2017-2018学年吉林省实验中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年吉林省实验中学高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎3．（5分）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）‎ A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q ‎4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（　　）‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25‎ ‎5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（　　）‎ A．110 B．100 C．90 D．80‎ ‎6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（　　）条件．‎ A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 ‎7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎9．（5分）已知，则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（] D．[]‎ ‎12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=　 　．（用数字作答）‎ ‎14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是　 　．‎ ‎15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是　 　．‎ ‎16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生　 　天．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．‎ ‎18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．‎ ‎19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与 C交于A，B两点，若=3，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎（1）男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎（2）至少有1名女运动员；‎ ‎（3）队长中至少有1人参加；‎ ‎（4）既要有队长，又要有女运动员．‎ ‎21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥‎ A1B1，D为棱A1B1上的点．‎ ‎（1）证明：DF⊥AE；‎ ‎（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．‎ ‎22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求实数λ的取值范围；‎ ‎（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得•为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．‎ ‎【解答】解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，‎ 则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，‎ 所以事件A发生的概率 ．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．‎ 又∵输出的函数值在区间内，‎ ‎∴x∈[﹣2，﹣1]‎ 故选B ‎【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是（　　）‎ A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是：∀x∈∁RQ，x3∉Q．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（　　）‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25‎ ‎【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，‎ 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：‎ ‎=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，‎ 故a=5.25，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（　　）‎ A．110 B．100 C．90 D．80‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可 ‎【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，‎ ‎∴从中抽取一个容量为20的样本，‎ 则抽取的C组数为×20=2，‎ 设C组总数为m，‎ 则甲、乙二人均被抽到的概率为==，‎ 即m（m﹣1）=90，‎ 解得 m=10．‎ 设总体中员工总数为x，则由==，‎ 可得x=100，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）k＞3是方程+=1表示双曲线的（　　）条件．‎ A．充分但不必要 B．充要 C．必要但不充分 D．既不充分也不必要 ‎【分析】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜‎ ‎0，解得k范围，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．‎ ‎∴k＞3是方程+=1表示双曲线的充分但不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设正方体棱长为1，求出BB1与平面A1BC1所成角的正弦值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵△A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，‎ ‎∴B1在平面A1BC1上的射影为△A1BC1的中心O，‎ 设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，‎ ‎∴OB=BM==，‎ ‎∴OB1==，‎ ‎∴sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，‎ ‎∵DD1∥BB1，‎ ‎∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间角的计算，作出所求线面角是解题关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）‎ A．144 B．120 C．72 D．24‎ ‎【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．‎ ‎【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知，则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出 的坐标，根据向量的模的定义求出的值．‎ ‎【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），‎ ‎∴==．‎ 故当t=0时，有最小值等于，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．‎ ‎【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；‎ ‎∴基本事件总数为105；‎ 设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；‎ 则A包含的基本事件个数为=50；‎ ‎∴P（A）=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点，点G是双曲线C上的一点，且满足|GF1|=7|GF2|，则的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．（] D．[]‎ ‎【分析】设G点的横坐标为x0，由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0﹣a，分析可得a+ex0=7（ex0﹣a），解可得x0=≥a，即可得1＜e≤，又由双曲线的离心率公式分析可得1＜1+≤，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设G点的横坐标为x0，注意到x0≥a．‎ 由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0﹣a，‎ 又由|GF1|=7|GF2|，则有a+ex0=7（ex0﹣a），‎ 解可得：x0=≥a，‎ 变形可得：1＜e≤，‎ 即1＜e2≤，‎ 又由e2==1+，‎ 则有1＜1+≤，‎ 解可得0＜≤，‎ 即的取值范围是（0，]；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的第二定义，关键是表示|GF1|与|GF2|的大小．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可知：可设A（﹣c，），C（x，y），由，可得=2，根据向量的坐标运算求得x=2c，y=﹣，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可设A（﹣c，），C（x，y），‎ 由，‎ 可得=2，即有（2c，﹣）=2（x﹣c，y），即2c=2x﹣2c，=2y，‎ 可得：x=2c，y=﹣，‎ 代入椭圆方程可得：，由b2=a2﹣c2，根据离心率公式可知：e=，‎ 整理得：16e2+1﹣e2=4，解得e=±，‎ 由0＜e＜1，则e=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）若（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=　﹣1　．（用数字作答）‎ ‎【分析】利用赋值法，令x=1求得a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．‎ ‎【解答】解：（x﹣2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，‎ 令x=1，得（1﹣2）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，‎ 即a0+a1+a2+a3+a4+a5=1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）2012年的NBA全明星赛，于美国当地时间2012年2月26日在佛罗里达州奧兰多市举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是　64　．‎ ‎【分析】根据中位数的定义，结合茎叶图，分别求出甲乙两人的中位数即可．