎【点睛】‎ 考查直线与椭圆相交弦长的公式的应用，属于中档题．‎ ‎20．已知双曲线C和椭圆1有公共的焦点，且离心率为．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A、B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1) x2﹣y2＝1；(2) 2x﹣y﹣3＝0．‎ ‎【解析】（1）由椭圆方程求得双曲线的半焦距，结合离心率求得实半轴长，再由隐含条件求得虚半轴长，则双曲线C的方程可求；‎ ‎（2）设出A，B的坐标，利用“点差法”求得斜率，则直线l的方程可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆1，得a2＝3，b2＝1，‎ ‎∴c，则双曲线的半焦距c＝2，‎ 又其离心率为，则其实半轴长为1，虚半轴长为．‎ ‎∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；‎ ‎（2）由题意可知，直线l的斜率存在．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，，‎ 两式作差可得：（x1﹣x2）（x1+x2）＝（y1﹣y2）（y1+y2），‎ 得，‎ ‎∵M（2，1）为AB的中点，∴，‎ ‎∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝2x3+ax2+bx+1的极值点为﹣1和1．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【答案】(1) f（x）＝2x3﹣6x+1；(2) 单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1），极大值为5，极小值为﹣3．‎ ‎【解析】（1）由题意可知：f'（﹣1）＝0，f'（1）＝0，即可求出a，b的值；‎ ‎（2）先求出导函数f'（x），令f'（x）＝0求出极值点，列表即可求出函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f'（x）＝6x2+2ax+b，‎ 由题意可知：f'（﹣1）＝0，f'（1）＝0，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝2x3﹣6x+1；‎ ‎（2）由（1）可得f'（x）＝6x2﹣6＝6（x+1）（x﹣1），‎ 令f'（x）＝0得，x＝﹣1，x＝1，‎ 列表：‎ x ‎ （﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎ （﹣1，1）‎ ‎ 1‎ ‎ （1，+∞）‎ ‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎ 递增 ‎ 极大值 ‎ 递减 ‎ 极小值 递增 ‎∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1），‎ 极大值为f（﹣1）＝5，极小值为f（1）＝﹣3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，是基础题．‎ ‎22．已知函数f（x）＝2xlnx+1．‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）x2+ax在（，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 4x﹣y﹣2e+1＝0；(2) [﹣1，+∞）．‎ ‎【解析】（1）求导后，求出切线斜率，进而得到切线方程；‎ ‎（2）原问题转化为在上恒成立，令，求其最大值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，f′（x）＝2lnx+2，故f′（e）＝4，而f（e）＝2elne+1＝2e+1，‎ ‎∴所求切线方程为4x﹣y﹣2e+1＝0；‎ ‎（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ 当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ ‎∴g（x）max＝g（1）＝﹣1，故a≥﹣1．‎ 故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求切线方程及利用导数研究不等式的恒成立问题，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．‎