【数学】2019届一轮复习人教A版（理）专题14直线Բ教案
直线 圆
[师说考点]
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
[典例] (1)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 选C 依题意，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1.
(2)直线l过点(2，2)，且点(5，1)到直线l的距离为，则直线l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
[解析] 选C 由已知，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0.
求直线方程的2种方法
(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中的系数，写出结果．
(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，
再由题设条件构建方程，求出待定系数．
[演练冲关]
1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为( )
A．11 B．10 C．9 D．8
解析：选B 依题意，a＝2，P(0，5)，由得即互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0相交于点O(0，0)，于是|AB|＝2|OP|＝10.故选B.
2．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
3．过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
解析：选C 由题意可知直线l方程为＋＝1(a<0，b>0)，于是解得－a＝b＝4，故满足条件的直线l一共有1条．故选C.
[师说考点]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
[典例] (1)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
[解析] 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x
－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
[答案] (x－2)2＋y2＝9
(2)(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
[解析] 由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
[答案] (－2，－4) 5
求圆的方程的2种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．
[演练冲关]
1．已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
解析：选B 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.
2．(2016·福建模拟)与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________．
解析：所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，
又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20
[师说考点]
判断直线与圆的位置关系的2种方法
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d
r⇔相离．
[典例] (1)(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
[解析] 圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
[答案] 4π
(2)(2016·全国丙卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
[解析] 如图所示，
∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
[答案] 4
弦长问题的2种求解方法
(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋＝r2求解；
(2)若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|.
[演练冲关]
1．(2016·兰州模拟)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A.或－1 B．－1 C．1或－1 D．1
解析：选C 由题意得，圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，∴＝，解得a＝±1，故选C.
2．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点
A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．2
解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)，∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.
3．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析：选B 由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
直线和圆与其他知识的交汇
高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．
[典例] 已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，cos∠APB的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 选B 作出平面区域Ω和单位圆x2＋y2＝1，l：x＋y－2＝0，
数形结合可得S四边形PAOB＝2S△PAO＝2××PA×1＝PA.
∴当P到原点距离最小时，四边形PAOB的面积最小，此时PO⊥l，且|PO|＝2，故∠APO＝，∴∠APB＝，cos∠APB＝.
求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有：
(1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；
(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；
(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题；
(4)形如求ax＋by，等的最值，转化为直线与圆的位置关系．
[演练冲关]
1．(2016·长沙长郡中学检测)已知两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．1 B．3 C. D.
解析：选A x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0⇒(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0⇒x2＋(y－2b)2＝1，由题意得两圆外切，所以a2＋4b2＝(2＋1)2＝9，因此＋＝＝
≥(5＋2)＝1，当且仅当a2＝2b2时取等号，所以＋的最小值为1，选A.
2．已知集合A＝，若k∈Z，且k∈A，使得过点B(1，1)的任意直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点的概率为________．
解析：由题意知A＝[－1，2)，又k2＋4＋k>0总成立，k∈Z，且k∈A，所以k有－1，0，1三个值，过点B(1，1)的任意直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点，即点B(1，1)
在圆上或圆内，即2＋k－2－k≤0，得k≤0，即k有－1，0两个值，由古典概型的概率公式知所求概率为.
答案：
一、选择题
1．(2016·福建厦门联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.
2．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
解析：选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
3．(2016·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )
A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0
C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0
解析：选D 直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.
4．圆心在曲线y＝(x>0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝25
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：选D 设圆心坐标为C(a>0)，则半径r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C(1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
5．(2016·福州模拟)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．[－3，3 ]
解析：选A 由圆的方程可知圆心为O(0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<2＋1＝3，即d＝＝<3，解得a∈(－3，3)，故选A.
6．(2016·河北五校联考)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 B．4 C. D．2
解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1，3)，则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4，故选B.
二、填空题
7．(2016·山西五校联考)过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－)2＝7所截得的弦长为________．
解析：由题意可得l的方程为x－y＝0，∵圆心(0，)到l的距离为d＝1，∴所求弦长＝2＝2＝2.
答案：2
8．已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2) 处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________．
解析：由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又∵f′(x)＝3x2＋a，∴f(x)的图象在点P(1，
－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，∴＝⇒a＝－，∴b＝，∴3a＋2b＝－7.
答案：－7
9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．
解析：∵f(x)＝＋＝＋，∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.
答案：5
三、解答题
10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得
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