四川省遂宁市第二中学2020届高三11月半期考试数学（文）试卷

四川省遂宁市第二中学2020届高三11月半期考试数学（文）试卷

数学（文科）试题 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ ‎ 第（Ⅰ）卷（选择题，共60分）‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎2．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，且，则 ‎ D．若，且，则 ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 ‎7．若变量x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 ‎ C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ ‎9．对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，，则大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．曲线在上存在单增区间，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，对任意的，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第（Ⅱ）卷（选择题，共60分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎13．已知与垂直，则与的夹角为 .‎ ‎14．已知，则= .‎ ‎15．已知函数，若，且，则的范 围为 . ‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 . ‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（本题满分12分）已知等比数列的前项和为，，且是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，令，求数列的前项和．‎ ‎18. （本题满分12分）由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“满意”的观众的概率为0.15．‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；‎ ‎（2）在（1）的条件下，从抽取到“满意”的人中随机抽取2人，设“抽到的观众来自不同的地区”为事件，求事件的概率；‎ ‎（3）完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：参考公式：.‎ ‎19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，，E为AD中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，，记的中点为，求三棱锥的体积.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知动直线垂直于轴，与椭圆交于两点，点在直线上，.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设函数的最小值为，当时,证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值. ‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎ 数学试卷（文科）答案解析 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．已知为虚数单位，复数，则　　‎ A． B．2 C． D．‎ 答案：A 解析：因为，所以.‎ ‎2．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：因为，，所以=‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：由题可知，所以 ‎4.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：，所以曲线在点处的切线的斜率为1，所以切线方程为.‎ ‎5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是　　‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，且，则 ‎ D．若，且，则 答案：D 解析：一条直线平行一个平面，不能得到该直线和平面内任意一条直线平行，所以A错；垂直于同一平面 的两个平面可以相交，可以平行，所以B错；当m和n平行时，不能得到两平面平行，所以C错；D正确.‎ ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 答案：B 解析：因为，由正弦定理可得，所以有，又因为A、‎ B为三角形内角，所以或，即或，所以“”是“”‎ 的必要不充分条件.‎ ‎7.若变量x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：B 解析：目标区域如图所示，z的几何意义为区域内的点到坐标原点距离的平方.以O为原点作圆，当圆与直线y=1相切时，切点到原点的距离最小，最小距离为1，所以z的最小值为.‎ ‎8．要得到函数的图象，可将函数的图象　　‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 ‎ C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ 答案：D 解析：，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.‎ ‎9．对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，则，，大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：因为满足，所以的图象关于x=1对称.因为时，函数，所以在单调递增，由对称性可得在单调递减，所以离x=1越近的点，纵坐标越大.‎ ‎，因为，所以.‎ ‎10．曲线在上存在单增区间，则的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：因为曲线在上存在单增区间，所以在上有解，所以 在上有解，所以.令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以.‎ ‎11．空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：因为空间四面体ABCD中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四 面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有：‎ ‎，于是，由于该四面体的外接球和长方体外接球 为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，所以,‎ 所以球的表面积.‎ ‎12．设函数，对任意的，存在，使成立，则实数的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B 解析：因为对任意的，存在，都有，即，所以 ‎.当时，.因为，，在单调递减，，所以在单调递减，由于，所以在单调递增，单调递减，，于是，所以 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知与垂直，则与的夹角为 .‎ 答案：‎ 解析：由题可得，所以，所 以与的夹角为.‎ ‎14．已知，则= .‎ 答案：‎ 解析：因为，所以，所以 ‎=.‎ ‎15．已知函数，若，且，则的范 围为 . ‎ 答案：‎ 解析：作出f(x)的图象可得，，‎ 所以，所以，即，所以 所以，因为，所以范围为 ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 . ‎ 答案：6‎ 解析：设直线的方程为：，，，，‎ ‎，由，因为，，‎ 所以，，即，，令，‎ 则，故的最小值为（当且仅当时取等号）.‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．【解析】（1）由是和的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = 8a1q + 7a1q4，‎ 所以q6－7q3－8 = 0，即，解得公比或． ………2分 当时，由，所以；‎ ‎ 当时，由，所以；……………6分 ‎（2）当时，知，，‎ 所以数列的前项和为． …………………12分 ‎18. 【解析】（1）由题意，得：，解得，‎ 地抽取人，地抽取人． ……………3分 ‎（3）从地区抽取到2人，记为,从地区抽取到3人，记为,随机抽取2人，‎ 所有的基本事件为共有10种情况，‎ 事件包含的基本事件有共6种情况，‎ 所以. ………7分 ‎（3）完成表格如下：‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎， ‎ 没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系． ……………12分 ‎19【解析】（I），E为AD中点，.‎ 又平面底面，‎ 且平面平面，‎ 平面，‎ ‎.　　　 ………………….2分 在直角梯形中，，，∴，‎ 又，，.　　　 ‎ ‎，平面，　　 　‎ ‎ 平面，平面平面.　 　………………….6分 ‎（II）由（I）可知，平面，‎ ‎，，，　 　………………….8分 在直角梯形中，，，‎ ‎∴.　 　‎ ‎∴.　 …………………12分 ‎20【解析】(1)设，则由题知，，‎ ‎,，‎ 由在椭圆上，得，所以，‎ 故点的轨迹的方程为； ……………5分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，；‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为,‎ ‎，，………7分 ‎，所以， ……………8分 ‎，‎ ‎……10分 令，，，‎ 所以，当时，即时，取最大值，当时，即时，取最小值；综上：的取值范围为. ……………12分 ‎21．【解析】(1)的定义域为(1分),,得,‎ ‎ 当时,,则递增;当时,,则递减,‎ ‎ 所以,即,(2分)‎ ‎ 令(),且,,得,‎ ‎ 当时,,则递增;当,则递减,‎ ‎ 所以(4分),又,‎ ‎ 因此,,此时,.(5分)‎ ‎ （2）由（1）知, (当且仅当时,取等号)(6分),‎ ‎ 的定义域为,且,(7分)‎ 令,得,当时,,在内递减;‎ 当时,,则在上递增, (9分)‎ 于是,等价于等价于,(10分)‎ 将视为,由(I)知, 显然成立.(12分)‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎【解析】(1)将曲线参数方程为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为 ‎，设上任意一点为，经过伸缩变换后的坐标为，由题意得：‎ ‎，故的直角坐标方程； ………5分 ‎（2）过点倾斜角为的直线的参数方程为：为参数)，带入的方程得：，‎ 记对于的参数分别为，， ………8分 ‎，‎ 故当时，. ………10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎【解析】（1）由题知，当时，，解得；‎ 当时，，解得；当时，，不等式无解；‎ 综上，不等式的解集为. ………5分 ‎（2）由题知，存在，成立，即，，所以，. ………10分