2018-2019学年广东省江门市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年广东省江门市第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 广东省江门市第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合为虚数单位，，则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为M∩N=｛4｝，所以选C.‎ 考点：此题主要考查集合的概念、复数的概念、集合的运算和复数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.‎ ‎2．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A．1 B． C．3 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导数的几何意义得 所以=，故选C.‎ ‎3．已知函数，则=‎ A．1 B．0 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先求导，再求，再化简得解.‎ 详解：由题得，‎ ‎∴.‎ 因为=，‎ ‎∴=1‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.‎ ‎4．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】B ‎【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B. ‎ ‎5．已知， 为虚数单位，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，则，选A．‎ ‎6．函数的单调递增区间是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】：∵f′（x）=（x-2）ex， 令f′（x）＞0，解得：x＞2， ∴f（x）在（2，+∞）递增， 故答案为：C．‎ ‎7．函数的极大值为，那么的值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝6，根据导数在 x＝0和 x＝6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）＝a＝6．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得 x＝0 或 x＝1，‎ 导数在 x＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．‎ 导数在 x＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f（0）为极大值，f（1）为极小值，是解题的关键．‎ ‎8．以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴切线的斜率范围是 ‎∴倾斜角的范围是 故选A ‎9．在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则解得3＜m＜4.‎ ‎10．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎11．若函数在上的最大值为，则＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴当时， 单调递增；当时， 单调递减．‎ ‎①当，即时， ．‎ 令，解得，不合题意．‎ ‎②当，即时， 在上单调递减，故．‎ 令，解得，符合题意．‎ 综上．‎ 点睛：‎ ‎（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．‎ ‎（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．‎ ‎12．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设函数 ，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选B.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.‎ ‎【技巧点睛】对于已知不等式中既有又有，一般不能直接确定的正负，即不能确定的单调性，这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有， ， ， 等等.‎ ‎13．观察下列各式：a+b=1.a²2+b2=3，a3+b3="4" ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题观察可发现，‎ ‎，‎ 即后一个式子的值为它前两个式子的和。 ‎ 考点：观察和归纳推理能力。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．若函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，再赋值得到.‎ ‎【详解】‎ 对函数求导得到 ‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了常见函数的求导公式，题目比较基础.‎ ‎15．由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义得到积S＝(ex＋x)dx，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据定积分的几何意义得到，面积S＝(ex＋x)dx＝‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.‎ ‎16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设直线与曲线与的切点分别为，由导数的几何意义，得．又切点分别在各自的曲线上，所以，联立以上各式解得．‎ 考点：导数的几何意义．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，求分别为何值时，‎ ‎（1）是实数；‎ ‎（2）是纯虚数；‎ ‎（3）当时，求的共轭复数.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）根据题意得到要求虚部位0即可；（2）要求实部位0且虚部不为0即可，，且，得；（2），，得，进而得到结果.‎ 解析：‎ ‎（1）z是实数，，得 ‎ ‎（2）z是纯虚数，，且，得 ‎ ‎（3）当时，，‎ 得，得 当时，,得；‎ 当时，,得 点睛：这个题目考查了复数的几何意义，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.‎ ‎18．已知数列满足 ‎（1）分别求的值；‎ ‎（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1） ； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过赋值法得到相应的数值；（2）由数学归纳法猜想证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(1），‎ ‎(2）猜想 ‎①当n=1时命题显然成立 ‎ ‎②假设命题成立，即 当时，‎ 时命题成立 综合①②，当时命题成立 ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数学归纳法在数列通项中的应用，注意数学归纳法，是先验证n=1成立，再假设n=k成立，推导n=k+1时，必需要用到之前的假设.‎ ‎19．已知函数在与处都取得极值．‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b ………………1分 由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 ………………3分 得a＝，b＝－2 …………………………………5分 经检验，a＝，b＝－2符合题意 ‎………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， ………………7分 列表如下：K^S*5U.C#O x ‎ ‎（－2，－） ‎ ‎－ ‎ ‎（－，1） ‎ ‎1 ‎ ‎（1，2） ‎ f¢（x） ‎ ‎＋ ‎ ‎0 ‎ ‎－ ‎ ‎0 ‎ ‎＋ ‎ f（x） ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ‎¯ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎…………9分 ‎…………11分 ‎………12分 ‎20．已知函数.‎ ‎(1)判断函数的单调性；‎ ‎(2)若的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导研究导函数的正负，进而得到结果；（2）依题意得，不等式对于恒成立，构造函数，对函数求导，研究单调性，进而得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 当 时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数．‎ ‎(2)依题意得，不等式对于恒成立．‎ 令，则.‎ 当时，，则是上的增函数；‎ 当时，，则是上的减函数．‎ 所以的最小值是，‎ 从而的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎ ‎21．某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费（百万元），可增加的销售额为（百万元）.‎ ‎（1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）‎ ‎（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费（百万元），可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.‎ ‎【答案】将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设投入t（t 百万元）的广告费后增加的收益为f（t）根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为：f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t，再由二次函数法求得最大值．‎ ‎（2）根据题意，若用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则收益模型为：g（x）=x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=x3+4x+3（0≤x≤3），因为是高次函数，所以用导数法研究其最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设投入广告费（百万元）后由此增加的收益为（百万元），则 ，.所以当时，，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.‎ ‎（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的费用为（百万元），则由此两项所增加的收益为 .‎ 对求导，得，令，得或（舍去）.当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，∴当时，.‎ 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元.‎ ‎22．已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）， 算出m值，然后求出的单调区间和极值；‎ ‎（2）因为对任意，总存在使得，‎ 即成立，分别求与的最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为， ，‎ 在处的切线斜率为，由，∴，‎ ‎∴， ，令，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.从而的单调递减区间为，单调递增区间为，当时， 有极小值， 没有极大值；‎ ‎（2）由， ，当时， ， 单调递增，故有最小值，‎ 因为对任意，总存在使得，‎ 即成立，所以对任意，都有，‎ 即，‎ 也即成立，从而对任意，都有成立，‎ 构造函数 ，则，令，得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为.‎