2019届二轮复习回扣8　函数与导数课件（54张）（全国通用）

2019届二轮复习回扣8　函数与导数课件（54张）（全国通用）

回扣 8 　函数与导数 板块四　考前回扣 回归教材 易错提醒 内容索引 回扣训练 回归教材 1. 函数的定义域和值域 (1) 求函数定义域的类型和相应方法 ① 若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ② 若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( g ( x )) 的定义域为不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 的解集；反之，已知 f ( g ( x )) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为函数 y ＝ g ( x )( x ∈ [ a ， b ]) 的值域 . (2) 常见函数的值域 ① 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 的值域为 R ； 2. 函数的奇偶性、周期性 (1) 奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x ( 定义域关于原点对称 ) ，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 成立，则 f ( x ) 为奇函数 ( 都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) 成立，则 f ( x ) 为偶函数 ). (2) 周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f ( x ) ，如果对于定义域内的任意一个 x 的值，若 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )( T ≠ 0) ，则 f ( x ) 是周期函数， T 是它的一个周期 . 3. 关于函数周期性、对称性的结论 (1) 函数的周期性 ① 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x － a ) ，则 f ( x ) 为周期函数， 2 a 是它的一个周期； ② 设 f ( x ) 是 R 上的偶函数，且图象关于直线 x ＝ a ( a ≠ 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数， 2 a 是它的一个周期； ③ 设 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且图象关于直线 x ＝ a ( a ≠ 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数， 4 a 是它的一个周期 . (2) 函数图象的对称性 ① 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( a － x ) ， 即 f ( x ) ＝ f (2 a － x ) ， 则 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称； ② 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝－ f ( a － x ) ， 即 f ( x ) ＝－ f (2 a － x ) ，则 f ( x ) 的图象关于点 ( a, 0) 对称； 4. 函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质 . ① 单调性的定义的等价形式：设任意 x 1 ， x 2 ∈ [ a ， b ] ， ② 若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数，则在公共定义域内， f ( x ) ＋ g ( x ) 是减函数；若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是增函数，则在公共定义域内， f ( x ) ＋ g ( x ) 是增函数；根据同增异减判断复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的单调性 . 5. 函数图象的基本变换 6. 准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1) 定点： y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 恒过 (0,1) 点； y ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 恒过 (1,0) 点 . (2) 单调性：当 a >1 时， y ＝ a x 在 R 上单调递增； y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 当 0< a <1 时， y ＝ a x 在 R 上单调递减； y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 7. 函数与方程 (1) 零点定义： x 0 为函数 f ( x ) 的零点 ⇔ f ( x 0 ) ＝ 0 ⇔ ( x 0, 0) 为 f ( x ) 的图象与 x 轴的交点 . (2) 确定函数零点的三种常用方法 ① 解方程判定法：解方程 f ( x ) ＝ 0 ； ② 零点定理法：根据连续函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ) f ( b )<0 ，判断函数在区间 ( a ， b ) 内存在零点； ③ 数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解 . 8. 导数的几何意义 (1) f ′ ( x 0 ) 的几何意义：曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，该切线的方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )·( x － x 0 ). (2) 切点的两大特征： ① 在曲线 y ＝ f ( x ) 上； ② 在切线上 . 9. 利用导数研究函数的单调性 (1) 求可导函数单调区间的一般步骤 ① 求函数 f ( x ) 的定义域； ② 求导函数 f ′ ( x ) ； ③ 由 f ′ ( x )>0 的解集确定函数 f ( x ) 的单调增区间，由 f ′ ( x )<0 的解集确定函数 f ( x ) 的单调减区间 . (2) 由函数的单调性求参数的取值范围 ① 若可导函数 f ( x ) 在区间 M 上单调递增，则 f ′ ( x ) ≥ 0( x ∈ M ) 恒成立；若可导函数 f ( x ) 在区间 M 上单调递减，则 f ′ ( x ) ≤ 0( x ∈ M ) 恒成立 ； ② 若可导函数在某区间上存在单调递增 ( 减 ) 区间， f ′ ( x )>0( 或 f ′ ( x )<0) 在该区间上存在解集； ③ 若已知 f ( x ) 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f ( x ) 的单调区间，则 I 是其单调区间的子集 . 10. 利用导数研究函数的极值与最值 (1) 求函数的极值的一般步骤 ① 确定函数的定义域； ② 解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ； ③ 判断 f ′ ( x ) 在方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根 x 0 两侧的符号变化： 若左正右负，则 x 0 为极大值点； 若左负右正，则 x 0 为极小值点； 若不变号，则 x 0 不是极值点 . (2) 求函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最值的一般步骤 ① 求函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 内的极值； ② 比较函数 y ＝ f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 易错提醒 1. 