【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-4合情推理与演绎推理学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-4合情推理与演绎推理学案

第四节合情推理与演绎推理 ‎1．合情推理 类型 定义 特征 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理 ‎2．演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ 合情推理与演绎推理的区别 ‎(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ ‎(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 二、选填题 ‎1．①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah ‎，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则①②两个推理过程分别属于(　　)‎ A．类比推理、归纳推理　　 B．类比推理、演绎推理 C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理 解析：选A　①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.‎ ‎2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1 B．an＝4n－3‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ 解析：选C　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.‎ ‎3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28 B．32‎ C．33 D．27‎ 解析：选B　5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，x＝20＋3×4＝32.‎ ‎4．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．‎ 解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．‎ 答案：②‎ ‎5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ 解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.‎ 答案：1∶8‎ ‎[考法全析]‎ 考法(一)　与数字有关的推理 ‎[例1]　从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　　)‎ A．2 018　　　　　　　 B．2 019‎ C．2 020 D．2 021‎ ‎[解析]　　根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，‎ 这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.‎ 由9a＋104＝2 021，得a＝213，是自然数，故选D.‎ ‎[答案]　D 考法(二)　与等式有关的推理 ‎[例2]　观察下列等式 ‎1－＝，‎ ‎1－＋－＝＋，‎ ‎1－＋－＋－＝＋＋，‎ ‎……‎ 据此规律，第n个等式为________________________．‎ ‎[解析]　规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，奇数项为正、偶数项为负，即为1－＋－＋…＋－；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为＋＋…＋.所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ ‎[答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ 考法(三)　与不等式有关的推理 ‎[例3]　(1)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________________________．‎ ‎(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥‎ ‎4，…，归纳得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.‎ ‎[解析]　(1)∵f(21)＝，f(22)＞2＝，‎ f(23)＞，f(24)＞，‎ ‎∴归纳得f(2n)≥(n∈N*)．‎ ‎(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ ‎[答案]　(1)f(2n)≥(n∈N*)　(2)nn 考法(四)　与数列有关的推理 ‎[例4]　有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1　3　7　13　21　…‎ ‎5　9　15　23　…　…‎ ‎11　17　25　…　…　…‎ ‎19　27　…　…　…　…‎ ‎29　…　…　…　…　…‎ ‎…　…　…　…　…　…‎ 则第30行从左到右第3个数是________．‎ ‎[解析]　观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.‎ ‎[答案]　1 051‎ 考法(五)　与图形变化有关的推理 ‎[例5]　分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 019＝________.‎ ‎[解析]　‎ 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1，27－1，81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2 019＝.‎ ‎[答案]　 ‎[规律探求]‎ 看个性 考法(一)与数字有关的推理．要注意行与行，列与列之间的数字变化规律，每个数据与正整数n之间的关系．‎ 考法(二)与等式有关的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ 考法(三)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ 考法(四)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ 考法(五)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪 找共性 破解归纳推理的思维步骤 ‎(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；‎ ‎(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；‎ ‎(3)检验得结论：对所得的一般性命题进行检验．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧 ‎ [过关训练]‎ ‎1．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：‎ 根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是(　　)‎ 解析：选A　从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.‎ ‎2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：选C　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6×＝3n2－3n＋1，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．‎ ‎[典例精析]‎ ‎(1)(2019·大同模拟)已知P是圆x2＋y2＝R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E.若曲线C：＋＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2＋b2，则点E的轨迹方程为＋＝.若曲线C：－＝1(a＞b＞0)，且R2＝a2－b2，则点E的轨迹方程是(　　)‎ A.－＝　　　 B.－＝ C.＋＝ D.＋＝ ‎(2)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)‎ A．S2＝S＋S＋S　　　　 B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ ‎[解析]　(1)由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点 E的轨迹方程为－＝.‎ ‎(2)如图，作OD⊥ BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2‎ ‎＝S＋S＋S.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[解题技法]‎ 类比推理的应用类型及解题方法 类比 定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解 类比 性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键 类比 方法 有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移 ‎[提醒]　进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)‎ A. B．q2‎ C. D. 解析：选C　由题设，得Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.‎ ‎∴＝b1q，‎ ‎∴等比数列{}的公比为，故选C.‎ ‎2．(2019·黄冈模拟)已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是r＝h，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体的高h的关系是________．‎ 解析：球心到正四面体一个面的距离即内切球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S×r＝×S×h，所以r＝h(其中S为正四面体一个面的面积)．‎ 答案：r＝h ‎[典例精析]‎ ‎(1)(2019·长春质监)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．‎ ‎[解析]　根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月4日．‎ ‎[答案]　8月4日 ‎(2)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎①数列是等比数列；‎ ‎②Sn＋1＝4an.