2019-2020学年山西省朔州市怀仁市高二上学期第四次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省朔州市怀仁市高二上学期第四次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省朔州市怀仁市高二上学期第四次月考数学试题 一、单选题 ‎1．若两直线的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A．若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B．若=，则两直线的斜率：k1= k2‎ C．若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D．若两直线的斜率：k1= k2 ，则=‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，表示出斜率和角之间的关系，根据正切在之间的定义域和单调性的关系，即可作出判定，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，‎ 所以，且，‎ 根据正切在之间的定义域和单调性的关系，‎ 可得，对于A中，当，此时，所以不正确；‎ 对于B中，当，此时斜率不存在，所以不正确；‎ 对于C中，当，此时，所以不正确；‎ 对于D中，当，此时，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了斜率与倾斜角的关系，其中解答中正确理解直线的斜率与倾斜角的关系，合理运用正切函数性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A．若直线平行于平面内的无数条直线,则 B．若直线在平面外,则 C．若直线,则 D．若直线，则直线平行于内的无数条直线 ‎【答案】D ‎【解析】根据直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理逐个判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 对于,若直线平行于平面内的无数条直线,则或,故不正确;‎ 对于,若直线在平面外,则或与相交,故不正确;‎ 对于,若直线,则或,故不正确;‎ 对于,若直线，则直线平行于内的无数条直线,是正确的.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理,属于基础题.‎ ‎3．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,则过各侧棱中点的截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先说明截面与底面相似,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,由此可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据三角形中位线定理可得截面三角形的三边与底面对应边平行,所以截面三角形与底面三角形相似,且相似比为,‎ 所以截面面积与底面面积之比等于相似比的平方,‎ 因为底面是边长为的正三角形,所以底面面积为.‎ 所以截面面积为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了求截面面积,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键,属于基础题.‎ ‎4．直线与圆相切，则实数等于（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ‎ 故选C．‎ ‎5．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由图可得：，这是一道求异面直线所成角的题目，角的落实是关键。结合三角形进行求解是本题的重点.‎ ‎【考点】异面直线所成角、余弦定理 ‎6．（2014秋•湖南期末）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．‎ 解：把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，‎ 所以两圆心的坐标分别为：（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，‎ 则两圆心之间的距离d==5，‎ 因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．‎ 故选B．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎7．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）‎ A．16 B．12 C．8 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱后所得的几何体,用两个棱柱的体积作差即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了由三视图还原直观图,考查了棱柱的体积公式,根据俯视图分析出几何体是解题关键,属于基础题.‎ ‎8．已知直线和平面，若，，则过点且平行于的直线（ ）‎ A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 ‎【答案】B ‎【解析】假设m是过点P且平行于l的直线， n也是过点P且平行于l的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.‎ ‎【详解】‎ 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l 由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，‎ 故过点且平行于的直线只有一条，‎ 又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎9．直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于 　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由点到直线距公式求出圆心到直线距离，再由弦长，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆圆心为，半径为；‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 因此，弦长.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求直线被圆所截的弦长，熟记几何法求解即可，属于基础题型.‎ ‎10．如图,在正方体中,M,N分别是的中点,则下列说法错误的是（ ）‎ A．MN∥平面ABCD B．MN∥AB C．MN⊥AC D．MN⊥CC1‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用中位线平行可得,再据此对四个选项逐个分析可得答案.‎ ‎【详解】‎ 连接,,易知为的中点,又为的中点,所以,‎ 因为平面,平面,所以MN∥平面ABCD,故正确;‎ 因为与相交,所以与不平行,故不正确;‎ 因为,,所以MN⊥AC,故正确;‎ 因为,,所以,故正确.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面平行的判定定理以及直线与直线平行,垂直的位置关系的判断,属于基础题.‎ ‎11．无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过整理直线的形式，可求得所过的定点.‎ ‎【详解】‎ 直线可整理为，‎ 当 ，解得，‎ 无论为何值，直线总过定点.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.‎ ‎12．已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积。‎ ‎【详解】‎ 由已知得，作下图 ‎，连结，延长至圆上交于H，‎ 过作交于，‎ 则为，所以，为斜边的中点， ‎ 所以，为的中位线，为小圆圆心，则为的中点，则 ‎，则，，‎ 则球的半径 ‎ 球的表面积为 答案选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计算球的表面积，关键在于利用进行计算，难点在于构造三要素相关的直角三角形进行求解，难度属于中等。