高三数学一轮复习精品资料——基础知识归纳(整理)

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高三数学一轮复习：基础知识归纳 第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还 是因变量的取值？还是曲线上的点？… 2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法 解决 3.(1) 元素与集合的关系： Ux A x C A   , Ux C A x A   . （2）德摩根公式： ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B     . （3） A B A A B B    U UA B C B C A    UA C B   UC A B R  注意：讨论的时候不要遗忘了 A 的情况. （4）集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个； 非空真子集有 2n –2 个. 4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分 函数与导数 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 22 22 babaab  ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ xa 、 xsin 、 xcos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值 域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数 )]([ xgfy  分解为基本函数：内函数 )(xgu  与外函数 )(ufy  ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑵ )(xf 是奇函数 )()( xfxf  ； )(xf 是偶函数 )()( xfxf  . ⑶奇函数 )(xf 在 0 处有定义，则 0)0( f ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义： ① )(xf 在区间 M 上是增函数 ,, 21 Mxx  当 21 xx  时有 1 2( ) ( )f x f x ； ② )(xf 在区间 M 上是减函数 ,, 21 Mxx  当 21 xx  时有 1 2( ) ( )f x f x ； ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf  化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性： (1)周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf  （其中T 为非零常数）， 则称函数 )(xf 为周期函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最 小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期：① 2:sin  Txy ；② 2:cos  Txy ； ③  Txy :tan ；④ || 2:)cos(),sin(    TxAyxAy ； ⑤ ||:tan    Txy (3)与周期有关的结论： )()( axfaxf  或 )0)(()2(  axfaxf  )(xf 的周期为 a2 8．基本初等函数的图像与性质： ㈠.⑴指数函数： )1,0(  aaay x ； ⑵对数函数: )1,0(log  aaxy a ； ⑶幂函数： xy  （ )R ； ⑷正弦函数: xy sin ； ⑸余弦函数： xy cos ； (6)正切函数： xy tan ； ⑺一元二次函数： 02  cbxax （a≠0）； ⑻其它常用函数： 1 正比例函数： )0(  kkxy ；②反比例函数： )0(  kx ky ；③函数 )0(  ax axy ㈡.⑴分数指数幂： m n mna a ； 1m n m n a a   （以上 0, ,a m n N   ，且 1n  ）. ⑵.① bNNa a b  log ； ②   NMMN aaa logloglog  ； ③ NMN M aaa logloglog  ； ④ log logm n aa nb bm  . ⑶.对数的换底公式: loglog log m a m NN a  .对数恒等式: loga Na N . 9．二次函数： ⑴解析式：①一般式： cbxaxxf  2)( ； ②顶点式： khxaxf  2)()( ， ),( kh 为顶点； ③零点式： ))(()( 21 xxxxaxf  （a≠0）. ⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 二次函数 cbxaxy  2 的图象的对称轴方程是 a bx 2  ，顶点坐标是        a bac a b 4 4 2 2 ， 。 10．函数图象： ⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换： 1 平移变换：ⅰ) )()( axfyxfy  ， )0( a ———左“+”右“－”； ⅱ) )0(,)()(  kkxfyxfy ———上“+”下“－”； 2 对称变换：ⅰ) )(xfy    )0,0( )( xfy  ；ⅱ) )(xfy   0y )(xfy  ； ⅲ) )(xfy   0x )( xfy  ； ⅳ) )(xfy   xy ( )x f y ； 3 翻折变换： ⅰ) |)(|)( xfyxfy  ———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象 去掉）； ⅱ) |)(|)( xfyxfy  ———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| )(xf |在 x 下面无 图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明： (1)证明函数 )(xfy  图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的 对称点仍在图像上； （2）证明函数 )(xfy  与 )(xgy  图象的对称性，即证明 )(xfy  图象上任意点关于 对称中心（对称轴）的对称点在 )(xgy  的图象上，反之亦然。 注：①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点（0,0）的对称曲线 C2 方程为：f(－x,－y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为：f(－x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为：f(x, －y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为：f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）  y=f(x)图像关于直线 x= 2 ba  对称； 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）  y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. ③ ( )y f x 的图象关于点 ( , )a b 对称      bxafxaf 2 . 特别地： ( )y f x 的图象关于点 ( ,0)a 对称     xafxaf  . ④函数 ( )y f x a  与函数 ( )y f a x  的图象关于直线 x a 对称; 函数 )( xafy  与函数 ( )y f a x  的图象关于直线 0x 对称。 12．函数零点的求法： ⑴直接法（求 0)( xf 的根）；⑵图象法；⑶二分法. (4)零点定理：若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在（a,b)内至少有一 个零点。 13．