‎ ‎[证明]　①∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，‎ 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ 故＝2·，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义)‎ ‎②由①可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)‎ 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎[解题技法]‎ 演绎推理问题的求解策略 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．‎ ‎(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 解析：选D　依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.‎ ‎2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．‎ 证明：设x1，x2∈R，取x1＜x2，‎ 由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，‎ ‎∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，‎ ‎[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，‎ ‎∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．‎ ‎∴y＝f(x)为R上的单调递增函数．‎ ‎ 一、题点全面练 ‎1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．121　　　　　 　　　　 B．123‎ C．231 D．211‎ 解析：选B　令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.‎ ‎2．(2019·柳州模拟)给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)(2,1)‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)‎ ‎……‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)‎ A．(m，n－m) B．(m－1，n－m)‎ C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m＋1)‎ 解析：选D　由前4行的特点，归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．故选D.‎ ‎3．(2018·莆田质检)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸这十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二符号叫地支．如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为(　　)‎ A．乙丑年 B．丙寅年 C．丁卯年 D．戊辰年 解析：选C　记公元1984年为第一年，则公元2047年为第64年，即天干循环了六次，第四个为“丁”．地支循环了五次，第四个为“卯”，所以公元2047年农历为丁卯年，故选C.‎ ‎4．若a，b，c∈R，下列使用类比推理得到的结论正确的是(　　)‎ A．“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”‎ B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”‎ C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”‎ D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”‎ 解析：选C　对于A，“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”，不正确，比如c＝0，则a，b不一定相等，故A错；‎ 对于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”，而(a·b)c＝ac·b＝a·bc，故B错；‎ 对于C，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”，故C正确；‎ 对于D，由“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”，当n＝2时，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故D错．‎ ‎5．(2018·南充二模)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　　)‎ A．今天是周六 B．今天是周四 C．A车周三限行 D．C车周五限行 解析：选B　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四，故选B.‎ ‎6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．‎ 解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.‎ 答案：6n＋2‎ ‎7．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 解析：由题意知，凸函数满足 ≤f，‎ 又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，‎ 则sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝.‎ 答案： ‎8．(2019·襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0,1,2,3，…时，得到以下等式：‎ ‎(x2＋x＋1)0＝1，‎ ‎(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，‎ ‎(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，‎ ‎(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，‎ ‎……‎ 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有2k＋1个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．‎ 广义杨辉三角 ‎　第0行　　　　　　　1‎ ‎　第1行　　　　　 1 1　1‎ ‎　第2行　　　　1　2 3　2　1‎ ‎　第3行　　 1　3　6 7　6　3　1‎ ‎　第4行　1　4 10 16 19 1610 4　1‎ ‎　　　　　　　　　　 ……‎ 解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为：‎ ‎1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，‎ 故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，解得a＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ 解：f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，‎ 并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ 证明：设x1＋x2＝1，‎ f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎10．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：‎ ＋＋＝＋＋＝＝1.‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．‎ 解：在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．‎ 则＋＋＋＝1.‎ 证明：在四面体OBCD与ABCD中，＝＝＝.‎ 同理有＝；＝；＝.‎ 故＋＋＋ ‎＝＝＝1.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．(2019·安徽“江淮十校”联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设1＋＝x，则1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝，x2＝(舍去)．故1＋＝，故选C.‎ ‎2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相同，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为(　　)‎ 解析：选A　由定义知：千位“9”为横式；百位“1”为纵式；十位“1”为横式；个位“7”为纵式.故选A.‎ ‎3．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析：选B　分析可知每次取出的两个球有4种情况，“红红”“红黑”“黑红”“黑黑”，由于红球个数等于黑球个数，所以取“红红”的次数等于取“黑黑”的次数，取“红红”时乙盒放入一个红球，取“黑黑”时丙盒放入一个黑球，取“红黑”或“黑红”时乙盒中红球与丙盒中黑球数量不变，所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．‎ ‎4．(2019·沈阳模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”‎ 进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是________．‎ 解析：从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21，20＝5×22,48＝6×23，…，所以从右到左第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2 019行只有一个数，其值为(2 019＋1)×22 019－2＝2 020×22 017.‎ 答案：2 020×22 017‎ ‎(二)素养专练——学会更学通 ‎5．[直观想象]我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2‎ C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1‎ 解析：选D　因为f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.‎ ‎6．[逻辑推理]对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ 解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×3－×2＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…，‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 018＝2 018.‎