2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷

2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷

‎2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）计算的结果是　 　．‎ ‎2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=　 　．‎ ‎3．（4分）已知，则=　 　．‎ ‎4．（4分）若行列式，则x=　 　．‎ ‎5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=　 　．‎ ‎6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于　 　．‎ ‎7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是　 　．‎ ‎8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an=　 　．‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为　 　．‎ ‎10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为　 　．‎ ‎11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为　 　．‎ ‎12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．‎ ‎（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；‎ ‎（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．‎ ‎（1）求圆锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．‎ ‎20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；‎ ‎（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；‎ ‎（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．‎ ‎21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．‎ ‎（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；‎ ‎（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；‎ ‎（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）计算的结果是　1　．‎ ‎【解答】解：当n→+∞，→0，∴=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=　3　．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，‎ ‎∴实数m=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）已知，则=　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）若行列式，则x=　2　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1‎ ‎∴x=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=　6　．‎ ‎【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，‎ ‎∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ，‎ 解得 x=4，y=2，‎ ‎∴x+y=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于　﹣160　．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3‎ 常数项为（﹣2）3=﹣160‎ 故答案为：﹣160‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　．‎ ‎【解答】解：基本事件共6×6个，‎ 点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，‎ 故P==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an=　2n﹣1　．‎ ‎【解答】解：由题意得n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1．‎ n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，‎ 当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1；‎ 故答案为：2n﹣1‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，‎ ‎∴sin2B=sinAsinC，‎ 利用正弦定理化简得：b2=ac，‎ 由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c时取等号），‎ 则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为　　．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，‎ ‎∴a2+1=4，解得a=，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=，‎ ‎∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为　　．‎ ‎【解答】解：函数，‎ ‎=，‎ ‎=s，‎ 函数g（x）=f（x+α）=为奇函数，‎ 则：（k∈Z），‎ 解得：，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为　　．‎ ‎【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，‎ 联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，‎ 设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，（*）‎ 由，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得==，‎ 由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，‎ 当M和N点重合时，λ=1，‎ 当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=‎ 或λ=3‎ ‎∴实数λ的取值范围．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；‎ ‎②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．‎ ‎③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．‎ ‎④y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【解答】解：t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，‎ 函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤‎ ‎﹣4．‎ ‎∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（　　）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，‎ 因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4 ‎ 所以S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2‎ 即最大值为：2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．‎ ‎（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；‎ ‎（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，‎ 它的面积y=x（l﹣3x）；‎ 由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；‎ ‎（2）y=x（l﹣3x）=×3x（1﹣3x）≤×（）2=，‎ 当x=时，这块长方形场地的面积最大，‎ 这时的长为l﹣3x=l，最大面积为．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．‎ ‎（1）求圆锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）‎ 解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，‎ 解得BS=5，…（2分）‎ 故…（4分）‎ 从而体积．…（7分）‎ ‎（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．‎ 由P是SB的中点知PH∥SO，‎ 则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．…（10分）‎ ‎∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．‎ 在△OAH中，由OA⊥OB，得，…（11分）‎ 在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…（12分）‎ 则，‎ ‎∴异面直线SO与PA所成角的大小．…（14分）‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．‎ ‎（1）求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．‎ ‎【解答】解：（1）令，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），‎ 因为B⊆A，所以，‎ 解得﹣1≤a≤0，‎ 即实数a的取值范围是[﹣1，0]；‎ ‎（2）证明：函数f（x）的定义域A=（﹣1，1），定义域关于原点对称，‎ f（﹣x）=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f（x），‎ 而，，所以，‎ 所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2‎ ‎=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；‎ ‎（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；‎ ‎（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，‎ 则p=2，‎ 故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；‎ ‎（2）设直线l：x=my+b 当m=0时，x=1和x=9符合题意；‎ 当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，‎ 所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．‎ ‎△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，‎ 所以，‎ 所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）‎ 因为kAB•kCM=﹣1，，‎ 所以，得b=3﹣2m2‎ 所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3‎ 因为，所以m2=3（舍去）‎ 综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9‎ ‎（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，‎ 所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2‎ ‎△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b 所以，得b=0或b=4‎ b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；‎ b=4时，直线AB过定点P（4，0）‎ 设Q（x，y），因为OQ⊥AB，‎ 所以（x≠0），‎ 综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0‎ ‎　‎ ‎21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．‎ ‎（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；‎ ‎（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；‎ ‎（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）x=1时，，所以y=2或3；‎ x=2时，，所以y=4；‎ x≥3时，，无整数解；‎ 所以所有可能的x，y为，或．‎ ‎（2）n的最大值为65，理由如下：‎ 一方面，注意到：ak+1+ak﹣1＞2ak⇔ak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1．‎ 对任意的1≤i≤n﹣1，令bi=ai+1﹣ai，则bi∈Z且bk＞bk﹣1（2≤k≤n﹣1），故bk≥bk﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）‎ 当a1=1，an=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得（2≤i≤n﹣1）‎ 即bi≥i﹣1，此时an﹣a1=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）=bn﹣1+bn﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）‎ 即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．‎ 另一方面，为使（**）取到等号，所以取bi=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，bk＞bk﹣1，故数列{an}为“U﹣数列”，‎ 此时由（**）式得，‎ 所以a65=2017，即n=65符合题意． 综上，n的最大值为65． ‎ ‎（3）M的最小值为，证明如下：‎ 当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，‎ 一方面：由（*）式，bk+1﹣bk≥1，bm+k﹣bk=（bm+k﹣bm+k﹣1）+（bm+k﹣1﹣bm+k﹣2）+…+（bk+1﹣bk）≥m．此时有：‎ ‎（a1+a2m）﹣（am+am+1）=（a2m﹣am+1）﹣（am﹣a1）‎ ‎=（bm+1+bm+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+bm﹣1）‎ ‎=（bm+1﹣b1）+（bm+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣bm﹣1）‎ ‎≥m+m+…+m=m（m﹣1）．‎ 即（a1+a2m）≥（am+am+1）+m（m﹣1）‎ 故 因为，所以，‎ 另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，bm﹣1=﹣1，bm=0，bm+1=1，b2m﹣1‎ ‎=m﹣1时，ak+1+ak﹣1﹣2ak=（ak+1﹣ak）﹣（ak﹣ak﹣1）=bk﹣bk﹣1=1＞0‎ 取am=1，则am+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞am，am+1＜am+2＜…＜a2m，‎ 且 此时．‎ 综上，M的最小值为．‎ ‎　‎