‎ 二、填空题 ‎13．若x、y满足约束条件，则的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标即可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图所示:‎ 由可得,‎ 由图可知最优解为,‎ 联立 ,解得,,‎ 所以最优解为,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划求最大值,利用斜率关系找到最优解是答题关键,属于基础题.‎ ‎14．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为________‎ ‎【答案】1或3.‎ ‎【解析】斜率 由l1⊥l2，求得直线l2的斜率，进而建立未知量的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l1的斜率k1＝，且l1⊥l2，‎ ‎∴，又直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，‎ ‎∴‎ ‎∴a=1或3‎ 故答案为：1或3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条直线垂直的条件，属于基础题．‎ ‎15．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由直观图知，四边形ABCD中，ABCD,,因为，所以，且,根据梯形面积公式，故填5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直观图，斜二测画法，属于中档题. 解决直观图相关问题，需要利用斜二测画法联系原图形和直观图.‎ ‎16．如图是正方体的平面张开图，在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行；‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°；‎ ‎④DM与BN是异面直线；‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】试题分析：以正方形为正方体的底面将正方体折叠起来后，是异面直线，所成角，互相平行，与是异面直线，成角，与是异面直线 ‎【考点】1．翻折问题；2．直线位置关系的判定；3．异面直线所成角 三、解答题 ‎17．已知ΔABC的三个顶点为A(4,0),B(8,10),C(0,6).‎ ‎（1）求过点A且平行于BC的直线方程；‎ ‎（2）求过点B且与A,C距离相等的直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】(1)根据平行求出斜率,根据点斜式可得直线方程;‎ ‎(2)设出所求直线方程后,利用点到直线的距离公式列等式,解方程可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线BC斜率 过点A与BC平行直线方程为,‎ 即 ‎（2）显然,所求直线斜率存在 设过点B的直线方程为,即 由,即,‎ 解得或 故所求的直线方程为或 即或 ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率公式,直线方程的点斜式,点到直线的距离公式,属于中档题.‎ ‎18．求满足下列条件的圆的方程：‎ ‎（I）圆心在直线上,与轴相交于两点;‎ ‎（II）经过三点.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：求圆的方程有两种设法，一是标准方程，二是设一般方程，第一步设标准方程，第二步设一般方程 ，首先巧设圆心，半径 ，过点 满足方程，解方程组解得 和 ；求过三点的圆的方程用圆的一般方程，待定系数法解方程组求解.‎ 试题解析：‎ ‎（I）由已知可设圆心为,半径为,则圆的方程为.‎ 代入两点有 ,解得.‎ 于是所求圆的方程为.‎ ‎（II）设圆的方程为,‎ 代入三点,可得,‎ 解得.‎ 于是所求圆的方程为.‎ ‎【点睛】求圆的方程一般采用待定系数法，方程有两种设法，一是标准方程，二是设一般方程，第一步设标准方程，第二步设一般方程 ，使用标准方程要学会巧设圆心，列方程组解方程组解出圆心和半径，求过三点的圆的方程一般设圆的一般方程解方程组更方便一些..‎ ‎19．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面：‎ ‎（2）设，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接，交于点，根据三角形中位线可得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）利用体积桥将问题变为求解三棱锥的体积，求解出，根据直棱柱的关系可知高为，代入棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，交于点 棱柱为直三棱柱 四边形为矩形 为中点，又为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2），，即 ‎ ‎ ‎ 又棱柱为直三棱柱 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系的证明、椎体体积的求解问题.求解三棱锥体积时，通常采用体积桥的方式将问题转化为高易求的三棱锥的体积求解问题.‎ ‎20．已知圆,直线.‎ ‎（1）当直线与圆C相交,求的取值范围；‎ ‎（2）当直线与圆C相交于A,B两点,且时,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）直线方程为或 ‎【解析】(1) 直线与圆C相交等价于圆心到直线的距离小于半径,列不等式可解得答案;‎ ‎(2)根据弦长的一半,圆心到直线的距离以及半径满足勾股定理可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆化成标准方程为,则此圆的圆心为,半径为,‎ 当直线与圆C相交,则有,‎ 解得 ‎（2）过圆心C作CD⊥AB于D,则根据题意和圆的性质,,‎ ‎∴,‎ 解得或,‎ 故所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆相交,点到直线的距离,圆的垂径性质,属于基础题.‎ ‎21．如图，正方体的棱长为,连得到一个三棱锥.求:‎ ‎（1）三棱锥的表面积与正方体的表面积之比；‎ ‎（2）三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 由图可知,三棱锥为正四面体,且棱长为,所以三棱锥的表面积是四个正三角形的面积之和,利用正三角形的面积公式以及正方形的面积公式可求得答案;‎ ‎(2)利用正方体的体积减去四个三棱锥的体积之和可得答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示:‎ ‎（1）由图可知,三棱锥为正四面体,且棱长为 所以三棱锥的表面积为 正方体D的表面积为 所以三棱锥的表面积与正方体D的表面积之比为 ‎（2）因为三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个等体积的三棱锥的体积,‎ 所以棱锥的体积为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的表面积和体积公式,正方体的体积公式,利用正方体的体积减去四个三棱锥的体积之和是答题关键.属于基础题.‎ ‎22．某种“笼具”由内,外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为,高为,圆锥的母线长为.‎ ‎(1)求这种“笼具”的体积;‎ ‎(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?‎ ‎【答案】（1）)；（2）制造50个“笼具”的总造价为元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)“笼具”抽象为一个圆柱减去一个圆锥的组合体，据此结合体积公式可求得其体积为.‎ ‎(2)结合题意首先求得一个“笼具”的表面积为，然后结合题意计算可得制作50个“笼具”，共需元.‎ 试题解析：‎ 设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，‎ 根据题意可知 ‎（1），∴（），（），‎ 所以“笼具”的体积 （）.‎ ‎（2）圆柱的侧面积，‎ 圆柱的底面积，‎ 圆锥的侧面积，‎ 所以“笼具”的表面积，‎ 故造50个“笼具”的总造价：元.‎ 答：这种“笼具”的体积为 ；制造50个“笼具”的总造价为元.‎