解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则 . 2. 解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围 . 3. 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号 “∪” 和 “ 或 ” 连接，可用 “ 及 ” 连接或用 “ ， ” 隔开 . 单调区间必须是 “ 区间 ” ，而不能用集合或不等式代替 . 4. 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响 . 5. 准确理解基本初等函数的定义和性质 . 如函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的单调性容易忽视字母 a 的取值讨论，忽视 a x >0 ；对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 容易忽视真数与底数的限制条件 . 6. 易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化 . 7. 已知可导函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调递增 ( 减 ) ，则 f ′ ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 对 ∀ x ∈ ( a ， b ) 恒成立，不能漏掉 “ ＝ ” ，且需验证 “ ＝ ” 不能恒成立；已知可导函数 f ( x ) 的单调递增 ( 减 ) 区间为 ( a ， b ) ，则 f ′ ( x )>0(<0) 的解集为 ( a ， b ). 8. f ′ ( x ) ＝ 0 的解不一定是函数 f ( x ) 的极值点 . 一定要检验在 x ＝ x 0 的两侧 f ′ ( x ) 的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点 . 回扣训练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 1. 若曲线 f ( x ) ＝ x 4 － 4 x 在点 A 处的切线平行于 x 轴，则点 A 的坐标为 A.( － 1,2) B .(1 ，－ 3) C.(1,0) D .(1,5) √ 解析　 对 f ( x ) ＝ x 4 － 4 x ，求导得 f ′ ( x ) ＝ 4 x 3 － 4 ， 由 在点 A 处的切线平行于 x 轴 ， 可 得 4 x 3 － 4 ＝ 0 ， 解 得 x ＝ 1 ，即点 A 的坐标为 (1 ，－ 3). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 解析　 依题意， f ( － 3) ＝ f ( － 3 ＋ 2) ＝ f ( － 1) ＝ f ( － 1 ＋ 2) ＝ f (1) ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 ，故选 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 解析　 根据 f ′ ( x ) 的符号， f ( x ) 图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A ， D ； 从 适合 f ′ ( x ) ＝ 0 的点可以排除 B ，故选 C. 3. 若函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 y ＝ f ′ ( x ) 的图象如图所示，则 y ＝ f ( x ) 的图象可能为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 4.(2016· 全国 Ⅰ ) 函数 y ＝ 2 x 2 － e | x | 在 [ － 2,2] 的图象大致为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 f (2) ＝ 8 － e 2 >8 － 2.8 2 >0 ，排除 A ； f (2 ) ＝ 8 － e 2 <8 － 2.7 2 <1 ，排除 B ； 当 x >0 时， f ( x ) ＝ 2 x 2 － e x ， f ′ ( x ) ＝ 4 x － e x ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 5. a ， b ， c 依次表示函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ x － 2 ， g ( x ) ＝ 3 x ＋ x － 2 ， h ( x ) ＝ ln x ＋ x － 2 的零点，则 a ， b ， c 的大小顺序为 A. c < b < a B. a < b < c C. a < c < b D. b < a < c √ 解析　 a ， b ， c 为直线 y ＝ 2 － x 分别与曲线 y ＝ 2 x ， y ＝ 3 x ， y ＝ ln x 的交点的横坐标，从图象可知， b < a < c ，故选 D. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 解析 　 因为函数 f ( x ) 是奇函数，且在 [0,2] 上单调递增 ， 所以 函数 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上单调递增 . 由 f (log 2 m )< f (log 4 ( m ＋ 2)) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 方法二 　 ( 综合法 ) 解析　 方法一 　 ( 特殊值法 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 ∴ T ＝ 1 ， ∴ f (6) ＝ f (1 ). 当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 3 － 1 且当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f (6) ＝ f (1) ＝－ f ( － 1) ＝ 2 ，故选 D. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 9. 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝ 1 处有极值 10 ，则 f (2) 等于 A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝ 1 处有极值 10 ， 又 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ b ， ∴ f (1) ＝ 10 ，且 f ′ (1) ＝ 0 ， ∴ f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 x 2 － 11 x ＋ 16 ， ∴ f (2) ＝ 18. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 10. 已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f ′ ( x ) ，当 x >0 时，有 2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x )> x 2 ，则不等式 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＋ 4 f ( － 2)<0 的解集为 A.( － ∞ ，－ 2 016) B .( － 2 016 ，－ 2 012) C.( － ∞ ，－ 2 018) D .