导数： ⑴导数定义：f(x)在点 x0 处的导数记作 x xfxxfxfy xxx    )()(lim)( 00 000 ⑵常见函数的导数公式: ① 'C 0 ；② 1')(  nn nxx ；③ xx cos)(sin '  ； ④ xx sin)(cos '  ；⑤ aaa xx ln)( '  ；⑥ xx ee ')( ；⑦ axxa ln 1)(log '  ； ⑧ xx 1)(ln '  。 ⑶导数的四则运算法则： ;)(;)(;)( 2v vuvu v uvuvuuvvuvu  ⑷（理科）复合函数的导数： ;xux uyy  ⑸导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的 切线？ ②利用导数判断函数单调性：i） )(0)( xfxf  是增函数；ii） )(0)( xfxf  为 减函数；iii） )(0)( xfxf  为常数； ③利用导数求极值：ⅰ）求导数 )(xf  ；ⅱ）求方程 0)(  xf 的根；ⅲ）列表得极值。 4 利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较 得最值。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 180 ， 1801  弧度，1弧度 )180(  '1857 ⑵弧长公式： Rl  ；扇形面积公式： 2 2 1 2 1 RlRS  。 2．三角函数定义:角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则： ,cos,sin r x r y   x ytan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全 s t c”） 4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5．⑴ )sin(   xAy 对称轴：令 2x k      ，得 ;x 对称中心： ))(0,( Zkk    ； ⑵ )cos(   xAy 对称轴：令  kx  ，得    kx ；对称中心： ))(0,2( Zk k     ； ⑶周期公式:①函数 sin( )y A x   及 cos( )y A x   的周期  2T (A、ω、 为 常数， 且 A≠0).②函数    xAy tan 的周期  T (A、ω、 为常数，且 A≠0). 6．同角三角函数的基本关系： xx xxx tancos sin;1cossin 22  7．三角函数的单调区间及对称性： ⑴ siny x 的单调递增区间为 2 ,22 2k k k Z        ,单调递减区间为 32 ,22 2k k k Z        ，对称轴为 ( )2x k k Z   ,对称中心为 ,0k ( )k Z . ⑵ cosy x 的 单 调 递 增 区 间 为  2 ,2k k k Z    , 单 调 递 减 区 间 为  2 ,2k k k Z    ， 对称轴为 ( )x k k Z  ,对称中心为 ,02k     ( )k Z . ⑶ tany x 的单调递增区间为 ,2 2k k k Z        ，对称中心      0,2 k  Zk  . 8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ①sin( ) sin cos cos sin        ； cos( ) cos cos sin sin        ； tan tantan( ) 1 tan tan         . ② 2 2sin( )sin( ) sin sin         ； 2 2cos( )cos( ) cos sin         . ③ sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (其中,辅助角 所在象限由点 ( , )a b 所在的象限 决定, tan b a   ). 9．二倍角公式：①  cossin22sin  . 2(sin cos ) 1 2sin cos 1 sin 2         ② 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          （升幂公式）. 2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2      （降幂公式）. 10．正、余弦定理： ⑴正弦定理： RC c B b A a 2sinsinsin  （ R2 是 ABC 外接圆直径 ） 注：① CBAcba sin:sin:sin::  ； ② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2  ； ③ CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin   。 ⑵余弦定理： Abccba cos2222  等三个； bc acbA 2cos 222  等三个。 11.几个公式: ⑴三角形面积公式： ① 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch   （ a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c 边上的高）； ② 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B   . ③ 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB        ⑵内切圆半径 r= cba S ABC  2 ； 外接圆直径 2R= ;sinsinsin C c B b A a  第四部分 立体几何 1．三视图与直观图：⑴画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧 视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。 2．表（侧）面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧= rh2 ；③体积：V=S 底 h ⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧= rl ；③体积：V= 3 1 S 底 h： ⑶台体：①表面积：S=S 侧+ 上底S S 下底;②侧面积：S 侧= lrr )( ' ; ③体积：V= 3 1 （S+ '' SSS  ）h； ⑷球体：①表面积：S= 24 R ；②体积：V= 3 3 4 R . 3．位置关系的证明（主要方法）： ⑴直线与直线平行：①公理 4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行 线面平行。 ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。 注：以上理科还可用向量法。 4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角） ⑴异面直线所成角的求法： ①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法 ⑵直线与平面所成的角： ①直接法（利用线面角定义）；②用向量法 5.结论： ⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截 面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成 比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与 小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． ⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a，b，c，则体对角线长为 222 cba  ， 全面积为 2ab+2bc+2ca，体积 V=abc。 ⑶正方体的棱长为 a，则体对角线长为 a3 ，全面积为 26a ，体积 V= 3a 。 ⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. ⑷正四面体的性质：设棱长为 a ，则正四面体的： 1 高： ah 3 6 ；②对棱间距离： a2 2 ；③内切球半径： a12 6 ；④外接球半径： a4 6 。 