【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-6几何概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-6几何概型学案

§11.6 几何概型 考纲展示► 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义． 考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的 概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果________； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有________． 答案：(1)有无限多个 (2)等可能性 3．几何概型的概率计算公式 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 . [提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用． [教材习题改编]在区间[－3,5]上随机取一个数 x，则 x∈[1,3]的概率为__________． 答案：1 4 解析：记“x∈[1,3]”为事件 A，则由几何概型的概率计算公式可得 P(A)＝3－1 5＋3 ＝1 4 . 几何概型的特点：等可能性；无限性． 给出下列概率模型： ①在区间[－5,5]上任取一个数，求取到 1 的概率； ②在区间[－5,5]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率； ③在区间[－5,5]上任取一个整数，求取到大于 1 的数的概率； ④向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不 超过 1 cm 的概率． 其中，是几何概型的有__________．(填序号) 答案：①②④ 解析：①在区间[－5,5]内有无限多个数，取到 1 这个数的概率为 0，故是几何概型； ②在区间[－5,5]和[－1,1]内有无限多个数(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到 的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型； ③在区间[－5,5]内的整数只有 11 个，不满足无限性，故不是几何概型； ④在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且点 P 落在 这两个区域内的任何位置的可能性都相同(等可能性)，故是几何概型． [典题 1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件“－1≤log1 2 x＋1 2 ≤1”发生 的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 [答案] A [解析] 不等式－1≤log1 2 x＋1 2 ≤1 可化为 log1 2 2≤log1 2 x＋1 2 ≤log1 2 1 2 ，即1 2 ≤x＋ 1 2 ≤2，解得 0≤x≤3 2 ， 故由几何概型的概率公式，得 P＝ 3 2 －0 2－0 ＝3 4 . (2)[2017·河北衡水一模]在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分 别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为( ) A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.4 5 [答案] C [解析] 设|AC|＝x，则|BC|＝12－x， 所以 x(12－x)>20，解得 21 3 ， 三棱锥 S－ABC 的高与三棱锥 S－APC 的高相同． 作 PM⊥AC 于 M，BN⊥AC 于 N， 则 PM，BN 分别为△APC 与△ABC 的高， 所以VS－APC VS－ABC ＝S△APC S△ABC ＝PM BN >1 3 ， 又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >1 3 ， 故所求的概率为2 3 (即为长度之比)． 考点 3 与面积有关的几何概型 (1)[教材习题改编] 如图所示，圆中阴影部分的圆心角为 45°，某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内， 那么他投中阴影部分的概率为________． 答案：1 8 解析：所求概率为 45° 360° ＝1 8 . (2)[教材习题改编]如图所示，在边长为 a 的正方形内有不规则图形Ω，向正方形内随机 撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为 m，n，则图形Ω面积的估计值为 __________． 答案：ma2 n 解析：由题意知，不规则图形Ω的面积∶正方形的面积＝m∶n，所以不规则图形Ω的面 积＝m n ×正方形的面积＝m n ×a2＝ma2 n . 几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的概率公式． 设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数，则斜边长小于3 4 的概率为 __________． 答案：9π 64 解析： 设两条直角边长分别为 a，b，由已知可知 a2＋b2< 3 4 2，如图所示， 所以所求概率 P＝ 1 4 π× 3 4 2 1×1 ＝9π 64 . [考情聚焦] 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一． 主要有以下几个命题角度： 角度一 与平面图形面积有关的问题 [典题 3] (1)[2017·广东七校联考]如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内 角 A，B 分别为 60°和 45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率为 ( ) A.3＋ 3 16π B.3＋ 3 4π C. 4π 3＋ 3 D. 16π 3＋ 3 [答案] B [解析] 由正弦定 理 BC sin A ＝ AC sin B ＝ 2R(R 为圆的半 径)⇒ BC＝20sin 60°， AC＝20sin 45° ⇒ BC＝10 3， AC＝10 2. 那么 S△ABC＝1 2 ×10 3×10 2×sin 75° ＝1 2 ×10 3×10 2× 6＋ 2 4 ＝25(3＋ 3)． 于是，豆子落在三角形 ABC 内的概率为 S△ABC 圆的面积 ＝25 3＋ 3 102π ＝3＋ 3 4π . (2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x) ＝ x＋1，x≥0， －1 2 x＋1，x<0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 于( ) A.1 6 B.1 4 C.3 8 D.1 2 [答案] B [解析] 由图形知 C(1,2)，D(－2,2)， ∴S 矩形 ABCD＝6. 又 S 阴＝1 2 ×3×1＝3 2 ， ∴P＝ 3 2 6 ＝1 4 . 角度二 与线性规划交汇命题的问题 [典题 4] (1)在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x＋y≤1 2 ”的概率，p2 为 事件“xy≤1 2 ”的概率，则( ) A．p1＜p2＜1 2 B．p2＜1 2 ＜p1 C.1 2 ＜p2＜p1 D．p1＜1 2 ＜p2 [答案] D [解析] 如图， 满足条件的 x，y 构成的点(x，y)在正方形 OBCA 内，其面积为 1. 事件“x＋y≤1 2 ”对应的图形为阴影△ODE， 其面积为1 2 ×1 2 ×1 2 ＝1 8 ，故 p1＝1 8 ＜1 2 ； 事件“xy≤1 2 ”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于1 2 ，故 p2＞1 2 ，则 p1＜1 2 ＜p2， 故选 D. (2)[2017·山东枣庄八中模拟]在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为 a 和 b，则方 程x2 a2－y2 b2＝1(a

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