‎ ‎【解答】解：将甲的得分从小到大排好顺序后，第5个数为28，‎ 将乙的得分从小到大排好顺序后，第5个数为36．‎ 所以甲乙的中位数分别为28和36，所以中位数之和为28+36=64．‎ 故答案为：64．‎ ‎【点评】本题主要考查中位数的概念，将数据从小到大排行顺序后，位于中间的数为中位数，若数据为偶数个，则中间两个数的平均数为中位数．注意必须按照从小到大排好顺序．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程是　y=1﹣x2（x≠±1）　．‎ ‎【分析】设P（x，y），kAM﹣kBM=﹣=2，由此能求出动点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），‎ 则kAM﹣kBM=﹣=2，‎ 整理，得y=1﹣x2，（x≠±1）．‎ ‎∴动点P的轨迹方程是y=1﹣x2，（x≠±1）．‎ 故答案为：y=1﹣x2，（x≠±1）．‎ ‎【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的斜率公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生　510　天．‎ ‎【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．‎ ‎【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，‎ 化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．‎ 故答案为：510．‎ ‎【点评】本题考查计数的方法，注意运用七进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，能求出a=0.005．‎ ‎（2）利用频率分布直方图的性质能求出这100名学生语文成绩的平均分和中位数．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，得：‎ ‎10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，‎ 解得a=0.005．‎ ‎（2）这100名学生语文成绩的平均分为：‎ ‎55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）‎ ‎∵这100名学生语文成绩在[50，70）的频率为（0.005+0.04）×10=0.45，‎ 这100名学生语文成绩在[70，80）的频率为0.03×10=0.3，‎ ‎∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×≈71.7（分）．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率、平均数、中位数的求法，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力、数据处理能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）设二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值．‎ ‎【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数A和常数项B，‎ 关键B=4A求得a的值．‎ ‎【解答】解：二项式（x﹣）6（a＞0）展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•=（﹣a）r••，‎ 令r=2，得展开式中x3的系数为A=•a2=15a2；‎ 令r=4，得展开式中常数项为B=•a4=15a4，‎ 由B=4A可得a2=4，‎ 又a＞0，所以a=2．‎ ‎【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与 C交于A，B两点，若=3，求直线l的方程．‎ ‎【分析】设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m的值，求得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0）‎ 设直线，由，可得m≠0设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），‎ 由=3，所以y1=﹣3y2，由，‎ 整理得y2﹣2my﹣1=0，则，且y1=﹣3y2，‎ 得，解得，‎ ‎∴直线．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？‎ ‎（1）男运动员3名，女运动员2名；‎ ‎（2）至少有1名女运动员；‎ ‎（3）队长中至少有1人参加；‎ ‎（4）既要有队长，又要有女运动员．‎ ‎【分析】（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法．再选2名女运动员，有C42种选法．利用乘法原理得到结果．‎ ‎（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果．本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数．‎ ‎（3）只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加．‎ ‎（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先选3名男运动员，有C63种选法．‎ 再选2名女运动员，有C42种选法．‎ 共有C63•C42=120种选法．‎ ‎（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：‎ ‎1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．‎ 由分类加法计数原理可得有C41•C64+C42•C63+C43•C62+C44•C61=246种选法．‎ 法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．‎ 从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．‎ 所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65=246种．‎ ‎（3）“只有男队长”的选法为C84种；‎ ‎“只有女队长”的选法为C84种；‎ ‎“男、女队长都入选”的选法为C83种；‎ ‎∴共有2C84+C83=196种．‎ ‎∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85=196种选法．‎ ‎（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．‎ 不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．‎ 其中不含女运动员的选法有C54种，‎ ‎∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．‎ 既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54=191种．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥‎ A1B1，D为棱A1B1上的点．‎ ‎（1）证明：DF⊥AE；‎ ‎（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE； ‎ ‎（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，‎ 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，‎ 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，‎ 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），‎ 设D（x，y，z）， 且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），‎ 则 D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），‎ ‎∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE； ‎ ‎（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．‎ 理由如下：‎ 设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∵=（，，），=（，﹣1），‎ ‎∴，即，‎ 令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．‎ 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），‎ ‎∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，‎ ‎∴|cos＜，＞|==，即=，‎ 解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．‎ ‎【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知A、B是椭圆+y2=1上的两点，且=λ，其中F为椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求实数λ的取值范围；‎ ‎（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得•为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）当直线AB与x轴重合时，．当直线AB不与x轴重合时，设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m2）y2+2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系结合已知条件能求出实数λ的取值范围．‎ ‎（2）设M（a，0），由=为定值，解得．由此能推导出存在定点，使得为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知条件知：直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．‎ 当直线AB与x轴重合时，．‎ 当直线AB不与x轴重合时，‎ 设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m2）y2+2my﹣1=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由根与系数的关系得，．‎ 所以．‎ 又由，得﹣y1=λy2，‎ 所以，‎ 解之得．‎ 综上，实数λ的取值范围是．（7分）‎ ‎（2）设M（a，0），‎ 则 ‎=（my1+1﹣a）（my2+1﹣a）+y1y2‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=为定值，‎ 所以2a2﹣4a+1=2（a2﹣2），解得．‎ 故存在定点，使得为定值．‎ 经检验，当AB与x轴重合时也成立，‎ ‎∴存在定点，使得为定值．（13分）‎ ‎【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查是否存在定点使得向量的数量积为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．‎ ‎　‎