第五部分 直线与圆 1．斜率公式： 2 1 2 1 y yk x x   ，其中 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y . 直线的方向向量  bav , ，则直线的斜率为 k = ( 0)b aa  . 2.直线方程的五种形式： (1)点斜式： 1 1( )y y k x x   (直线l 过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． (2)斜截式： y kx b  (b 为直线l 在 y 轴上的截距). (3)两点式： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x    ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y 1 2x x ， 1 2y y ). (4)截距式： 1 b y a x (其中 a 、b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距，且 0,0  ba ). (5)一般式： 0Ax By C   (其中 A、B 不同时为 0). 3．两条直线的位置关系： （1）若 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  ,则： ① 1l ∥ 2l 21 kk  , 21 bb  ； ② 1 2 1 2 1l l k k    . （2）若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,则： ① 0// 122121  BABAll 且 01221  CACA ；② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B    . 4．求解线性规划问题的步骤是： （1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。 5．两个公式: ⑴点 P（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离： 22 00 BA CByAxd   ； ⑵两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离 22 21 BA CCd   6．圆的方程： ⑴标准方程：① 222 )()( rbyax  ；② 222 ryx  。 ⑵一般方程： 022  FEyDxyx （ )0422  FED 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆  A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2－4AF>0 7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（ d 表示点到圆心的距离） ①  Rd 点在圆上；②  Rd 点在圆内；③  Rd 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（ d 表示圆心到直线的距离） ①  Rd 相切；②  Rd 相交；③  Rd 相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（ d 表示圆心距， rR, 表示两圆半径，且 rR  ） ①  rRd 相离；②  rRd 外切；③  rRdrR 相交； ④  rRd 内切；⑤  rRd0 内含。 9．直线与圆相交所得弦长 2 2| | 2AB r d  第六部分 圆锥曲线 1．定义：⑴椭圆： |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF  ； ⑵双曲线： |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF  ； ⑶抛物线：|MF|=d 2．结论 ： ⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为 A ),(),,( 2211 yxByx , 则 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y    ,或 2 21 1 kxxAB  , 或 221 11 k yyAB  . 注：①抛物线： AB ＝x1+x2+p； ②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线： a b 22 ；ⅱ）抛物线：2p. ⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 122  nymx （ nm, 同时大于 0 时表示椭圆； 0mn 时表示双曲线）； 当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 21PFF 最大； ⑶双曲线中的结论： ①双曲线 12 2 2 2  b y a x （a>0,b>0）的渐近线： 02 2 2 2  b y a x ； ②共渐进线 xa by  的双曲线标准方程可设为 (2 2 2 2  b y a x 为参数，  ≠ 0）； ③双曲线为等轴双曲线   2e 渐近线互相垂直； ⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3．直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程？ ②直线斜率不存在时考虑了吗？ ③判别式验证了吗？ ⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点 A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得   21 21 xx yyk AB ；③解决问题。 4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）； （4）待定系数法； （5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。 第七部分 平面向量 1.平面上两点间的距离公式: ,A Bd 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y    ，其中 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y . 2.向量的平行与垂直： 设 a = 1 1( , )x y ,b = 2 2( , )x y ，且 b  0 ，则： ① a ∥b  b =λ a 1 2 2 1 0x y x y   ； ② a  b ( a  0 )  a ·b =0 1 2 1 2 0x x y y   . 3.a·b=|a||b|cos= x 1 x2+y1y2； 注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ②a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。 4.cos= |||| ba ba  ； 5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线  x y 1OP xOA yOB     且 。 第八部分 数列 1．定义： BnAnSbknaNnnaaa ndaaNnddaaa nnnnn nnn       2 11 1n1n *),2(2 )2(,()1( ）为常数｝等差数列｛ ⑵等比数列 )Nn2,(n)0(} 1n1-n 2 n 1n n     aaaqqa aa n ｛ 2．等差、等比数列性质： 等差数列 等比数列 通项公式 dnaan )1(1  1 1  n n qaa 前 n 项和 dnnnaaanS n n 2 )1( 2 )( 1 1  q qaa q qaSq naSq n n n n      1 1 )1(1.2 ;1.1 1 1 1 时， 时， 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ ,,, 232 kkkkk SSSSS  成 AP ③ ,,, 232 kkkkk SSSSS  成 GP ④ ,,, 2mkmkk aaa  成 AP, mdd ' ④ ,,, 2mkmkk aaa  成 GP, mqq ' 3．