数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检（2018

数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）第三次质检（2018

衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检试卷 文科数学（试题卷）‎ 注意事项： ‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合P={y|y=（）x，x＞0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则∁RP∩Q=（　　）‎ A．[1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎2.已知x1，x2是函数 f（x）=2sinx+cosx﹣m在[0，π]内的两个零点，则sin（x1+x2）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（　　）‎ A．60里 B．48里 C．36里 D．24里 ‎4.在复平面内，复数z=﹣2i3（i为虚数单位）表示的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5.若不等式组错误！未找到引用源。表示的平面区域经过所有四个象限，则实数错误！未找到引用源。的取值范围是 （ ）‎ ‎ A.错误！未找到引用源。-¥ B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。‎ ‎6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(格纸中粗线部分为其三视图，设格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为( )‎ A．4立方丈 B．5立方丈 C. 6立方丈 D．12立方丈 ‎7.已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，该程序运行后输出的结果是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎9.已知函数，若方程f（x）﹣kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A． B． C．[﹣1，+∞） D．‎ ‎10.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2‎ ‎，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2+1的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎12.函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣∞，0） C． D．（﹣∞，1）‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣3共线，则=　　．‎ ‎14.已知圆C：（x﹣2）2+y2=4，点P在直线l：y=x+3上，若圆C上存在两点A、B使得=3，则点P的横坐标的取值范围是　 ．‎ ‎15.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为　　．‎ ‎16.对正整数n，设曲线y=xn（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是 ．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知=（sinωx+cosωx， cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）（ω＞0），函数f（x）=•，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．‎ ‎（1）求ω的取值范围；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．‎ ‎（1）求证：PE⊥BD；‎ ‎（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎2017年10月18日上午9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕. 习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调査站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4：1. 将这200人按年龄分组：第1组[15, 25)，第2组[25, 35)，第3组[35, 45)，第4组[45, 55)，第5组[55, 65)，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示. ‎ ‎(1)求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎(2)把年龄在第1，2，3组的观众称为青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人，请完成下面2×2列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 中老年 合计 附：（其中样本容量）. ‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．‎ ‎（1）试讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣，若动点P满足=+2，试探究，是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎[‎ 选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.选修4-4.坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎23.选修4-5.不等式选讲 设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ 衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检参考答案文科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C A D B C C B A B D ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.64π ‎16.2n+1﹣2‎ ‎17.‎ ‎（1）函数f（x）==（sinωx+cosωx） （cosωx﹣sinωx）+2cosωx•sinωx ‎=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），（4分）‎ f（x）相邻两对称轴间的距离不小于∴T≥π，则，解得0＜ω≤1。（6分） ‎ ‎（2）∵当ω=1时，，且A∈（0，π），‎ ‎∴，，（8分）‎ ‎∴b2+c2=bc+4，又b2+c2≥2bc，‎ ‎∴bc+4≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时，bc=4，（10分）‎ ‎∴．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）∵BD是AC边上的高，‎ ‎∴BD⊥CD，BD⊥PD，‎ 又PD∩CD=D，‎ ‎∴BD⊥平面PCD，‎ 又PE⊂平面PCD中，‎ ‎∴BD⊥PE，即PE⊥BD；（5分）‎ ‎（2）如图所示，‎ 连接BE，交DM与点F，‎ ‎∵PE∥平面DMN，‎ ‎∴PE∥NF，‎ 又点N为PB中点，‎ ‎∴点F为BE的中点；‎ ‎∴DF=BE=EF；‎ 又∠BCD=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴△DEF是等边三角形，‎ 设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；‎ ‎∴==．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）由频率分布直方图可得：10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=l，‎ 解得 a=0.035， （3分）‎ 所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：‎ ‎20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5 （6分）‎ ‎（2）由题意得2×2列联表: ‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年 ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎（8分）‎ 计算得的观测值为，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关. （12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax，‎ 可知=．（1分）‎ 因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，‎ ‎①若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（2分）‎ ‎②若a=0，则当f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增；（3分）‎ ‎③若a＜0，则当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（4分）‎ ‎（2）要证x1+x2＞2a，只需证．‎ 设g（x）=f'（x）=﹣，（6分）‎ 因为，‎ 所以g（x）=f'（x）为单调递增函数．‎ 所以只需证，‎ 即证，‎ 只需证．（）‎ 又，，‎ 所以两式相减，并整理，得．（8分）‎ 把=代入（）式，‎ 得只需证，‎ 可化为．‎ 令，得只需证．‎ 令（0＜t＜1），‎ 则=，‎ 所以φ（t）在其定义域上为增函数，‎ 所以φ（t）＜φ（1）=0．‎ 综上得原不等式成立．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），且离心率为，‎ ‎∴，解得a=2，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1．（4分）‎ ‎（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则由，得x=x1+2x2，y=y1+2y2，‎ ‎∵M，N都在椭圆=1上，‎ ‎∴，‎ ‎∴（）‎ ‎=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）‎ ‎=20+4（x1x2+2y1y2），（8分）‎ 设=﹣，∴x1x2+2y1y2=0，‎ ‎∴x2+2y2=20，∴点P是椭圆上的点，‎ ‎∴由椭圆的定义知存在点F1，F2，满足|PF1|+|PF2|=2=4为定值，‎ 又∵|F1F2|=2=2，‎ ‎∴F1，F2的坐标分别为F1（﹣，0），F2（，0）．（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为．（3分）‎ ‎∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．（5分）‎ ‎（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，‎ 圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，（8分）‎ P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，‎ ‎∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；‎ 当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；‎ 当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．‎ 故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（5分）‎ ‎（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），‎ 当且仅当a=b=c=时，等号成立．‎ 此时，ab+bc取得最大值=1．（10分）‎