( － 2 016,0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 由题意观察联想可设 g ( x ) ＝ x 2 f ( x ) ， g ′ ( x ) ＝ 2 xf ( x ) ＋ x 2 f ′ ( x ) ， 结合 条件 x >0,2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x )> x 2 ， 得 g ′ ( x ) ＝ 2 xf ( x ) ＋ x 2 f ′ ( x )>0 ， g ( x ) ＝ x 2 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 . 又 f ( x ) 为 R 上的奇函数，所以 g ( x ) 为奇函数， 所以 g ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上为增函数 . 由 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＋ 4 f ( － 2)<0 ， 可得 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018)<4 f (2) ， 即 g ( x ＋ 2 018)< g (2) ， 所以 x ＋ 2 018<2 ，故 x < － 2 016 ，故选 A. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析　 因为 0 ≤ x ≤ 1 ，所以－ 2 ≤ x － 2 ≤ － 1 ， 所以 5 － 2 ≤ 5 x － 2 ≤ 5 － 1 ，而 5 － 2 >0.02 ， 所以 0 ≤ x ≤ 1 不合题意， 故至少要过 4 小时后才能开车 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析　 由 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 可知，函数关于 x ＝ 1 对称，因为 f ( x ) 是偶函数，所以 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ＝ f ( x － 1) ， 即 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，所以函数的周期是 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 作出函数 y ＝ f ( x ) 和直线 y ＝ k ( x ＋ 1) 的图象 ， 要使直线 kx － y ＋ k ＝ 0( k >0) 与函数 f ( x ) 的 图象 有且仅有三个交点， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 14. 函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 a 2 x ＋ a ( a >0) 的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的 取值 范围是 ___________ _ _. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 a 2 ＝ 3( x ＋ a )( x － a ) ， 由 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ± a ， 当－ a < x < a 时， f ′ ( x )<0 ，函数单调递减； 当 x > a 或 x < － a 时， f ′ ( x )>0 ，函数单调递增 . ∴ f ( － a ) ＝－ a 3 ＋ 3 a 3 ＋ a >0 且 f ( a ) ＝ a 3 － 3 a 3 ＋ a <0 ， 解答 15. 已知函数 f ( x ) ＝ . (1) 若 f ( x ) 在区间 ( － ∞ ， 2) 上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 由已知 f ′ ( x ) ≥ 0 对 x ∈ ( － ∞ ， 2) 恒成立， 故 x ≤ 1 － a 对 x ∈ ( － ∞ ， 2) 恒成立， ∴ 1 － a ≥ 2 ， ∴ a ≤ － 1. 故实数 a 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 1]. 证明 (2) 若 a ＝ 0 ， x 0 <1 ，设直线 y ＝ g ( x ) 为函数 f ( x ) 的图象在 x ＝ x 0 处的切线，求证： f ( x ) ≤ g ( x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 函数 f ( x ) 的图象在 x ＝ x 0 处的切线方程为 y ＝ g ( x ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) ＋ f ( x 0 ). 令 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ＝ f ( x ) － f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) － f ( x 0 ) ， x ∈ R ， 则 h ′ ( x ) ＝ f ′ ( x ) － f ′ ( x 0 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 设 φ ( x ) ＝ (1 － x ) － (1 － x 0 )e x ， x ∈ R ， 则 φ ′ ( x ) ＝－ － (1 － x 0 )e x ， ∵ x 0 <1 ， ∴ φ ′ ( x )<0 ， ∴ φ ( x ) 在 R 上单调递减，又 φ ( x 0 ) ＝ 0 ， ∴ 当 x < x 0 时， φ ( x )>0 ，当 x > x 0 时， φ ( x )<0 ， ∴ 当 x < x 0 时， h ′ ( x )>0 ，当 x > x 0 时， h ′ ( x )<0 ， ∴ h ( x ) 在区间 ( － ∞ ， x 0 ) 上为增函数，在区间 ( x 0 ，＋ ∞ ) 上为减函数， ∴ 当 x ∈ R 时， h ( x ) ≤ h ( x 0 ) ＝ 0 ， ∴ f ( x ) ≤ g ( x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解答 因为 a >0 ，所以当 x ∈ ( － ∞ ， 1) 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 上单调递增； 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 (2) 若函数 g ( x ) ＝ ln f ( x ) － b 有两个零点，求实数 b 的取值范围； 解答 解　 由题意知，函数 g ( x ) ＝ ln f ( x ) － b ＝ ln x － x － b ( x >0) ， 易得函数 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 ， 所以 g ( x ) max ＝ g (1) ＝－ 1 － b ， 依题意知，－ 1 － b >0 ，则 b < － 1 ， 所以实数 b 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 所以 k ＋ 2 x － x 2 >0 ，即 k > x 2 － 2 x 对任意 x ∈ (0,2) 都成立，从而 k ≥ 0. 当 x ∈ (1,2) 时， h ′ ( x )>0 ，函数 h ( x ) 在 (1,2) 上单调递增， 同理，函数 h ( x ) 在 (0,1) 上单调递减， h ( x ) min ＝ h (1) ＝ e － 1. 依题意得 k < h ( x ) min ＝ h (1) ＝ e － 1 ， 综上所述，实数 k 的取值范围是 [0 ， e － 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15