常见数列通项的求法： ⑴定义法（利用 AP,GP 的定义）；⑵累加法（ nnn caa 1 型）；⑶公式法： ⑷累乘法（ n n n ca a 1 型）；⑸待定系数法（ bkaa nn 1 型）转化为 )(1 xakxa nn  （6）间接法（例如： 4114 1 11    nn nnnn aaaaaa ）；（7）（理科）数学归纳法。 4．前 n 项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。 5．等差数列前 n 项和最值的求法： ⑴ nS 最大值                  0 0 0 0 11 n n n n n a aSa a 最小值或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1．均值不等式： )0,(22 22  bababaab 注意：①一正二定三相等；②变形： ),(2)2( 22 2 Rbababaab  。 2．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有： (1)如果积 xy 是定值 p ，那么当 yx  时和 yx  有最小值 p2 ； (2)如果和 yx  是定值 s ，那么当 yx  时积 xy 有最大值 2 4 1 s . 3.解一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 :若 0a ,则对于解集不是全集或空集时,对应 的解集为“大两边，小中间”. 如:当 21 xx  ,    2121 0 xxxxxxx  ；    1221 0 xxxxxxxx  或 . 4.含有绝对值的不等式：当 0a 时，有：① axaaxax  22 ； ② 2 2x a x a x a     或 x a  . 5.分式不等式： （1）         00  xgxfxg xf ； （2）         00  xgxfxg xf ； （3）               0 00 xg xgxf xg xf ； （4）               0 00 xg xgxf xg xf . an= S1 (n=1) Sn－Sn-1 (n≥2) 6.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ； ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       . (2)当 0 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ； ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       7．不等式的性质： ⑴ abba  ；⑵ cacbba  , ； ⑶ cbcaba  ； dcba  , dbca  ； ⑷ bdaccba  0, ； bcaccba  0, ； ,0 ba 0c d  ac bd  ; ⑸ )(00  Nnbaba nn ; ⑹  0ba )(  Nnba nn 第十部分 复数 1．概念： ⑴z=a+bi∈R  b=0 (a,b∈R)  z= z  z2≥ 0；⑵z=a+bi 是虚数  b≠ 0(a,b∈R)； ⑶z=a+bi 是纯虚数  a=0 且 b≠ 0(a,b∈R)  z＋ z ＝0（z≠ 0）  z2<0； ⑷a+bi=c+di  a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R)； 2．复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： （1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i； ⑶ 2 1 z z =   ))(( ))(( dicdic dicbia i dc adbc dc bdac 2222     (z2≠ 0) ; 3．几个重要的结论： ① ii 2)1( 2  ；② ;1 1;1 1 ii iii i    ③i 性质：T=4； iiiiii nnnn   3424144 ,1,,1 ； ;03424144   nnn iiii 4．模的性质：⑴ |||||| 2121 zzzz  ；⑵ || |||| 2 1 2 1 z z z z  ；⑶ nn zz ||||  。 5.实系数一元二次方程 2 0ax bx c   的解： ①若 2 4 0b ac    ,则 2 1,2 4 2 b b acx a    ;②若 2 4 0b ac    ,则 1 2 2 bx x a    ; ③若 2 4 0b ac    ，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数 根 2 2( 4 ) ( 4 0)2 b b ac ix b aca       . 第十一部分 概率 1．事件的关系： ⑴事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作 BA  ； ⑵事件 A 与事件 B 相等：若 ABBA  , ，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作 BA  （或 BA  ）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作 BA  （或 AB ） ； ⑸事件 A 与事件 B 互斥：若 BA  为不可能事件（  BA ），则事件 A 与互斥； ⑹对立事件： BA  为不可能事件， BA  为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。 2．概率公式： ⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型： 基本事件的总数 包含的基本事件的个数AAP )( ； ⑶几何概型： 等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的 积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP )( ； 第十二部分 统计与统计案例 1．抽样方法： ⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为 N n ； ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。 ⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则， 从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号； ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情 况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 N n 注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分 布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字， 两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎 上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3．总体特征数的估计： ⑴样本平均数    n i in xnxxxnx 1 21 1)(1 ； ⑵样本方差 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n  2 1 )(1 xxn n i i    ； ⑶样本标准差 ])()()[(1 22 2 2 1 xxxxxxnS n  = 2 1 )(1 xxn n i i   3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：    1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y               1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny            注：⑴ r >0 时，变量 yx, 正相关； r <0 时，变量 yx, 负相关； ⑵当 || r 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强； 当 || r 越接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4． 