西藏拉萨中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

西藏拉萨中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

理科数学试卷 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求．‎ ‎【详解】由已知得，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查交集、补集运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．‎ ‎2.已知向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.‎ ‎3.在等差数列中，，则 A. 32 B. ‎45 ‎C. 64 D. 96‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】根据等差数列的性质有，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查观察能力，属于基础题.‎ ‎4.若，，，则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指对函数的单调性即可比较大小.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题.‎ ‎5.在中，角的对边分别为.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得，由正弦定理，所以，‎ 故选A ‎6.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由等比数列的性质可得：，所以.‎ ‎.‎ 则，‎ 故选B.‎ ‎7.曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）‎ A. y=3x﹣1 B. y=﹣3x+‎5 ‎C. y=3x+5 D. y=2x ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．‎ 解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，‎ ‎∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，‎ ‎∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣1，‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．‎ ‎8.设函数，则满足的x的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．‎ ‎【详解】当时，的可变形为，，．‎ 当时，的可变形为，，故答案为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．‎ ‎9.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（ ）．‎ A. 1 B. ‎6 ‎C. 7 D. 6或7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎10.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头（最少一层）几盏灯？”（ ）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．‎ ‎【详解】设塔顶的盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7=381= ，‎ 解得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．‎ ‎11.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.‎ ‎12.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（ ）‎ A B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.‎ ‎【详解】因为导函数，‎ 所以导函数的图像是开口向上的抛物线，‎ 所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，‎ 又，即，所以，‎ 所以.‎ ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.‎ 二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13.已知，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】由基本不等式得，当且仅当时取等.‎ 所以的最小值为4.‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.已知x，y满足约束条件：，则的最大值是______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案.‎ ‎【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，‎ 当直线过点时，直线在轴上的截距最大，‎ 可求得点，∴.‎ 故答案为：3. ‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.‎ ‎15.记为等差数列的前项和，若，则___________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.‎ ‎【详解】得 ‎【点睛】‎ 本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．‎ ‎16.给出下列四个命题：‎ ‎①中，是成立的充要条件； ‎ ‎②当时，有；‎ ‎③已知 是等差数列的前n项和，若，则；‎ ‎④若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为___________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①利用正弦定理可判断；②举反例即可判断；③利用等差数列等差中项计算可判断；‎ ‎④根据奇函数的性质与函数图象平移可判断.‎ ‎【详解】①在△ABC中，由正弦定理可得 , ∴sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB充要条件，①正确； ‎ ‎②当1＞x＞0时，lnx＜0，所以不一定大于等于2，②不成立；‎ ‎③等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S7-S5=a6+a7＞0，S9-S3=a4+a5+…+a9=3（a6+a7）＞0，因此S9＞S3，③正确；‎ ‎④若函数为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x-）的图象向左平移个单位得到的，故函数y=f（x）的图象一定关于点F（-，0）成中心对称，④不正确．‎ 综上只有①③正确．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断，考查了正弦定理的应用，对数函数图象和性质，基本不等式，等差数列的性质，考查了函数的奇偶性和图象的平移， 考查了推理能力与计算能力，涉及知识点多且全，是此类题目的特点.‎ 三、解答题（共计70分）‎ ‎17.已知数列是等差数列，满足，数列是等比数列，满足.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2n，2n；（2）Sn ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求d,即得数列的通项，再求即得等比数列的通项.(2)利用分组求和求数列的前n项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得， ‎ 所以． ‎ 设等比数列的公比为，由题意得，解得． ‎ 因为，所以． ‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.‎ ‎18.已知向量 = (1，2sinθ)，= (sin(θ+)，1)，θR．‎ ‎(1) 若⊥，求 tanθ的值；‎ ‎(2) 若∥，且 θ (0，)，求 θ的值 ‎【答案】（1）tanθ＝－；（2）θ＝.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两个向量垂直的坐标表示，列出方程，化简可求得的值.（2）利用两个向量平行的坐标表示，列出方程，化简可求得的值.‎ ‎【详解】（1）依题意，得：•＝0，即 sin(θ+)+2sinθ＝0，展开，得：‎ sinθcos＋cosθsin+2sinθ＝0，‎ 化简，得：sinθ＋cosθ＝0，解得：tanθ＝－‎ ‎（2）因为∥，所以，2sinθsin(θ+)＝1，展开得：‎ ‎2sinθ（sinθcos＋cosθsin）＝1，‎ 即：2sin2θ＋2sinθcosθ＝2，‎ 即：1－cos2θ＋sin2θ＝2，‎ 化为：sin（2θ－）＝，因为θ (0，)，所以，2θ－ ()，‎ 所以，2θ－＝，解得：θ＝‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个向量垂直和两个向量平行的坐标表示，还考查了三角恒等变换，以及特殊角的三角函数值等知识，属于中档题.‎ ‎19.等差数列中，.‎ ‎(1)求通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.‎ 因为所以.‎ 解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)bn＝＝，‎ 所以Sn＝‎ ‎20.设函数．‎ ‎（1）求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若函数在区间上的极大值为8，求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1）减区间为（﹣1，2）；（2）f(x)的最小值为-19．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，由可得减区间；（2）根据极大值为8求得，然后再求出最小值．‎ ‎【详解】（1）f′（x）=6x2-6x﹣12=6（x-2）（x+1），‎ 令，得﹣1＜x＜2．‎ ‎∴函数f（x）的减区间为（﹣1，2）．‎ ‎（2）由（1）知，f′（x）=6x2-6x﹣12=6（x+1）（x﹣2），‎ 令f′（x）=0，得x=-1或x=2（舍）．‎ 当x在闭区间[-2，3]变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表 x ‎(-2,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递增 m+7‎ 单调递减 m-20‎ 单调递增 ‎∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+7，‎ 由已知m+7=8，得m=1．‎ 当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19‎ 又f(-2)=-3,‎ 所以f(x)的最小值为-19．‎ ‎【点睛】（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；‎ ‎（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；增区间.‎ ‎(2) 的最小值为，取“”时.‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.‎ ‎（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数值.‎ 详解：解：（Ⅰ）为偶函数，‎ ‎ ，即，解得.‎ ‎ 所以，函数，对称轴，增区间 ‎（Ⅱ）由题知 ‎∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，‎ 即的最小值为，取“”时 ‎（Ⅲ）∵时，‎ ‎∴在恒成立 记，（）‎ ‎①当时，‎ 由，∴‎ ‎②当时，‎ 由，∴‎ ‎③当时，‎ 由，‎ 综上所述，的取值范围是 点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.‎ ‎22.证明不等式：‎ ‎（1）用分析法证明：.‎ ‎（2）已知a、b、c为不全相等的实数，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分析法可知只需证，即证42＞40，从而证明不等式成立； （2）利用分析法可知要证，即证从而证明不等式成立．‎ ‎【详解】证明：（1）要证，只需证，‎ 只需证，即证，‎ 而显然成立，故原不等式成立.‎ ‎（2）要证，只需证，‎ 即证，‎ 因为a，b，c是不全相等的实数，‎ 所以，，，‎ 所以显然成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，属中档题．‎