回归直线方程 y a bx  ，其中      1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx                      第十三部分 算法初步 1．程序框图： ⑴图形符号： ① 终端框（起止框）；② 输入、输出框； ③ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ； ⑵程序框图分类: ①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构： r =0? 否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 是 n 不是质数 n 是质数 i=i+1 i=2 i  n 或 r=0? 否 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型） ——先判断条件，再执行循环体； Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。 2．基本算法语句： ⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式 ⑵条件语句：① ② IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF ⑶循环语句：①当型： ②直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1．充要条件的判断： （1）定义法----正、反方向推理 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）” （2）利用集合间的包含关系：例如：若 BA  ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条 件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件。 2．逻辑联结词： ⑴且(and) ：命题形式 p  q； p q p  q p  q  p ⑵或（or）： 命题形式 p  q； 真 真 真 真 假 ⑶非（not）：命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3．四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 4。四种命题： ⑴原命题：若 p 则 q； ⑵逆命题：若 q 则 p； ⑶否命题：若 p 则  q； ⑷逆否命题：若  q 则  p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。 5.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用  表示； 全称命题 p： )(, xpMx  ； 全称命题 p 的否定  p： )(, xpMx  。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用  表示； 特称命题 p： )(, xpMx  ； 特称命题 p 的否定  p： )(, xpMx  ； 6.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n 个 至多有（ 1n  ）个 小于 不小于 至多有 n 个 至少有（ 1n  ）个 对所有 x ， 成立 存在某 x ， 不成立 p 或 q p 且 q 对任何 x ， 不成立 存在某 x ， 成立 p 且 q p 或 q 第十五部分 推理与证明 1．推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进 行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具 有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提 ---------所研究的特殊情况； ⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 2．证明： ⑴直接证明 ①综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺 推法或由因导果法。 ②分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明 的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 （2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 注意答题技巧训练 1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. ⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样 会心慌，影响下面做题的情绪. ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考 时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考. ⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记, 有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率. 2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述, 注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不 规范而失分.总之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解 题结果的规范化. ⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般 用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 k Z .在写区间或集合时,要正确地书写 圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开. ⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的 “答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论. ⑷任何结果要最简.如 2 , 2 2 1 1 4 2 2   等. ⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数). ⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ⑻轨迹问题： ①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 x 或 y 的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线. 3.考前寄语：①先易后难,先熟后生； ②一慢一快：审题要慢,做题要快； ③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做； ④我易人易我不大意,我难人难我不畏难； ⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对； ⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分； ⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃” 是一种策略.